【正文】 拉氏變換的卷積定理得對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯逆變換得28 √用拉氏變換的方法解下列微分方程（1）解：對(duì)微分方程等號(hào)兩邊同時(shí)求拉氏變換得將初始條件代入上式并整理得解得對(duì)X(s)求拉普拉斯逆變換得到（2）解：對(duì)微分方程等號(hào)兩邊同時(shí)求拉氏變換得將初始條件代入上式并整理得解得對(duì)X(s)求拉普拉斯逆變換（查表）得到第3章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型復(fù)習(xí)思考題1. 什么是數(shù)學(xué)模型？解答：數(shù)學(xué)模型是系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。先將F(s)展開成部分分式因?yàn)閮蓚€(gè)極點(diǎn)共軛，所以K2與K1共軛，即即 所以 解法2：查表法利用拉氏變換對(duì)照表查得（2）解法1：利用部分分式法。(t)的拉氏變換為則再次利用初值定理得（2） 則 結(jié)果與（1）中計(jì)算的一致。（2） 通過取F(s)的拉氏反變換，求f(t)，再求f 39。解：（1）（2）根據(jù)部分分式法得所以 所以 所以 ，與（1）中計(jì)算結(jié)果相同。（4）解法1：，如圖22所示。（1）（2）（3）（4）（1）解：設(shè)t＜0時(shí)，f(t)＝0利用拉氏變換的線性特性（2）解：利用拉氏變換的性質(zhì)：線性性質(zhì)，復(fù)域平移特性（3）解：設(shè)t＜0時(shí)，f(t)＝0。解答：用拉氏變換解線性常微分方程，首先通過拉氏變換將常微分方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程，進(jìn)而解出象函數(shù)，最后由拉氏反變換求得常微分方程的解。求得各系數(shù)后，則F(s)可用部分分式表示 因從而可求得F(s)的原函數(shù)為 當(dāng)F(s)的某極點(diǎn)等于零，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)時(shí)，同樣可用上述方法。（7）終值定理若函數(shù)f(t)及其一階導(dǎo)數(shù)都是可拉氏變換的，并且除在原點(diǎn)處唯一的極點(diǎn)外，sF(s)在包含jω軸的右半s平面內(nèi)是解析的（這意味著當(dāng)t→∞時(shí)f(t)趨于一個(gè)確定的值），則函數(shù)f(t)的的終值為 （8）卷積定理若，則有 式中，積分，稱作f(t)和g(t)的卷積。如果f(t)在t＝0處包含一個(gè)脈沖函數(shù)，則，此時(shí)，必須將上述定理修正如下：式中，是在t = 0＋時(shí)的值；，是在t = 0—時(shí)的值。如果在t＝0處有斷點(diǎn)，f(0－)≠f(0＋)，則該定理需修改成f(0＋)為由正向使t→0時(shí)的f(t)值；f(0—)為由負(fù)向使t→0時(shí)的f(t)值；進(jìn)而可推出f(t)的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換： 式中f (i)(0)（0＜i＜n）表示f(t)的i階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的取值。②當(dāng)t→∞時(shí)，f(t)的增長(zhǎng)速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即滿足[f(t)]≤Meat式中M、a均為實(shí)常數(shù)。電冰箱、電飯鍋、空調(diào)等均屬閉環(huán)控制。這種控制方式簡(jiǎn)單，但問題是從驅(qū)動(dòng)電路到工作臺(tái)這整個(gè)“傳遞鏈”中的任一環(huán)的誤差均會(huì)影響工作臺(tái)的移動(dòng)精度或定位精度。當(dāng)主軸受到負(fù)荷W后，產(chǎn)生偏移e，因而使軸承下油腔壓力p2增加，軸承上油腔壓力p1減小，這樣，與之相通的薄膜反饋機(jī)構(gòu)的下油腔壓力亦隨之增加，上油腔壓力則減小，從而使薄膜向上產(chǎn)生凸起變形δ，因此薄膜下半部高壓油輸入軸承的通道擴(kuò)大，液阻下降，從而使軸承下部壓力上升。解答：反饋：所謂信息的反饋，就是把一個(gè)系統(tǒng)的輸出信號(hào)不斷直接地或經(jīng)過中間變換后全部或部分地返回，再輸入到系統(tǒng)中去。解答：信息：一切能表達(dá)一定含義的信號(hào)、密碼、情報(bào)和消息。2. 機(jī)械工程控制論的研究對(duì)象及任務(wù)是什么?解答：機(jī)械工程控制論實(shí)質(zhì)上是研究機(jī)械工程中廣義系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題。具體地說，它研究的是機(jī)械工程技術(shù)中的廣義系統(tǒng)在一定的外界條件（即輸入或激勵(lì)，包括外加控制與外加干擾）作用下，從系統(tǒng)的一定的初始狀態(tài)出發(fā)，所經(jīng)歷的由其內(nèi)部的固有特性（即由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)所決定的特性）所決定的整個(gè)動(dòng)態(tài)歷程：研究這一系統(tǒng)及其輸入、輸出三者之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。信息傳遞：是指信息在系統(tǒng)及過程中以某種關(guān)系動(dòng)態(tài)地傳遞，或稱轉(zhuǎn)換。如果反饋回去的訊號(hào)（或作用）與原系統(tǒng)的輸入訊號(hào)（或作用）的方向相反，則稱之為“負(fù)反饋”；反饋回去的信號(hào)（或作用）與系統(tǒng)的輸入信號(hào)（或作用）的方向相同，則稱之為“正反饋”。而基于與此相反的理由，軸承上半部壓力減小，于是軸承下半部油腔產(chǎn)生反作用力，與負(fù)荷相平衡，以減少偏移量e，甚至完全消除偏移量e，即達(dá)到“無窮大”的支承剛度。閉環(huán)控制：為了提高控制精度，采用圖11(b)所示的反饋控制，以檢測(cè)裝置隨時(shí)測(cè)定工作臺(tái)的實(shí)際位置(即其輸出信息)；然后反饋送回輸入端，與控制指令比較，再根據(jù)工作臺(tái)實(shí)際位置與目的位置之間的誤差，決定控制動(dòng)作，達(dá)到消除誤差的目的。第2章 拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法復(fù)習(xí)思考題1. 拉氏變換的定義是什么？解：有時(shí)間函數(shù)f(t)，t≥0，則f(t)的拉氏變換記作：L[f(t)]或F(s)，并定義為 s為復(fù)數(shù)。這一條件是使拉氏變換的被積函數(shù)f(t)e＿st絕對(duì)收斂，由下式看出因?yàn)? 所以 只要是在復(fù)平面上對(duì)于Re(s)＞a的所有復(fù)數(shù)s，都能使式(21)的積分絕對(duì)收斂，則Re(s)＞a為拉氏變換的定義域，a稱作收斂坐標(biāo)，見圖2f2。如果在t＝0處有斷點(diǎn)，f(0－)≠f(0＋)，則該定理需修改成式中f (i)(0＋)（0＜i＜n）表示f(t)的i階導(dǎo)數(shù)在t從正向趨近于零時(shí)的取值。對(duì)于定積分的拉普拉斯變換，如果f(t)是指數(shù)級(jí)的，則上述定理修改如下：如果f(t)在t＝0處包含一個(gè)脈沖函數(shù)，則，此時(shí)依此類推如果，該定理也要修正成（4）時(shí)域的位移定理若f(t)的拉氏變換為F(s)，對(duì)任一正實(shí)數(shù)a，有 f(t－a)為延遲時(shí)間a的函數(shù)f(t)，當(dāng)t＜a時(shí)，f(t)＝0。4. 用部分分式法求拉氏反變換的方法。注意，由于f(t)是個(gè)實(shí)函數(shù)。習(xí) 題21 √試求下列函數(shù)的拉氏變換，假設(shè)當(dāng)t＜0時(shí)f(t)＝0。利用拉氏變換線性特性、延時(shí)特性和復(fù)域平移特性【注】本題不可對(duì)第二項(xiàng)(t?1)2e2t采用如下方法：因?yàn)?，利用時(shí)域位移定理得，再利用復(fù)域平移定理得。所以 π 2π 3π 4π 5π6π101tf(t)圖題22sin(t)sin(t－π)?1(t－π)解法2：直接按定義求解?！咀ⅰ勘绢}求拉氏反變換時(shí)，可以利用教材表21中的第10項(xiàng)。(t)，然后求f(0＋)和f 39。25 求圖題2－5所示的各種波形所表示的函數(shù)的拉氏變換。先將F(s)展開成部分分式令 即 所以根據(jù)拉氏變換線性特性得解法2：利用拉氏變換復(fù)域平移定理及線性性質(zhì)得（3）解：利用部分分式法。數(shù)學(xué)模型有多種形式，如微分方程、傳遞函數(shù)、單位脈沖響應(yīng)函數(shù)、頻率響應(yīng)函數(shù)及狀態(tài)空間表達(dá)式等等。3. 傳遞函數(shù)的定義和特點(diǎn)是什么？解答：定義：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的Laplace變換與引起該輸出的輸入量的Laplace變換之比。（3）傳遞函數(shù)分子中s的階次不會(huì)大于分母中s的階次。但對(duì)于多輸入、多輸出系統(tǒng)，需要對(duì)不同的輸入量和輸出量分別求傳遞函數(shù)。10. 如何從高階微分方程推出狀態(tài)方程？如何由傳遞函數(shù)推出狀態(tài)方程？習(xí) 題31 列出圖題3－1所示各種機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程式(圖中未注明x(t)均為輸入位移，y(t)為輸出位移)。將（3）、（4）式代入（2）式，求得T2，再將求得的T2代入（1）式得輸入軸上的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J為輸入軸上的等效阻尼系數(shù)B為33 求圖題3－3所示各電氣網(wǎng)絡(luò)輸入和輸出量間關(guān)系的微分方程式，圖中ui為輸入電壓，uo為輸出電壓。解：對(duì)m1使用牛頓第二定律得 （1）對(duì)m2使用牛頓第二定律得 （2）由公式（2）得 （3）對(duì)（1）式等號(hào)兩邊同時(shí)求微分一次得 （4）將（3）式表示的及其二、三階導(dǎo)數(shù)代入（4）并整理得到36 求圖題3－6所示的各機(jī)械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：利用相應(yīng)力學(xué)定律得即 令F(s)=L[f(t)]，Θ(s)=L[θ(t)]，在初始條件為0的條件下，等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得所以傳遞函數(shù)為38 證明圖題3－8(a)和(b)所示的系統(tǒng)是相似系統(tǒng)。39 若某系統(tǒng)在階躍輸入x(t)＝1(t)作用時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和脈沖響應(yīng)函數(shù)。由單位階躍響應(yīng)得將上述結(jié)果及X(s)=1/s代入(1)式得單位階躍響應(yīng)的拉氏變換 （2）對(duì)題中給定的單位階躍響應(yīng)求拉氏變換得 （3）因?yàn)椋?）和（3）式相等，所以（3）式分母與（2）式公分母比較得代入（2）式得 （4）因?yàn)椋?）式中第一項(xiàng)即為系統(tǒng)0初始條件下的響應(yīng)的拉氏變換，所以（4）式中的第一項(xiàng)即為系統(tǒng)0初始條件下的響應(yīng)的拉氏變換，即：所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為方法2：由題中單位階躍響應(yīng)可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1，所以系統(tǒng)的靜態(tài)增益為1；系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)有2項(xiàng)，所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)，分別為?2和?1，故系統(tǒng)在0初始條件下的單位階躍響應(yīng)（對(duì)線性因果系統(tǒng)就是零狀態(tài)響應(yīng)）應(yīng)該具有如下形式：因?yàn)槌跏紬l件為0，所以有聯(lián)立上兩式解得A = 1，B = ?2所以，系統(tǒng)在0初始條件下的單位階躍響應(yīng)為其拉氏變換為已知輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)，其拉氏變換為所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（2）求單位脈沖響應(yīng)由傳遞函數(shù)的定義可知而 所以 所以這樣求得響應(yīng)為零初始條件下的響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）。圖題解311（a）（b）X(s)X1(s)F(s)F(s)X1(s)X (s)＋＋（c）X(s)＋＋（d）X(s)F(s)將方塊圖（a）、（b）合并得系統(tǒng)的方塊圖，如圖解311（c）所示，化簡(jiǎn)得方塊圖（d）。分別對(duì)質(zhì)量m1和m2利用牛頓第二定律得整理得在初始條件為0的條件下，對(duì)上兩式等號(hào)兩邊同時(shí)做拉普拉斯變換得即上兩式的方塊圖分別如圖題解312（a）、（b）所示。發(fā)動(dòng)機(jī)速度由轉(zhuǎn)速測(cè)量裝置進(jìn)行測(cè)量。解法1：（套公式—笨辦法）。u、y分別為輸入、輸出，ααα3是標(biāo)量。解：（套公式）。按分類的原則不同，時(shí)間響應(yīng)有不同的分類方法。2. 脈沖響應(yīng)函數(shù)的定義及如何利用脈沖響應(yīng)函數(shù)來求系統(tǒng)對(duì)任意時(shí)間函數(shù)輸入時(shí)的輸出時(shí)間響應(yīng)？解答：當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)受到一個(gè)單位脈沖激勵(lì)(輸入)時(shí)，它所產(chǎn)生的反應(yīng)或響應(yīng)(輸出〕定義為脈沖響應(yīng)函數(shù)。曲線形狀如圖41fs所示。5. 試分析二階系統(tǒng)ωn和ζ對(duì)系統(tǒng)性能的影響。習(xí) 題41 √設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求這個(gè)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（假定為負(fù)反饋）等號(hào)兩邊比較得ωn=1 rads1（負(fù)根舍掉），ζ=。s1將δ%=2%和ζ≈（2）式解得ωn≈ rad這是一個(gè)1型系統(tǒng)，所以其單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為當(dāng)r(t) ＝ 10t時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為解法2：按定義推導(dǎo)。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其開環(huán)增益為K=10/1=10。特征方程的根=閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)：，177。（2）單位階躍輸入下的超調(diào)量Mp和上升時(shí)間tr。1型系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0）。圖題4－7解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為等號(hào)兩邊比較得 rad49 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如題4－9所示。圖題4－9圖解：（1）由圖可知求得復(fù)域的系統(tǒng)誤差為則在單位階躍輸入信號(hào)1(t)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（2）外部擾動(dòng)N1(s)單獨(dú)作用時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差外部擾動(dòng)N2(s)單獨(dú)作用時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差（3）410 已知系統(tǒng)如圖題4－10所示。若在擾動(dòng)作用點(diǎn)之后引入積分環(huán)節(jié)1 / s，則求得復(fù)域系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為將R(s)=1/s和N(s)=2/s代入上式得結(jié)果說明：在擾動(dòng)作用點(diǎn)之后引入積分環(huán)節(jié)1 / s，可以消除對(duì)階躍型輸入信號(hào)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差，但不能消除由階躍型干擾信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差。將系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性。7. 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)的定義及本質(zhì)區(qū)別。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率20dB/dec④解：第一個(gè)由一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)和一個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)一階微分環(huán)節(jié)：，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/=5 rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec⑤解：由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)、二個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成比例環(huán)節(jié)：，一階微分環(huán)節(jié)：，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/2= rad?s?1。Bode Diagramω /rad?s?1sys1sys2sys3sys4sys5sys?20dB/dec?0dB/dec?20dB/dec?40dB/dec⑥解：由二個(gè)一階微分環(huán)節(jié)、二個(gè)慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成一階微分環(huán)節(jié)1：，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/=5 rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec⑦解：一個(gè)比例環(huán)節(jié)，一個(gè)微分環(huán)節(jié)與一個(gè)比例環(huán)節(jié)串聯(lián)（可以看成一個(gè)微分環(huán)節(jié)），一個(gè)積分環(huán)節(jié)與一個(gè)比例環(huán)節(jié)串聯(lián)（可以看成一個(gè)積分環(huán)節(jié)），然后三者并聯(lián)組成比例環(huán)節(jié)：。比例環(huán)節(jié)：，一階微分環(huán)節(jié)1：，轉(zhuǎn)角頻率ωT=1/2= rad?s?1。低頻漸近線：高頻漸近線：，斜率?20dB/dec15010050050100 102101100