度量空間的定義與極限-資料下載頁
2025-06-24 03:24本頁面
【正文】 散．□ 設(shè)為度量空間，若將距離限制在上，顯然也是一個(gè)度量空間，稱作的子空間．若，則點(diǎn)到的距離定義為： ()集合的直徑定義為： ()若有限，則稱為有界集；若，則稱為無界集．□在離散度量空間中點(diǎn)，那么和分別是多少？顯然(1)當(dāng)是單點(diǎn)集時(shí)，有及；(2)當(dāng)不是單點(diǎn)集時(shí)，有及． 極限的性質(zhì) 設(shè)是度量空間， 是中的一個(gè)點(diǎn)列．（1）若點(diǎn)列收斂，則其極限唯一；（2）若點(diǎn)列，則的任何子列；（3）若收斂點(diǎn)列看作是的子集，則它是有界的．證明 （1）設(shè)且，由定義知：，當(dāng)時(shí)，有，故當(dāng)時(shí)，我們有．由的任意性知，從而．（2）設(shè)，是的子列． ： ：， ， ， 由定義，當(dāng)時(shí)，有，由于時(shí)，故，即．（3）設(shè)，由定義知：對，當(dāng)時(shí)，．取，則，于是，．即作為點(diǎn)集有界．□例 設(shè)是連續(xù)函數(shù)空間()中的點(diǎn)列，那么(函數(shù)列一致收斂)當(dāng)且僅當(dāng)(度量空間中的點(diǎn)列收斂)．證明 等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，有． 其中，等價(jià)于．進(jìn)一步等價(jià)于，有．于是等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，有，即．□ 設(shè)是上的一個(gè)距離，則也是上的距離．證明 顯然非負(fù)性和對稱性成立，下面僅證三角不等式． 由于是上的距離，所以，有． 又知函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，于是 (單調(diào)遞增) 因此是上的距離． □5
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