【正文】 那么，由安培環(huán)路定律得知，在圓柱內(nèi)線積分僅包圍的部分電流為，又，則即 在圓柱外，線積分包圍全部電流，那么即 習(xí)題圖55(b)YXrYXcabJY習(xí)題圖55(a)55 已知無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱的半徑為a，其內(nèi)部存在的圓柱空腔半徑為b，導(dǎo)體圓柱的軸線與空腔圓柱的軸線之間的間距為c，如習(xí)題圖55（a）所示。若導(dǎo)體中均勻分布的電流密度為，試求空腔中的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 柱內(nèi)空腔可以認(rèn)為存在一個(gè)均勻分布的等值反向電流，抵消了原有的電流而形成的。那么，利用疊加原理和安培環(huán)路定律即可求解。已知半徑為，電流密度為的載流圓柱在柱內(nèi)半徑r處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度H1為求得 ，或?qū)憺槭噶啃问?對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 同理可得半徑為，電流密度為的載流圓柱在柱內(nèi)產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 上式中的方向及位置如習(xí)題圖55（b）示。因此，空腔內(nèi)總的磁感應(yīng)強(qiáng)度為56 兩條半無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線與一個(gè)半圓環(huán)導(dǎo)線形成一個(gè)電流回路，如習(xí)題圖56所示。若圓環(huán)半徑r =10cm，電流I = 5A，試求半圓環(huán)圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。rI①②③0X習(xí)題圖56Y解 根據(jù)畢奧—沙伐定律，載流導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為 設(shè)半圓環(huán)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直導(dǎo)線平行于X軸，如圖所示。那么，對(duì)于半無(wú)限長(zhǎng)線段①，因此，在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為同理線段③在圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為對(duì)于半圓形線段②, , 因此，它在半圓心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度為 那么，半圓中心處總的磁感應(yīng)強(qiáng)度為57 若在處放置一根無(wú)限長(zhǎng)線電流，在y = a處放置另一根無(wú)限長(zhǎng)線電流，如習(xí)題圖57所示。試YZaaI0IX習(xí)題圖57求坐標(biāo)原點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 根據(jù)無(wú)限長(zhǎng)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度公式，求得位于處的無(wú)限長(zhǎng)線電流在原點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為位于處的無(wú)限長(zhǎng)線電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)為因此，坐標(biāo)原點(diǎn)處總磁感應(yīng)強(qiáng)度為yzw/2w/2IodxJxP58 已知寬度為W的帶形電流的面密度，位于z = 0平面內(nèi)，如習(xí)題圖58所示。試求處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。dyyzyo 習(xí)題圖58(a) 習(xí)題圖58(b)解 寬度為，面密度為的面電流可看作為線電流，其在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 由對(duì)稱性可知，z方向的分量相互抵消，如習(xí)題圖58（b）所示，則 YZPah0IX習(xí)題圖59因此，在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 59 已知電流環(huán)半徑為a，電流為I，電流環(huán)位于z = 0平面，如習(xí)題圖59所示。試求處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 由畢奧—沙伐定律得因?yàn)樘幪幣c正交，則即 由對(duì)稱性可知，P點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度只有分量，所以因此，處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為zzdr0510 當(dāng)半徑為a的均勻帶電圓盤的電荷面密度為，若圓盤繞其軸線以角速度旋轉(zhuǎn)，試求軸線上任一點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 如習(xí)題圖 510所示，將圓盤分割成很多寬度為的載流圓環(huán)dI，它在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，根據(jù)題59結(jié)果,得知 因?yàn)? 習(xí)題圖510因此 511 已知位于y = 0平面內(nèi)的表面電流，試證磁感應(yīng)強(qiáng)度B為0XYZ習(xí)題圖511解 有兩種求解方法。解法一：將平面分割成很多寬度為的無(wú)限長(zhǎng)線電流，那么由題58結(jié)果獲知，當(dāng)時(shí)因此，積分求得同理，當(dāng)時(shí)， 那么，積分求得 解法二：由題58知，即 令y 0的區(qū)域中磁場(chǎng)強(qiáng)度為H1，而y 0的區(qū)域中磁場(chǎng)強(qiáng)度為H2，那么，在的邊界上。由此求得 ，因此512 已知N邊正多邊形的外接圓半徑為a，當(dāng)通過(guò)的電流為I時(shí)，試證多邊形中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 IIIO習(xí)題圖512式中為正多邊形平面的法線方向上單位矢量。若時(shí)，中心B值多大？解 如習(xí)題圖512所示，載流線圈每邊在中心O處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為所以，N條邊在中心O處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為 當(dāng)時(shí)，此結(jié)果即是半徑為的電流環(huán)在中心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。513 若表面電流位于平面內(nèi)，試證式中為在處取極值的一維函數(shù)。解 由安培環(huán)路定理得知，因，再利用斯托克斯定理得由函數(shù)的定義可知，一維函數(shù)的量綱為長(zhǎng)度的倒數(shù)。因此，為體電流密度,即上式對(duì)于任何表面都成立，因此被積函數(shù)為零，即514 若位于圓柱坐標(biāo)系中處的無(wú)限長(zhǎng)線電流的電流為I，方向與正Z軸一致，試證磁感應(yīng)強(qiáng)度為 解 由函數(shù)的定義可知，為二維函數(shù)在圓柱坐標(biāo)系中的表示，其量綱為面積的倒數(shù)。因此，為位于處的z方向的電流密度。那么由安培環(huán)路定律得知，即再利用斯托克斯定理，求得 上式對(duì)于任何表面均成立，因此被積函數(shù)為零，即515 若無(wú)限長(zhǎng)的半徑為a的圓柱體中電流密度分布函數(shù)，試求圓柱內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 取圓柱坐標(biāo)系，如習(xí)題圖515所示。當(dāng)時(shí)，通過(guò)半徑為r的圓柱電流為oxyz習(xí)題圖 515由 求得 當(dāng)時(shí)由 求得 516 證明矢量磁位A滿足的方程式的解為 （提示：利用函數(shù)在處的奇點(diǎn)特性）。證明 已知 因此 xyo習(xí)題圖 517517 已知空間y 0區(qū)域?yàn)榇判悦劫|(zhì)，其相對(duì)磁導(dǎo)率區(qū)域?yàn)榭諝?。試求：①?dāng)空氣中的磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，磁性媒質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；②當(dāng)磁性媒質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，空氣中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0。解 根據(jù)題意，建立的直角坐標(biāo)如圖517所示。① 設(shè)磁性媒質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 已知在此邊界上磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù)，磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)。因此 ， 求得 ，即 ② 設(shè)空氣中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為則由邊界條件獲知，求得 ，即 518 已知均勻繞制的長(zhǎng)螺線管的匝數(shù)為N，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，半徑為a，電流為I，如習(xí)題圖518(a)所示。試求：① 螺線管內(nèi)部中點(diǎn)o處的磁感應(yīng)強(qiáng)度；orRxzyPIdl習(xí)題圖518(b)f② 螺線管外部P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，圖中。PoNL2ad習(xí)題圖518(a)解 ① 螺線管可看作是線密度為的圓柱面電流，如圖習(xí)題圖518(b)所示。由題59的結(jié)果得知，電流為的電流環(huán)在中點(diǎn)o處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 那么，螺線管在中點(diǎn)o處產(chǎn)生的總磁感應(yīng)強(qiáng)度為② 為了計(jì)算螺線管外的場(chǎng)強(qiáng)，可將螺線管看作為由N個(gè)同軸電流環(huán)組成。已知在xoy平面內(nèi)，單個(gè)電流環(huán)I在點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位為 式中?？紤]到，那么 因此 當(dāng)電流環(huán)位于xoy平面時(shí)，r162。 = d，那么，在處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為考慮到，對(duì)于P點(diǎn)而言，可以認(rèn)為每個(gè)電流環(huán)均處于xoy平面內(nèi)。因此，P點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度增加N倍，即519 根據(jù)式（529b），證明 。證明 式（529b）為則 利用高斯定理，同時(shí)考慮到，求得但由電流連續(xù)性原理獲知。因此。520 證明在邊界上矢量磁位A的切向分量是連續(xù)的。解 已知磁通與矢量磁位A的關(guān)系為 類似證明磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量是連續(xù)的方法，緊靠邊界作一個(gè)閉合矩形方框。當(dāng)方框面積趨近零時(shí)，穿過(guò)方框的磁通也為零，那么求得這樣，由此獲知，即邊界上矢量磁位的切向分量是連續(xù)的。521 當(dāng)磁導(dǎo)率為的磁棒插入電流為I的螺線管中，若單位長(zhǎng)螺線管的匝數(shù)為N，磁棒的半徑為a，螺線管的內(nèi)徑為。試求：①及區(qū)域中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，磁場(chǎng)強(qiáng)度H及磁化強(qiáng)度；②磁棒中的磁化電流密度及磁棒表面的表面磁化電流密度。BACDmz習(xí)題圖 522解 ① 根據(jù)題意，螺線管中磁棒位置如圖522所示。取圓柱坐標(biāo)系，且令螺線管的軸線與z軸一致。作一個(gè)矩形閉合回路，其中AB和CD邊垂直于螺線管壁，AD邊緊靠在螺線管外壁，BC邊平行于螺線管內(nèi)壁，其長(zhǎng)度為。沿該矩形閉合回路積分，由安培環(huán)路定律知可以認(rèn)為，螺線管中的磁場(chǎng)強(qiáng)度方向均與螺線管的軸線平行，螺線管外附近無(wú)漏磁。那么當(dāng)矩形回路的BC邊位于磁棒內(nèi)時(shí)，若令磁棒內(nèi)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為H1，則上述閉合積分變?yōu)橐虼耍虐魞?nèi)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為 磁棒內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 磁棒內(nèi)的磁化強(qiáng)度為 若令磁棒與螺線管壁之間的磁場(chǎng)強(qiáng)度為H2，則上述閉合積分變?yōu)?磁棒與螺線管壁之間的磁感應(yīng)強(qiáng)度為磁棒與螺線管壁之間磁化強(qiáng)度為② 磁棒中的磁化電流密度為磁棒側(cè)面的表面磁化電流密度為522 已知半徑為a的鐵氧體球內(nèi)部的磁化強(qiáng)度，試求：①球內(nèi)磁化電流密度及球面的表面磁化電流密度；②磁化電流在球心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解 ① 球內(nèi)磁化電流密度為 球面的表面磁化電流密度為由題59的結(jié)果獲知，位于處寬度為的環(huán)行電流在球心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度 那么，整個(gè)球面上磁化電流在球心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為523 當(dāng)磁矩為25Am2的磁針位于磁感應(yīng)強(qiáng)度B = 2T的均勻磁場(chǎng)中，試求磁針承受的最大轉(zhuǎn)矩。解 當(dāng)磁矩方向與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直，即夾角時(shí)，磁針承受的轉(zhuǎn)矩最大，因此磁針承受的最大轉(zhuǎn)矩為524 已知體積為1m3的均勻磁化棒的磁矩為10Am2，若棒內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度，為軸線方向。試求棒內(nèi)磁場(chǎng)強(qiáng)度。解 由磁化強(qiáng)度定義，求得棒內(nèi)磁化強(qiáng)度為那么，棒內(nèi)磁場(chǎng)強(qiáng)度為525 已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)的磁化球的半徑為a，若球內(nèi)的磁化強(qiáng)度，式中A，B均為常數(shù)，試求球內(nèi)及球面上的磁化電流。解 球內(nèi)的磁化電流密度為因此，球內(nèi)的磁化電流為零。球面上的表面磁化電流密度為位于處寬度為的環(huán)形電流為因此，球面上的總磁化電流為61 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體圓盤位于均勻恒定磁場(chǎng)中，恒定磁場(chǎng)的方向垂直于圓盤平面，若該圓盤以角速度繞其軸線旋轉(zhuǎn)，求圓盤中心與邊緣之間的電壓。解 將導(dǎo)體圓盤分割為很多扇形條，其半徑為，弧長(zhǎng)為。當(dāng)導(dǎo)體圓盤旋轉(zhuǎn)時(shí)，扇形條切割磁力線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)等于圓盤中心與邊緣之間的電壓。根據(jù)書中式（6111），在離圓盤中心為，長(zhǎng)度為的線元中產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為因此，圓盤中心與邊緣之間的電壓為XI2xa cdbdxdsm0YI1062 一個(gè)面積為的矩形線圈位于雙導(dǎo)線之間，位置如習(xí)題圖62所示。兩導(dǎo)線中電流方向始終相反，其變化規(guī)律為，試求線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。 習(xí)題圖62解 建立的坐標(biāo)如圖62所示。在內(nèi)，兩導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為則穿過(guò)回路的磁通量為則線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為63 設(shè)帶有滑條AB的兩根平行導(dǎo)線的終端并聯(lián)電阻，如習(xí)題圖63所示。若正弦電磁場(chǎng)垂直穿過(guò)該回路，當(dāng)滑條AB的位置以規(guī)律變化時(shí)，試求回路中的感應(yīng)電oRBxyBA習(xí)題圖63流。解 建立的坐標(biāo)如圖63所示。令并聯(lián)電阻位于處，在t時(shí)刻回路的磁通量為那么，回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為因此回路中的感應(yīng)電流為aZYXBb0習(xí)題圖6464 一個(gè)面積為的矩形導(dǎo)線框位于磁場(chǎng)中，如習(xí)題圖64所示。若線框以角速度繞其軸勻速旋轉(zhuǎn)，在時(shí)刻框平面與平面重合，試求當(dāng)和時(shí)線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解 當(dāng)時(shí)，磁場(chǎng)為恒定磁場(chǎng)，穿過(guò)線框的磁通量為則線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為當(dāng)時(shí)，同理可得穿過(guò)線框的磁通量為那么，線框中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為zA0BadaI65 兩個(gè)半徑均為的圓環(huán)導(dǎo)線沿Z軸同軸地放置，如習(xí)題圖65所示。若線圈A中通過(guò)恒定電流I，線圈B以速度v向正Z方向運(yùn)動(dòng)，且間距，試證線圈B中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 習(xí)題圖65解 線圈A在線圈B處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為因?yàn)?，可以認(rèn)為線圈B處于位置，則線圈B內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為穿過(guò)線圈B的磁通量為則線圈B中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為由于，那么考慮到，求得66 已知雙導(dǎo)線中的電流，導(dǎo)線半徑a遠(yuǎn)小于間距d，計(jì)算單位長(zhǎng)度內(nèi)雙導(dǎo)線的內(nèi)電感與外電感。解 建立直角坐標(biāo)，且令一根導(dǎo)線位于x = 0 處。在雙導(dǎo)線中取出單位長(zhǎng)度，沿長(zhǎng)度方向形成一個(gè)矩形回路，該回路方向與正y方向構(gòu)成右旋關(guān)系，如習(xí)題圖66（a）所示。令，習(xí)題圖66（a）axI2I1XYa0d那么，兩個(gè)電流在兩導(dǎo)線間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為該磁場(chǎng)形成的外磁通為由于此時(shí)磁通鏈等于磁通，即，故外電感為 如習(xí)題圖66（b）所示，導(dǎo)體內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為xyr0odrr習(xí)題圖66（b）a 該磁場(chǎng)形成的內(nèi)磁通鏈為 即 故內(nèi)電感為xyI1I2adzydy習(xí)題圖67 67 若無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線與半徑為a的圓環(huán)導(dǎo)線平行放置，電流方向如習(xí)題圖67所示。計(jì)算直導(dǎo)線與圓環(huán)之間的互感。解 建立的直角坐標(biāo)如圖67所示，令長(zhǎng)直導(dǎo)線位于z軸。那么，無(wú)限長(zhǎng)z向電流在平面內(nèi)+y軸一側(cè)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為