【正文】 成一排，給他們每個(gè)人頭上戴一頂帽子。每個(gè)人都看不見自己戴的帽子的顏色，而且每個(gè)人都看得見在他前面所有人頭上帽子的顏色，卻看不見在他后面任何人頭上帽子的顏色。現(xiàn)在從最后那個(gè)人開始，問(wèn)他是不是知道自己戴的帽子顏色，如果他回答說(shuō)不知道，就繼續(xù)問(wèn)他前面那個(gè)人。一直往前問(wèn)，那么一定有一個(gè)人知道自己所戴的帽子顏色?！? 當(dāng)然要假設(shè)一些條件： 1)首先，帽子的總數(shù)一定要大于人數(shù)，否則帽子都不夠戴。 2)“有若干種顏色的帽子，每種若干頂，有若干人”這個(gè)信息是隊(duì)列中所有人都事先知道的，而且所有人都知道所有人都知道此事，所有人都知道所有人都知道所有人都知道此事，等等等等。但在這個(gè)條件中的“若干”不一定非要具體一一給出數(shù)字來(lái)。 這個(gè)信息具體地可以是象上面經(jīng)典的形式，列舉出每種顏色帽子的數(shù)目“有3頂黑帽子，2頂白帽子，3個(gè)人”，也可以是“有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個(gè)人”，甚至連具體人數(shù)也可以不知道，“有不知多少人排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數(shù)目都比人數(shù)少1”，這時(shí)候那個(gè)排在最后的人并不知道自己排在最后——直到開始問(wèn)他時(shí)發(fā)現(xiàn)在他回答前沒有別人被問(wèn)到，他才知道他在最后。在這個(gè)帖子接下去的部分當(dāng)我出題的時(shí)候我將只寫出“有若干種顏色的帽子，每種若干頂，有若干人”這個(gè)預(yù)設(shè)條件，因?yàn)檫@部分確定了，題目也就確定了。 3)剩下的沒有戴在大家頭上的帽子當(dāng)然都被藏起來(lái)了，隊(duì)伍里的人誰(shuí)都不知道都剩下些什么帽子。 4)所有人都不是色盲，不但不是，而且只要兩種顏色不同，他們就能分別出來(lái)。當(dāng)然他們的視力也很好，能看到前方任意遠(yuǎn)的地方。他們極其聰明，邏輯推理是極好的?？偠灾?，只要理論上根據(jù)邏輯推導(dǎo)得出來(lái)，他們就一定推導(dǎo)得出來(lái)。相反地如果他們推不出自己頭上帽子的顏色，任何人都不會(huì)試圖去猜或者作弊偷看——不知為不知。 5)后面的人不能和前面的人說(shuō)悄悄話或者打暗號(hào)。 當(dāng)然，不是所有的預(yù)設(shè)條件都能給出一個(gè)合理的題目。比如有99頂黑帽子，99頂白帽子，2個(gè)人，無(wú)論怎么戴，都不可能有人知道自己頭上帽子的顏色。另外，只要不是只有一種顏色的帽子，在只由一個(gè)人組成的隊(duì)伍里，這個(gè)人也是不可能說(shuō)出自己帽子的顏色的。 但是下面這幾題是合理的題目：1)3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子，10個(gè)人。2)3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子，8個(gè)人。3)n頂黑帽子，n1頂白帽子，n個(gè)人（n0）。4)1頂顏色1的帽子，2頂顏色2的帽子，……，99頂顏色99的帽子，100頂顏色100的帽子，共5000個(gè)人。5)有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個(gè)人。6)有不知多少人（至少兩人）排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數(shù)目都比人數(shù)少1。 大家可以先不看我下面的分析，試著做做這幾題。 如果按照上面3頂黑帽2頂白帽時(shí)的推理方法去做，那么10個(gè)人就可以把我們累死，別說(shuō)5000個(gè)人了。但是3)中的n是個(gè)抽象的數(shù)，考慮一下怎么解決這個(gè)問(wèn)題，對(duì)解決一般的問(wèn)題大有好處。 假設(shè)現(xiàn)在n個(gè)人都已經(jīng)戴好了帽子，問(wèn)排在最后的那一個(gè)人他頭上的帽子是什么顏色，什么時(shí)候他會(huì)回答“知道”？很顯然，只有在他看見前面n1個(gè)人都戴著白帽時(shí)才可能，因?yàn)檫@時(shí)所有的n1頂白帽都已用光，在他自己的腦袋上只能頂著黑帽子，只要前面有一頂黑帽子，那么他就無(wú)法排除自己頭上是黑帽子的可能——即使他看見前面所有人都是黑帽，他還是有可能戴著第n頂黑帽。 現(xiàn)在假設(shè)最后那個(gè)人的回答是“不知道”，那么輪到問(wèn)倒數(shù)第二人。根據(jù)最后面那位的回答，他能推斷出什么呢？如果他看見的都是白帽，那么他立刻可以推斷出自己戴的是黑帽——要是他也戴著白帽，那么最后那人應(yīng)該看見一片白帽，問(wèn)到他時(shí)他就該回答“知道”了。但是如果倒數(shù)第二人看見前面至少有一頂黑帽，他就無(wú)法作出判斷——他有可能戴著白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人無(wú)法回答“知道”；他自然也有可能戴著黑帽。 這樣的推理可以繼續(xù)下去，但是我們已經(jīng)看出了苗頭。最后那個(gè)人可以回答“知道”當(dāng)且僅當(dāng)他看見的全是白帽，所以他回答“不知道”當(dāng)且僅當(dāng)他至少看見了一頂黑帽。這就是所有帽子顏色問(wèn)題的關(guān)鍵！ 如果最后一個(gè)人回答“不知道”，那么他至少看見了一頂黑帽，所以如果倒數(shù)第二人看見的都是白帽，那么最后那個(gè)人看見的至少一頂黑帽在哪里呢？不會(huì)在別處，只能在倒數(shù)第二人自己的頭上。這樣的推理繼續(xù)下去，對(duì)于隊(duì)列中的每一個(gè)人來(lái)說(shuō)就成了： “在我后面的所有人都看見了至少一頂黑帽，否則的話他們就會(huì)按照相同的判斷斷定自己戴的是黑帽，所以如果我看見前面的人戴的全是白帽的話，我頭上一定戴著我身后那個(gè)人看見的那頂黑帽。” 我們知道最前面的那個(gè)人什么帽子都看不見，就不用說(shuō)看見黑帽了，所以如果他身后的所有人都回答說(shuō)“不知道”，那么按照上面的推理，他可以確定自己戴的是黑帽，因?yàn)樗砗蟮娜吮囟匆娏艘豁敽诿薄荒苁堑谝粋€(gè)人他自己頭上的那頂。事實(shí)上很明顯，第一個(gè)說(shuō)出自己頭上是什么顏色帽子的那個(gè)人，就是從隊(duì)首數(shù)起的第一個(gè)戴黑帽子的人，也就是那個(gè)從隊(duì)尾數(shù)起第一個(gè)看見前面所有人都戴白帽子的人。 這樣的推理也許讓人覺得有點(diǎn)循環(huán)論證的味道，因?yàn)樯厦婺嵌瓮评碇邪恕叭绻麆e人也使用相同的推理”這樣的意思，在邏輯上這樣的自指式命題有點(diǎn)危險(xiǎn)。但是其實(shí)這里沒有循環(huán)論證，這是類似數(shù)學(xué)歸納法的推理，每個(gè)人的推理都建立在他后面那些人的推理上，而對(duì)于最后一個(gè)人來(lái)說(shuō)，他的身后沒有人，所以他的推理不依賴于其他人的推理就可以成立，是歸納中的第一個(gè)推理。稍微思考一下，我們就可以把上面的論證改得適合于任何多種顏色的推論： “如果我們可以從假設(shè)斷定某種顏色的帽子一定會(huì)在隊(duì)列中出現(xiàn)，從隊(duì)尾數(shù)起第一個(gè)看不見這種顏色的帽子的人就立刻可以根據(jù)和此論證相同的論證來(lái)作出判斷，他戴的是這種顏色的帽子?，F(xiàn)在所有我身后的人都回答不知道，所以我身后的人也看見了此種顏色的帽子。如果在我前面我見不到此顏色的帽子，那么一定是我戴著這種顏色的帽子?！? 當(dāng)然第一個(gè)人的初始推理相當(dāng)簡(jiǎn)單：“隊(duì)列中一定有人戴這種顏色的帽子，現(xiàn)在我看不見前面有人戴這顏色的帽子，那它只能是戴在我的頭上了?！? 對(duì)于題1)事情就變得很明顯，3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子給10個(gè)人戴，隊(duì)列中每種顏色至少都該有一頂，于是從隊(duì)尾數(shù)起第一個(gè)看不見某種顏色的帽子的人就能夠斷定他自己戴著這種顏色的帽子，通過(guò)這點(diǎn)我們也可以看到，最多問(wèn)到從隊(duì)首數(shù)起的第三人時(shí)，就應(yīng)該有人回答“知道”了，因?yàn)閺年?duì)首數(shù)起的第三人最多只能看見兩頂帽子，所以最多看見兩種顏色，如果他后面的人都回答“不知道”，那么他前面一定有兩種顏色的帽子，而他頭上戴的一定是他看不見的那種顏色的帽子。 題2)也一樣，3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子給8個(gè)人戴，那么隊(duì)列中一定至少有一頂白帽子，因?yàn)槠渌伾悠饋?lái)一共才7頂，所以隊(duì)列中一定會(huì)有人回答“知道”。 題4)的規(guī)模大了一點(diǎn)，但是道理和2)完全一樣。100種顏色的5050頂帽子給5000人戴，前面99種顏色的帽子數(shù)量是1 …… 99=4950，所以隊(duì)列中一定有第100種顏色的帽子（至少有50頂），所以如果自己身后的人都回答“不知道”，那么那個(gè)看不見顏色100帽子的人就可以斷定自己戴著這種顏色的帽子。 至于5)、6)“有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個(gè)人”以及“有不知多少人排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數(shù)目都比人數(shù)少1”，原理完全相同，我就不具體分析了。 最后要指出的一點(diǎn)是，上面我們只是論證了，如果我們可以根據(jù)各種顏色帽子的數(shù)量和隊(duì)列中的人數(shù)判斷出在隊(duì)列中至少有一頂某種顏色的帽子，那么一定有一人可以判斷出自己頭上的帽子的顏色。因?yàn)槿绻猩砗蟮娜硕蓟卮稹安恢馈钡脑?，那個(gè)從隊(duì)尾數(shù)起第一個(gè)看不見這種顏色的帽子的人就可以判斷自己戴了此顏色的帽子。但是這并不是說(shuō)在詢問(wèn)中一定是由他來(lái)回答“知道”的，因?yàn)檫€可能有其他的方法來(lái)判斷自己頭上帽子的顏色。比如說(shuō)在題2)中，如果隊(duì)列如下：（箭頭表示隊(duì)列中人臉朝的方向） 白白黑黑黑黑紅紅紅白→那么在隊(duì)尾第一人就立刻可以回答他頭上的是白帽，因?yàn)樗匆娏怂械?頂紅帽子和4頂黑帽子，能留給他自己戴的只能是白帽子了 【69】假設(shè)排列著100個(gè)乒乓球，由兩個(gè)人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個(gè)乒乓球的人為勝利者。條件是：每次拿球者至少要拿1個(gè)，但最多不能超過(guò)5個(gè)，問(wèn)：如果你是最先拿球的人，你該拿幾個(gè)？以后怎么拿就能保證你能得到第100個(gè)乒乓球？ 拿出4個(gè), 然后按照6的倍數(shù)和另外一人分別拿球. 即 另外一人拿1個(gè), 我拿5個(gè) 另外一人拿2個(gè), 我拿4個(gè) 另外一人拿3個(gè), 我拿3個(gè) 另外一人拿4個(gè), 我拿2個(gè) 另外一人拿5個(gè), 我拿1個(gè). 最終100個(gè)在我手上.首先拿4個(gè) 別人拿n個(gè)你就拿6－n個(gè)【70】盧姆教授說(shuō)：“有一次 我目擊了兩只山羊的一場(chǎng)殊死決斗，結(jié)果引出了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。我的一位鄰居有一只山羊，重54磅，它已有好幾個(gè)季度在附近山區(qū)稱王稱霸。后來(lái)某個(gè)好事 之徒引進(jìn)了一只新的山羊，比它還要重出3磅。開始時(shí)，它們相安無(wú)事，彼此和諧相處?？墒怯幸惶?，較輕的那只山羊站在陡峭的山路頂上，向它的競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手猛撲過(guò) 去，那對(duì)手站在土丘上迎接挑戰(zhàn)，而挑戰(zhàn)者顯然擁有居高臨下的優(yōu)勢(shì)。不幸的是，由于猛烈碰撞，兩只山羊都一命嗚呼了?，F(xiàn)在要講一講本題的奇妙之處。對(duì)飼養(yǎng)山羊頗有研究，還寫過(guò)書的喬治．阿伯克龍比說(shuō)道：“通過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，我發(fā)現(xiàn)，動(dòng)量相當(dāng)于一個(gè)自20英尺高處墜落下來(lái) 的30磅重物的一次撞擊，正好可以打碎山羊的腦殼，致它死命?！比绻f(shuō)得不錯(cuò)，那么這兩只山羊至少要有多大的逼近速度，才能相互撞破腦殼？你能算出來(lái) 嗎？ 1英尺（ft）=（m） 1磅（lb）=（kg） 通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到撞破腦殼所需要的機(jī)械能是mgh=（30*）**（20*）=（J）對(duì)于兩只山羊撞擊瞬間來(lái)說(shuō)，比較重的那只僅僅是站在原地，只有較輕的山羊具有速度，而題目中暗示我們，兩只羊僅一次碰撞致死。現(xiàn)在我們只需要求得碰撞瞬間輕山羊的瞬時(shí)速度就可以了，根據(jù)機(jī)械能守恒定律:mgh=1/2(m1v^2)可以得出速度。m1是輕山羊的重量?！?1】據(jù)說(shuō)有人給酒肆的老板娘出了一個(gè)難題：此人明明知道店里只有兩個(gè)舀酒的勺子，分別能舀7兩和11兩酒，卻硬要老板娘賣給他2兩酒。聰明的老板娘毫不含糊，用這兩個(gè)勺子在酒缸里舀酒，并倒來(lái)倒去，居然量出了2兩酒，聰明的你能做到嗎？ 7兩倒入11兩, 再用7兩倒入11兩裝滿, 7兩中剩余3兩, 倒出11兩, 將3兩倒入11兩, 用7兩兩次倒入11兩裝滿, 7兩中剩余6兩, 將11兩倒出, 將6兩倒入, 然后用7兩倒入11兩, 剩余2兩. 于是得到. 11,04,74,00,411,48,78,01,71,00,111,15,75,00,511,59,79,02,7【72】已知： 每個(gè)飛機(jī)只有一個(gè)油箱， 飛機(jī)之間可以相互加油（注意是相互，沒有加油機(jī)） 一箱油可供一架飛機(jī)繞地球飛半圈，問(wèn)題：為使至少一架飛機(jī)繞地球一圈回到起飛時(shí)的飛機(jī)場(chǎng)，至少需要出動(dòng)幾架飛機(jī)？（所有飛機(jī)從同一機(jī)場(chǎng)起飛，而且必須安全 返回機(jī)場(chǎng)，不允許中途降落，中間沒有飛機(jī)場(chǎng)） 需要4飛機(jī). 假設(shè)需要三架飛機(jī),編號(hào)為1,2,3. 三架同時(shí)起飛, 飛到1/8 圈處, 1號(hào)飛機(jī),給2號(hào),3號(hào),飛機(jī)各加上1/8 圈的油, 剛好飛回基地,此時(shí)1號(hào),2號(hào)滿油,繼續(xù)前飛。 飛到2/8 圈時(shí)候,2號(hào)飛機(jī)給1號(hào)飛機(jī)加油1/8圈油量,剛好飛回基地, 3號(hào)飛機(jī)滿油,繼續(xù)向前飛行, 到達(dá)6/8處無(wú)油。 , 加油1/6圈給給2號(hào)飛機(jī), 2號(hào)飛機(jī)向前飛行X圈, 則3號(hào)飛機(jī)可向前繼續(xù)送油, 1/6 –2X 圈. 此時(shí)3號(hào)剛好飛回, = 1/62X時(shí)候獲得最大. X =1/18. 1/6 1/18= 2/ 9. 少于1/4. 所以不能完成. 類比推,當(dāng)為4架時(shí), 恰好滿足條件.【73】在9個(gè)點(diǎn)上畫10條直線，要求每條直線上至少有三個(gè)點(diǎn)？, O代表空格. X O X O X O X X X O X O X O X 得到10條.【74】一個(gè)岔路口分別通向誠(chéng)實(shí)國(guó)和說(shuō)謊國(guó)。來(lái)了兩個(gè)人，已知一個(gè)是誠(chéng)實(shí)國(guó)的，另一個(gè)是說(shuō)謊國(guó)的。誠(chéng)實(shí)國(guó)永遠(yuǎn)說(shuō)實(shí)話，說(shuō)謊國(guó)永遠(yuǎn)說(shuō)謊話?，F(xiàn)在你要去說(shuō)謊國(guó)，但不知道應(yīng)該走哪條路，需要問(wèn)這兩個(gè)人。請(qǐng)問(wèn)應(yīng)該怎么問(wèn)？ 我要到你的國(guó)家去,請(qǐng)問(wèn)怎么走?然后走向路人所指方向的相反方向.【75】在一天的24小時(shí)之中，時(shí)鐘的時(shí)針、分針和秒針完全重合在一起的時(shí)候有幾次？都分別是什么時(shí)間？你怎樣算出來(lái)的？ 只有兩次 假設(shè)時(shí)針的角速度是ω（ω=π/6每小時(shí)），則分針的角速度為12ω，秒針的角速度為72ω。分針與時(shí)針再次重合的時(shí)間為t，則有12ωtωt=2π，t=12/11小時(shí)，顯然秒針不與時(shí)針分針重合，同樣可以算出其它10次分針與時(shí)針重合時(shí)秒針都不能與它們重合。只有在正12點(diǎn)和0點(diǎn)時(shí)才會(huì)重。證明：將時(shí)針視為靜止，考察分針，秒針對(duì)它的相對(duì)速度：12個(gè)小時(shí)作為時(shí)間單位“1”，“圈/12小時(shí)”作為速度單位，則分針?biāo)俣葹?1，秒針?biāo)俣葹?19。由于11與719互質(zhì)，記12小時(shí)/（11*719）為時(shí)間單位Δ，則分針與時(shí)針重合當(dāng)且僅當(dāng) t=719kΔ k∈Z秒針與時(shí)針重合當(dāng)且僅當(dāng) t=11jΔ j∈Z而719與11的最小公倍數(shù)為11*719，所以若t=0時(shí)三針重合，則下一次三針重合必然在t=11*719*Δ時(shí)，即t=12