【正文】 i=1，2，3）為各對應段漸近線轉角頻率的倒數(shù)，即T1=1/=20 sT2=1/=10 sT3=1/=2 s將結果代入傳遞函數(shù)表達式中得下圖是根據求出的傳遞函數(shù)畫出的Bode圖，以供比較。(c)（c）由圖中對數(shù)幅頻特性各段斜率可見，系統(tǒng)是一個I型系統(tǒng)，由一個比例環(huán)節(jié)、一個積分環(huán)節(jié)（斜率?20dB/dec）和一個慣性環(huán)節(jié)（斜率?20dB/dec）串聯(lián)組成，所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下形式：式中靜態(tài)增益K可由兩段漸近線的交點確定，即解得 K=50時間常數(shù)T為漸近線轉角頻率的倒數(shù)，即T=1/5= s將結果代入傳遞函數(shù)表達式中得下圖是根據求出的傳遞函數(shù)畫出的Bode圖，以供比較。(d) rads1（d）由圖中對數(shù)幅頻特性各段斜率可見，系統(tǒng)是一個I型系統(tǒng)，由一個比例環(huán)節(jié)、一個積分環(huán)節(jié)（斜率?20dB/dec）和二個慣性環(huán)節(jié)（斜率?20dB/dec）串聯(lián)組成，所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下形式：式中靜態(tài)增益K可由斜率為?20dB/dec的線段與橫軸的的交點確定，即解得 K=50時間常數(shù)Ti（i=1，2）為各段漸近線轉角頻率的倒數(shù)，即T1=1/5= sT2=1/50= s將結果代入傳遞函數(shù)表達式中得下圖是根據求出的傳遞函數(shù)畫出的Bode圖，以供比較。（e）由圖中對數(shù)幅頻特性各段斜率可見，系統(tǒng)是一個0型系統(tǒng)，由一個比例環(huán)節(jié)、一個振蕩環(huán)節(jié)（斜率?40dB/dec）串聯(lián)組成，所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下形式：(e)式中靜態(tài)增益K可由斜率為0dB/dec的線段與橫軸的的交點確定，即解得 K=30振蕩環(huán)節(jié)的參數(shù)可根據幅頻特性曲線峰值點的頻率和峰值來確定。阻尼比小于振蕩環(huán)節(jié)幅頻特性的峰值為所以 解得 因為振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性有峰值，所以，所以取由 rads1得 將上述結果代入傳遞函數(shù)表達式中得下圖是根據求出的傳遞函數(shù)畫出的Bode圖，以供比較。（f）由圖中對數(shù)幅頻特性各段斜率可見，系統(tǒng)是一個I型系統(tǒng)，由一個比例環(huán)節(jié)、一個積分環(huán)節(jié)（斜率?20dB/dec）和一個振蕩環(huán)節(jié)（斜率?40dB/dec）串聯(lián)組成，所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下形式：100(f)?60靜態(tài)增益K可根據對數(shù)幅頻特性斜率?20dB/dec的低頻特性的延長線與橫軸相交處的頻率100來確定，即有得 振蕩環(huán)節(jié)的參數(shù)可根據幅頻特性曲線峰值點的頻率和峰值來確定。阻尼比小于振蕩環(huán)節(jié)幅頻特性的峰值為所以 解得 因為振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性有峰值，所以，所以取由 rads1得 將上述結果代入傳遞函數(shù)表達式中得或寫成下圖是根據求出的傳遞函數(shù)畫出的Bode圖，以供比較。第6章 系統(tǒng)的穩(wěn)定性復習思考題1. 如何區(qū)分穩(wěn)定系統(tǒng)和不穩(wěn)定系統(tǒng)？2. 判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否的基本出發(fā)點是什么？3. 勞斯－胡爾維茨判別系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是什么？4. 乃奎斯特方法判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本原理和方法，為什么能用開環(huán)傳遞函數(shù)并結合開環(huán)乃奎斯特圖就可以判定閉環(huán)系統(tǒng)的極點位置？5. 當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上有極點存在時，如何處理對應于極點處的乃奎斯特圖？6. 當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)在原點或虛軸上存在重極點時，對應的乃奎斯特圖與無重極點的有什么不同？7. 相位裕量和幅值裕量是如何定義的，在極坐標和對數(shù)坐標上如何表示？8. 根軌跡是如何定義的？它應滿足什么條件？9. 根據哪些特征就能方便地畫出根軌跡的近似線？習 題61 設(圖題61)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，試判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定與否。圖題61G(s)R(s)C(s)+－（1）解：方法1—利用勞斯穩(wěn)定性判據系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號相同，滿足勞斯判據必要條件，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定還要看勞斯數(shù)列第一列元素的符號是否相同。勞斯數(shù)列為Routh表第一列元素均大于0。根據Routh判據的充要條件可知，該系統(tǒng)穩(wěn)定。方法2—利用胡爾維茨穩(wěn)定性判據系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號相同，滿足胡爾維茨穩(wěn)定性判據的必要條件，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定還要看胡爾維茨行列式結果是否全為正。 主行列式及各子行列式全為正，故系統(tǒng)穩(wěn)定。特征根：， 177。 （2）解：方法1—利用勞斯穩(wěn)定性判據系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號不相同，不滿足勞斯判據必要條件，故該系統(tǒng)不穩(wěn)定。由勞斯數(shù)列第一列元素的符號變化次數(shù)可確定特征方程具有正實部根的個數(shù)。勞斯數(shù)列為Routh表第一列元素中有小于0的元素，根據Routh判據的充要條件可知：該系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于Routh表第一列元素的符號改變了兩次，因此，系統(tǒng)有兩個特征根的實部為正。該閉環(huán)系統(tǒng)的極點（特征方程的根）為：?； 177。 。62 系統(tǒng)如圖題61所示，采用勞斯－胡爾維茨判據判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否。（1）解： 閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)特征方程為： 方法1：勞斯穩(wěn)定性判據勞斯數(shù)列為系統(tǒng)若要穩(wěn)定，特征方程系數(shù)必須全為正，且勞斯數(shù)列第一列必須全大于0，即由此解得：當時，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。方法2：胡爾維茨穩(wěn)定性判據 根據胡爾維茨穩(wěn)定性判據，解得當時，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。（2）解：閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)特征方程為：方法1：利用勞斯穩(wěn)定性判據閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號相同，滿足勞斯判據必要條件，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定還要看勞斯數(shù)列第一列元素的符號是否相同。勞斯數(shù)列為系統(tǒng)穩(wěn)定。方法2：利用胡爾維茨穩(wěn)定性判據閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號相同，滿足胡爾維茨穩(wěn)定性判據的必要條件，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定還要看胡爾維茨行列式結果是否全為正。 系統(tǒng)穩(wěn)定。特征根：， 1， 177。 （3）解：閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)特征方程為：方法1：利用勞斯穩(wěn)定性判據勞斯數(shù)列為根據勞斯穩(wěn)定性判據的充要條件得，解得，綜合得即時，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。方法2：利用胡爾維茨穩(wěn)定性判據 根據胡爾維茨穩(wěn)定性判據，解得當時，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。（4）解：閉環(huán)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)特征方程為：方法1：利用勞斯穩(wěn)定性判據特征方程系數(shù)符號相同，滿足勞斯穩(wěn)定性判據的必要條件。勞斯數(shù)列為 系統(tǒng)穩(wěn)定方法2：利用胡爾維茨穩(wěn)定性判據閉環(huán)系統(tǒng)特征方程系數(shù)符號相同，滿足胡爾維茨穩(wěn)定性判據的必要條件，但系統(tǒng)是否穩(wěn)定還要看胡爾維茨行列式結果是否全為正。 ，系統(tǒng)穩(wěn)定。特征根：， 177。 （5）解：閉環(huán)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)特征方程為：勞斯穩(wěn)定性判據特征方程系數(shù)符號相同，滿足勞斯穩(wěn)定性判據的必要條件。勞斯數(shù)列為 或 ，系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個實部為正的根。胡爾維茨穩(wěn)定性判據特征方程系數(shù)符號相同，滿足穩(wěn)定性判據的必要條件。，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。子行列式不用再計算了。，特征根：， 177。 （6）解：閉環(huán)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)特征方程為：勞斯穩(wěn)定性判據特征方程系數(shù)符號相同，滿足勞斯穩(wěn)定性判據的必要條件。勞斯數(shù)列為，故系統(tǒng)穩(wěn)定胡爾維茨穩(wěn)定性判據特征方程系數(shù)符號相同，滿足胡爾維茨穩(wěn)定性判據的必要條件。 ，故系統(tǒng)穩(wěn)定。特征根：， 177。 63 判別圖題63(a)，(b)所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖題63X(s)Y(s)+－X(s)Y(s)+－（a）2s+－（b）解：（a）前向傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)特征方程為：利用勞斯判據判穩(wěn)特征方程系數(shù)符號相同，滿足勞斯穩(wěn)定性判據的必要條件。閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程之勞斯數(shù)列如下：，系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個極點在s平面的左半平面。特征根： 177。 ，（b）經化簡得前向傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)特征方程為：特征方程系數(shù)符號相同，滿足勞斯穩(wěn)定性判據的必要條件。勞斯數(shù)列勞斯數(shù)列第1列皆為正，根據勞斯穩(wěn)定判據知：系統(tǒng)穩(wěn)定。特征根：， 177。 也可以利用開環(huán)傳遞函數(shù)用乃奎斯特穩(wěn)定性判據判穩(wěn)。64 畫出下列各開環(huán)傳遞函數(shù)的乃奎斯特圖，并判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定。（1）解：開環(huán)傳遞函數(shù)的極點為p1=?1，p2=?10，即在右半s平面無極點存在，所以p=0。開環(huán)頻率特性，Re(0)=100，Im(0)=0，Re(∞)= 0，Im(∞)=0因為相角在0186?！?180186。之間，且終點從第3象限趨于原點，所以與負虛軸必有一交點，令Re(ω)=0得交點頻率為，代入虛部得交點的虛部為2020406080100402002040Re(ω)Im(ω)由圖可見，開環(huán)Nyquist曲線不包圍(?1，j0)點，即N=0，所以N=p，故系統(tǒng)穩(wěn)定。也可以只畫出的Nyquist曲線，然后根據包圍(?1/100，j0)點的圈數(shù)N來判穩(wěn)。以下各題可采用類似方法判穩(wěn)。（2）解：開環(huán)傳遞函數(shù)的極點為p1=?2，p2=?5，p2=?20，即在右半s平面無極點存在，所以p=0。開環(huán)頻率特性，Re(0)=100，Im(0)=0，Re(∞)= 0，Im(∞)=0+因為相角在0186?！?270186。之間，且終點從第2象限趨于原點，所以與負虛軸和負實軸必各有一交點。令Re(ω)=0得與虛軸之交點頻率為，代入虛部得交點的虛部為Im(ωI)=?。令Im(ω)=0得與實軸之交點頻率為，代入實部得交點的實部為Re(ωR)=?400/77 =?。402002040608010012080604020020406080Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)p=0，N=?2，N≠p，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3）解：開環(huán)傳遞函數(shù)的極點為p1=0，p1=?1，p2=?10，即在右半s平面無極點存在（將原點處極點看成在s左半平面），所以p=0。開環(huán)頻率特性，Re(0) = ?220，Im(0) = ?∞，Re(∞)= 0，Im(∞)=0+因為相角在?90186?！?270186。之間，且終點從第2象限趨于原點，所以與負實軸必有一交點，令Im(ω)=0得交點頻率為，代入實部得交點的實部為2502001501005002000150010005000500100015002000Re(ω)Im(ω) 25201510504224Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)因為存在積分環(huán)節(jié)，即開環(huán)傳遞函數(shù)在原點有一個極點，將此極點看成在左半s平面，則從ω=0?到ω=0+用一個半徑為無窮大的圓順時針將Nyquist曲線封閉起來即可判穩(wěn)。由圖可見：N=?2，N≠p，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。（4）Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)210123456432101234p=0，N=0，N=p，故系統(tǒng)穩(wěn)定。（5）1601401201008060402002015105051015Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)p=0，N=?2，N≠p，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。（6）210864202468Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)p=0，N=?2，N≠p，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。65 設單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為畫出G(s)H(s)在K＝1和K＝40時的乃奎斯特圖，并用乃奎斯特判據判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：K=1時765432102101Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)p=0，N=0，N=p，故系統(tǒng)穩(wěn)定。K=40時7654321021012Nyquist DiagramRe(ω)Im(ω)p=0，N=?2，N≠p，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。66 設單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定使相位裕量等于45186。時的α值。67 有下列開環(huán)傳遞函數(shù)（1）（2）（3）試繪制系統(tǒng)的伯德圖并分別求它們的幅值裕量和相位裕量。68 有系統(tǒng)如圖題68所示。分別畫出其乃奎斯特圖和伯德圖，求出其相位裕量并在所作出的上述兩圖上標出。圖題68圖題6969 設圖題69所示系統(tǒng)中試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時的Kn的臨界值。610 設開環(huán)極點、零點如題圖610中各圖所示，試畫出各自相應的根軌跡圖。圖題610的開環(huán)零點、極點分布圖611 一單位負反饋的系統(tǒng)具有如下各前向傳遞函數(shù)：（1）（2）（3）試分別作出其根軌跡圖并作出必要的解釋，并說明當K為何值時系統(tǒng)將不穩(wěn)定。612 設控制系統(tǒng)中：，該系統(tǒng)在增益K為任何值時均不穩(wěn)定，試畫出該系統(tǒng)的根軌跡圖，利用作出的根軌跡圖，說明在負載軸上加一個零點，即把G(s)改為可以使該系統(tǒng)穩(wěn)定。