【正文】 實上，是函數在約束條件下的最小值。根據二階必要條件可知，拉格朗日函數在點處的海森矩陣是半正定的(對于極大值，二階條件是說拉格朗日函數的海森矩陣半負定) ，而的加邊海森矩陣正是，因此的加邊海森矩陣是半負定的。對稱性則來自于。由于半負定對稱矩陣的逆矩陣仍然是半負定的對稱矩陣，因此矩陣也是對稱的半負定矩陣，即是對稱半負定矩陣，這就又一次說明了條件要素需求的性質2和3。二、要素需求與產品供給上面討論的條件要素需求，是生產者在產量既定情況下對生產要素的需求。盡管按照這種需求所確定的要素投入達到了最小，但沒有考慮生產者究竟應該把產出和投入確定在什么水平之上才能實現利潤最大化的問題?，F在，我們就來討論這個問題。(一) 利潤最大化的意義廠商的目標是實現利潤最大化。如以前所述，利潤是廠商的生產收入與生產成本之差。對于這個概念，關鍵在于如何理解。首先，在計算利潤的時候，所考慮的生產成本應當包括組織產生所需的一切成本。比如，企業(yè)家本人作為企業(yè)的雇員，他的工資收入應當作為企業(yè)生產成本的一部分。又如，企業(yè)貸款的利息支付必須作為生產成本得到計算。其次，廠商的收益和成本都依賴于廠商所開展的生產活動，比如生產資料的采購、產品的廣告宣傳、實際生產的組織安排等等，組織這些活動必然發(fā)生一定的費用，應該算作成本要從總收入中扣除。因此，我們所談論的種生產要素應當包含發(fā)生成本費用的這些活動。這樣，廠商的總收入和總成本反映了廠商組織、開展生產活動的水平。廠商的行為，表現為選擇一種投入產出行動，使得利潤達到最大。第二，廠商的總收入是銷售產品所得到的收入總和。假定產品的銷售量等于產品的生產量(實際上，如果產量大于銷售量，就要出現存貨。在企業(yè)的生產經營過程中，存貨是被列在資本項目中加以考慮的，因而存貨被列入成本范圍。這樣一來，銷售量與產量相等的假定對于利潤分析不會產生什么問題)。于是，總收入是通過生產函數由廠商的投入所決定的，是要素投入的函數：。同樣，總成本是廠商支付給所有生產要素的總報酬，包括了組織生產活動所發(fā)生的一切費用。在要素價格既定的情況下，總成本就由投入的全部生產要素來決定，是要素投入的函數：。既然總收入和總成本都由要素投入所決定，因此利潤也就由要素投入決定，是要素投入的函數：。這便是從投入角度來理解的利潤函數。運用簡單微積分可知，利潤最大化投入行動必然滿足下面條件：即。這就說出了利潤最大化的基本特征：(要素的)邊際收益等于(要素的)邊際成本。其經濟含義是：如果某項活動(生產要素)的邊際收益大于邊際成本，那么提高該項活動的水平(增加該要素的投入量)是有益的；如果某項活動(生產要素)的邊際收益小于邊際成本，那么降低該項活動的水平(減少該要素的投入量)是有益的。第三，還可以從產出的角度來理解利潤最大化的意義。廠商的總收入直接依賴于產量(即銷售量)。因而總收入是產量的函數：。另一方面，廠商組織一個產量的生產，當然要以最小的成本來生產這個產量，正如前一節(jié)成本理論所討論的那樣，總成本也由產量水平決定，是產量的函數：。這樣，利潤也就由產量水平決定，是產量的函數：。利潤最大化，就是說廠商要選擇一個產量水平，在這個產量水平上的生產能夠使廠商的利潤達到最大。于是，利潤最大化的產量必然滿足條件：，即。這個條件則是說：(產品的)邊際收益等于(產品的)邊際成本。因此，如果增加產量能夠使增加的收入大于增加的成本，那么增加產量就能使廠商的利潤得到提高，因而應該增加產量；反之，如果增加產量將導致增加的收入小于增加的成本，那么增加產量將使廠商的利潤水平下降，因而應該減少產量。第四，對于利潤最大化，從投入角度的理解和從產出角度的理解，二者是一致的。也就是說，如果是利潤最大化的投入方案，那么就是利潤最大化的產量；反之，如果是利潤最大化的產量，那么這個產量下的成本最小化投入方案就是利潤最大化的投入。事實上，利潤最大化的投入方案必在生產擴展線上，即必是產量下的成本最小化投入。這是因為，如果這個不是產量下得逞最小化投入方案，那么必有產量相同的另外一種投入方案，按照組織生產的成本小于按照組織生產的成本，即。既然和的產量相同，總收入和也就相同，結果投入的利潤就要小于投入的利潤，即，這與是利潤最大化投入方案相矛盾。可見，利潤最大化投入方案必是成本最小化投入方案。既然利潤最大化投入方案必然在生產擴展線上，于是利潤最大化問題就等同于說：再生產擴展線上選擇一點，使企業(yè)的利潤達到最大。顯然，這一點的選擇既可以是選擇投入方案，也可以是選擇產量，二者是相互等價的。因此，從投入角度理解的利潤最大化和從產出角度理解的最大化是一致的。正是由于這兩種理解的一致性，利潤最大化問題的答案將回答廠商如何決定要素投入水平和產量水平的問題，從而解決要素需求和產品供給的決定問題。第五，從長期來看，同一行業(yè)內諸廠商的長期利潤相等。這便是利潤最大化的長期意義。之所以這樣，是因為長期內同一行業(yè)的諸廠商之間可以相互模仿對方的行為，如果一個廠商得到了較高的利潤，那么其他廠商將會模仿該廠商的行動，使它們的利潤也達到這個水平。因此，就長期來說，同一行業(yè)中的褚廠商有著相同的總收入函數和總成本函數，有著相同的利潤函數。利潤最大化的這一特點雖然條件看上去簡單，但涵義卻常常出奇地有力。(二) 利潤最大化與要素需求從投入角度看利潤最大化，就可確定要素的最有雇傭量，即要素需求。比如廠商要決定到底應該雇傭多少數量的勞動。按照利潤最大化基本特征，廠商雇傭的勞動量應該是這樣的：如再多雇傭一個單位的勞動，那么多雇傭的勞動所增加的生產收益等于增加這一單位勞動所增加的成本，即這一額外單位的邊際收益等于它的邊際成本。按照邊際收益等于邊際成本的原則，要素的最有雇用量得以確定。為了以更加具體的方式來運用利潤最大化原則，我們把收益函數和成本函數具體化：廠商收益等于廠商出售的產品數量乘以產品價格，生產成本等于廠商雇傭的要素數量乘以要素價格。于是，利潤最大化問題變成為廠商希望雇用多少要素進行生產，以獲得最大的利潤。1．要素需求顯然，廠商的利潤不但與要素的投入量有關，而且與產品的銷售價格和要素的使用價格有關。但是，目前我們的著眼點在個別廠商上面，還沒有涉及價格的決定問題。因此，我們假定個別廠商不能單方面決定產品的價格，個別廠商對要素的購買也不能影響要素的價格。廠商是產品價格和要素價格的接受者，聽從價格的召喚，依據價格行事。經濟學中，這樣的廠商稱為競爭性廠商。廠商接受市場價格，這實際上是市場對廠商生產經營活動的約束。當然，市場約束不僅僅表現在這個方面。比如，購買廠商產品的消費者可能只愿意按某一價格支付某一數量的產品，生產要素供應商可能只愿意按照某一價格向廠商提供生產要素等等。廠商決定它的最優(yōu)行動時，必須將這些因素考慮進去。當廠商受到的約束條件較多時，利潤最大化問題是很復雜的。如果把影響廠商決策的所有因素都考慮進來，那么不但討論起來極為困難，而且往往會由于諸多次要因素的存在而掩蓋事物的本質，不利于我們揭示廠商追求利潤最大化行為的規(guī)律。鑒于這個原因，我們暫且不考慮來自于市場方面對廠商經營的錯綜復雜的影響，只假定廠商是競爭性廠商，是價格的接受者，價格是利潤最大化問題的外生變量。在這個假定下，利潤最大化問題簡化成為廠商如何組織投入以使利潤達到最大。設廠商的生產函數為，既定的要素價格體系為，既定的產品價格為，用表示產量。當廠商的投入向量為時，廠商的利潤為。使達到最大的投入向量，稱為廠商在既定價格體系下的要素需求向量，也稱為均衡投入向量(方案)，記作。當要素價格和產品價格發(fā)生變化時，給出了要素需求向量同市場價格體系之間的對應關系，這種關系稱為廠商的要素需求映射，其中各個分量函數稱為廠商的要素需求函數。2. 要素需求的決定條件從本章第五節(jié)的討論知，利潤最大化的一階條件是：。這個方程就是利潤最大化邊際方程，是確定要素需求的方程，表達了要素需求的一階決定條件。其中，表示要素的邊際產品價值(value of marginal product)，即要素的邊際收益，記作。要素的價格實際上是要素的邊際成本，記作。一階條件告訴我們，廠商使用生產要素的原則是：要求要素的邊際產品價值(即要素的邊際收益)等于要素的邊際成本。當一種要素的邊際產品價值大于這種要素的邊際成本時，增加這種要素的投入量是有益的；當一種要素的邊際產品價值小于這種要素的邊際成本時，減少這種要素的投入量是有益的。因此，廠商對各種生產要素的需要量是按照邊際產品價值等于邊際成本的原則來確定的。即就是要素的需求決定條件。我們再來討論利潤最大化的二階條件，也即決定要素需求的二階條件。微積分告訴我們，對于二階連續(xù)可微的多元函數來說，如果它在一點處取得極大(極小)值，那么它在該點處的二階導數矩陣半負定(半正定)；反之，如果它在某點處的一階導數全為零，并且在該點處的二階導數矩陣負定(正定)，那么它必然在該點處取得極大(極小)值。由此可知，利潤最大化的二階必要條件和充分條件可分別表述如下：二階必要條件．如果投入向量是生產者在價格體系下的要素需求向量，那么生產函數在處的海森矩陣半負定。二階充分條件．如果在投入方案處，且海森矩陣負定，那么必是價格體系下的要素需求向量，即。 切線 圖68 海森矩陣的半負定性這是因為，利潤函數的的二階導數矩陣與生產函數的二階導數矩陣只相差一個系數：，而且，因此矩陣與的負定性質一致：(半)負定當且僅當(半)負定。這樣，在利潤最大化二階條件中便可用用生產函數的海森矩陣代替利潤的海森矩陣，從而得到如上所述的二階必要條件和二階充分條件。由于矩陣負定(正定)的充分必要條件是該矩陣是半負定(正定)的和非奇異的，因此如上的二階充分條件，實際上是在一階和二階必要條件的基礎上再加上海森矩陣的非奇異要求。從幾何上看，利潤最大化投入方案處生產函數的海森軍陣的半負定性是說生產函數曲線(曲面)在該點附近局部凹，即位于切線(切平面)的下方(如圖68所示)。3. 直接利潤函數利潤函數的概念還可以擴大。實際上，是通過投入方案和產量來確定的，只不過由來確定。如果去掉這個限制，那么一個投入產出過程的利潤便為：?？梢姡麧櫤瘮凳峭ㄟ^把的自變量限制在集合(的圖像)上而得到的函數。鑒于這個原因，我們把定義在整個空間上的函數叫做直接利潤函數，空間叫做投入產出空間，其中的每一個向量都代表著一個投入產出過程。直接利潤函數正是投入產出過程的利潤函數。顯然，并非每一個投入產出過程都是可行的；即使可行，也不見得是有效的。當時，投入產出過程是現有生產技術所不允許的或者所大不到的；當時，投入產出過程雖然從生產技術上講是可行的，但卻是無效的(沒有達到應有的產量)。只有當時，投入產出過程才不但是技術允許的，而且是有效的。所以，生產函數曲線(曲面)代表著技術有效性，是技術有效投入產出過程的全體。 等利潤線 圖69 利潤最大化的幾何意義現在，我們可以解釋利潤最大化投入方案處生產函數曲線的切線的意義。為此，我們把投入產出空間中利潤相同的點所構成的集合，稱為等利潤曲線。利潤最大化問題，就是直接利潤函數在約束條件下的極大值問題。因此，等利潤曲線與生產函數曲線的切點就是利潤最大化問題的解，其中就是利潤最大化投入方案，就是利潤最大化產量?？梢姡麧欁畲蠡度敕桨柑幧a函數曲線的切線就是等利潤曲線，它代表的利潤是技術允許的最大利潤，如圖69所示。這條等利潤曲線的方程是：。既然利潤最大化投入方案處生產函數曲線的切線的方程是，因而在軸方向上的切線斜率為，即為要素的價格與產品價格之比。4. 間接利潤函數按照利潤最大化原則組織生產，廠商將獲得最大利潤。這個最大利潤，是由既定的要素價格和產品價格所確定的：當要素價格和產品價格發(fā)生變化時，最大利潤跟著發(fā)生變化。于是，給出了廠商的最大利潤同市場價格體系之間的一種對應關系。我們把這種對應關系稱為廠商的間接利潤函數。間接利潤函數反映了廠商的利潤水平隨價格體系變化的規(guī)律，或者說確定了價格體系決定的廠商利潤水平情況。它類似于消費者理論中的間接效用函數，在經濟分析中相當重要。(三) 利潤最大化與產品供給現在，我們從產出角度來看利潤最大化，從而引出產品供給。1．產品供給的原則從產出角度看利潤最大化，那么利潤最大化一階條件還可寫成：這表示：不論通過多投入哪一種生產要素來增加產品產量，增加一單位產品所需增加的收益都等于增加這一單位產品所增加的成本，即產品的邊際收益等于產品的邊際成本。如果產品的邊際收益大于產品的邊際成本，那么再增加產量是有益的；如果產品的邊際收益小于產品的邊際成本，那么減少產量是有益的?？梢姡偁幮詮S商的產品供給原則是：產品的邊際收益等于產品的邊際成本。實際上，這條原則不但對競爭性廠商使用，而且對于非完全競爭性廠商也是使用的。這是應為從產出角度看利潤，利潤函數可寫成：。利潤最大時，利潤對產量的導數應為零，即。所以，利潤最大化的條件也是：產品的邊際收益等于產品的邊際成本。即，廠商應該選擇這樣的一個產出水平，在這個水平上再增加生產一個單位產品，所得到的收益增加量等于為了增加這一單位產品所需的增加的成本。2．產品供給函數在既定的價格體系下，廠商按照“邊際收益等于邊際成本”原則確定的產量水平，稱為廠商在價格體系下的產品供應量，或者稱為均衡產量，或者稱為利潤最大化產量。當價格體系發(fā)生變化時，產品供應量跟著發(fā)生變化，于是確定了產品供應量同價格體系之間的一種對應關系，稱這種對應關系為廠商的產品供給函數。顯然，產品供給同要素需求之間的關系為：間接利潤函數同產品供給和要素需求之間的關系為：在既定的價格體系下，點正是等利潤線和生產函數曲線的切點(如圖69所示)。稱這個點為廠商在價格體系下的均衡。3．從成本最小化角度看利潤最大化利用上一節(jié)中討論的成本函數，也能給出確定產品供給(利潤最大化)的一階和二階條件。實際