行列式的計算畢業(yè)論文正稿-資料下載頁
2025-06-24 01:05本頁面
【正文】 先設(shè)，采用以下歸納法：，由此可以猜想：。證明：把第一行按行展開得遞推公式，當時，命題成立當時，命題成立。假設(shè)當時，命題成立，即則當時，綜上所述，由數(shù)學歸納法知，原命題成立。例29：證明分析：行列式主對角線上除外，余下各元素都相同，且對角線兩側(cè)的元素沿對角線的方向?qū)?yīng)相等，故可用遞推公式表示出來。證明：按最后一行展開得當時，命題成立。當時，成立。假設(shè)當時，命題成立，即，則當時， 綜上所述，由數(shù)學歸納法知，原命題成立。1循環(huán)矩陣的行列式的計算方法定義 1：設(shè)是個復(fù)數(shù)，稱矩陣A=，是以為元素的階循環(huán)矩陣。引理1：設(shè)是復(fù)數(shù)域上的階矩陣，是的特征值， 是復(fù)數(shù)域上的次多項式，則矩陣的多項式的特征值是。 定理1：設(shè)是以為元素的階循環(huán)矩陣，則矩陣的行列式其中是次單位根。 證明：取，因為,所以的特征值為的根，設(shè)為。 令則=由引理1知的特征值為，故而證畢。 推論1：設(shè)是以為元素的階循環(huán)矩陣，則可逆的充分與必要條件是與互素，即=1。 證明： 由 可逆的充分與必要條件是，即與沒有公共根，從而=1，證畢。推論2：若與互素， 則,……,都與互素。 證明：因為分別以的系數(shù)為元素的循環(huán)矩陣和以的系數(shù)為元素循環(huán)矩陣的行列式最多相差一個符號，由此推論1便可推出此推論。證畢。 推論3：,是的根則是整數(shù)且可被整除。 證明：由定理1, 是元素為整數(shù)的矩陣的特征值，從而是跡，且等于，故推論成立。證畢。 定義2：設(shè)是個確定復(fù)數(shù)，是任意確定的非零的復(fù)數(shù)，稱矩陣=為階循環(huán)矩陣，也稱廣義循環(huán)矩陣，簡記為。注：定義2中的就是定義1。定理2：設(shè)階循環(huán)矩陣=,則矩陣的行列式其中是多項式的個不同的根。證明：令是多項式的個不同的根，則，令由 兩邊取行列式，再由行列式的性質(zhì)及，得證畢。例30： =,其中是的根，而，通過計算得：。例31：已知=，求矩陣的行列式：。 解：設(shè)，且令的根為，則由定理1知通過計算得。綜上所述，我們知道階循環(huán)矩陣是階循環(huán)矩陣的特例，故只要矩陣的結(jié)構(gòu)如循環(huán)矩陣的均可用此種方法進行計算。1利用矩陣行列式公式定理：設(shè)為型矩陣，為型矩陣，分別表示階，階單位矩陣，則有例：設(shè)，分別是和矩陣，證明：證明： 兩邊取行列式得：又同樣兩邊取行列式有： 得證。那么對于分別是和矩陣，能否得到：答案是肯定的。證： 有：又 即得：對分別為和矩陣，時，有：則當時，有：例32：計算 解：令矩陣則可得： 其中 那么根據(jù)上面所提到的引理可得：又 可得：1利用方陣特征值與行列式的關(guān)系。也以例32為例解：顯然的個特征值為。 的個特征值為。故的特征值為 由矩陣特征值與對應(yīng)行列式的關(guān)系知：注：的特征值也可由特征值的定義得到。點評：本題行列式比較特殊，可以用到此方法，對于其他的行列式，本方法一般不適用，在這僅給出做此方法參考。問題的推廣例32中，主對角線上的元素為 ，那么我們使得主對角線上的元素為 ，個任意數(shù)，可得下列一般的行列式： 分析：上面我們已經(jīng)介紹了多種方法，根據(jù)這題行列式的特點，每行都有相同的因子 ，所以本題適用加邊法。(本題有多種解法，據(jù)上分析，僅以加邊法推出。)解： 特別地，當時 與例32的答案一致。 結(jié)束語 行列式是代表某個數(shù)的一個記號，計算行列式，即是把這個記號所代表的數(shù)具體計算出來。行列式的計算方法很多，技巧性較強，本文主要介紹了十六種方法。掌握了上面所述的方法就可以解決很多行列式的計算問題。當然，以后也會出現(xiàn)更多解決計算行列式的方法，期望更多的人總結(jié)出更多更好的方法。參考文獻：[1] 張賢科，許甫華：《高等代數(shù)學》，北京，清華大學出版社，2000。[2] 許甫華，張賢科：《高等代數(shù)解題方法》，北京，清華大學出版社，2002。[3] 劉學鵬等：《高等代數(shù)復(fù)習與研究》，南海出版公司，1995。[4] 張禾瑞，郝鈵新：《高等代數(shù)》，北京，高等教育出版社，1993。[5] 徐仲：《線性代數(shù)課程學習及考研輔導》，天津，天津大學出版社，2003。[6] 馬菊俠，吳天云：《線性代數(shù)：題型歸類方法點撥考研輔導》，北京，國防工業(yè)出版社，2005。[7] 李師正等：《高等代數(shù)復(fù)習解題方法與技巧》，北京，高等教育出版社，2005。[8] 張敬和等：《數(shù)學二考研題典叢書》，沈陽，東北大學出版社。寧可累死在路上，也不能閑死在家里！寧可去碰壁，也不能面壁。是狼就要練好牙，是羊就要練好腿。什么是奮斗？奮斗就是每天很難，可一年一年卻越來越容易。不奮斗就是每天都很容易，可一年一年越來越難。能干的人，不在情緒上計較，只在做事上認真；無能的人！不在做事上認真，只在情緒上計較。拼一個春夏秋冬！贏一個無悔人生！早安！—————獻給所有努力的人.學習參考
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