相似三角形基本知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典例題-資料下載頁(yè)
2025-06-23 18:33本頁(yè)面
【正文】 C于F點(diǎn)，△ADE的面積為1，求△BCE和△AEF的面積． 思路點(diǎn)撥：利用△ADE∽△BCE，以及其他有關(guān)的已知條件，可以求出△BCE的面積．△ABC的邊AB上的高也是△BCE的高，根據(jù)AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面積．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面積． 解：∵ DA∥BC， ∴ △ADE∽△BCE． ∴ S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2． ∵ AE︰BE=1︰2， ∴ S△ADE︰S△BCE=1︰4． ∵ S△ADE=1， ∴ S△BCE=4． ∵ S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2， ∴ S△ABC=6． ∵ EF∥BC， ∴ △AEF∽△ABC． ∵ AE︰AB=1︰3， ∴ S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9． ∴ S△AEF==． 總結(jié)升華：注意，同底(或等底)三角形的面積比等于這底上的高的比；同高(或等高)三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底邊的比．當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，它們的面積比等于對(duì)應(yīng)線段比的平方，即相似比的平方． 舉一反三 【變式1】有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為1∶200和1∶500，求：甲地圖與乙地圖的相似比和面積比. 解：設(shè)原地塊為△ABC，地塊在甲圖上為△A1B1C1，在乙圖上為△A2B2C2. ∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2 且， ∴， ∴. 【變式2】如圖，已知：△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P點(diǎn)在AC上(與點(diǎn)A、C不重合)，Q點(diǎn)在BC上． (1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)； (2)當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)； 解：(1)∵S△PQC=S四邊形PABQ ∴S△PQC：S△ABC=1：2 ∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC ∴S△PQC：S△ABC=(CP：CA)2=1：2 ∴CP2=42， ∴CP=. (2)∵S△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等， ∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周長(zhǎng))=6 ∵PQ∥AB， ∴△PQC∽△ABC ∴ ，即： 解得，CP=類型六、綜合探究 9．如圖，AB∥CD，∠A=90176。，AB=2，AD=5，P是AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、D重合)，PE⊥BP，P為垂足，PE交DC于點(diǎn)E， (1)設(shè)AP=x，DE=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍； (2)請(qǐng)你探索在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形ABED能否構(gòu)成矩形？如果能，求出AP的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō) 明理由. 解：(1)∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180176?！ ?∵∠A=90176。， ∴∠D=90176。，∴∠A=∠D 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90176。， 又∠APB+∠ABP=90176。， ∴∠ABP=∠DPE， ∴△ABP∽△DPE ∴ ，即 ∴ (2)欲使四邊形ABED為矩形，只需DE=AB=2，即，解得 ∵，∵均符合題意，故AP=1或 4. 總結(jié)升華： (1)求以線段長(zhǎng)為變量的兩個(gè)函數(shù)間的關(guān)系時(shí)，常常將未知線段和已知線段作為三角形的邊，利用相似 三角形的知識(shí)解決. (2)解決第(2)小問(wèn)時(shí)要充分挖掘運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中點(diǎn)的特殊位置，再轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值，通過(guò)建立方程 解決，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想. 10．如圖，在△ABC中，BC=2，BC邊上的高AD=1，P是BC上任意一點(diǎn)，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F. (1)設(shè)BP=，△PEF的面積為，求與的函數(shù)解析式和的取值范圍； (2)當(dāng)P在BC邊上什么位置時(shí)，值最大. 解：(1)∵BC=2， BC邊上的高AD=1 ∴△ABC的面積為1 ∵PF∥AC，∴△BFP∽△BAC ∴，∴ 同理△CEP∽△CAB ∴， ∴ ∵PE∥AB， PF∥AC，∴四邊形PFAE為平行四邊形 ∴ ∴. (2) ∴當(dāng)時(shí)，即P點(diǎn)在BC邊的中點(diǎn)時(shí)，值最大. 總結(jié)升華：建立三角形的面積與線段長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系，可考慮從以下幾方面考慮： (1)從面積公式入手； (2)從相似三角形的性質(zhì)入手；將面積的比轉(zhuǎn)化為相似比的平方； (3)從同底或等高入手，將面積比轉(zhuǎn)化為底之比或高之比.1. 若不給自己設(shè)限，則人生中就沒(méi)有限制你發(fā)揮的藩籬。2. 若不是心寬似海，哪有人生風(fēng)平浪靜。在紛雜的塵世里，為自己留下一片純靜的心靈空間，不管是潮起潮落，也不管是陰晴圓缺，你都可以免去浮躁，義無(wú)反顧，勇往直前，輕松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些時(shí)間，總會(huì)看清一些事。用一些事情，總會(huì)看清一些人。有時(shí)候覺(jué)得自己像個(gè)神經(jīng)病。既糾結(jié)了自己，又打擾了別人。努力過(guò)后，才知道許多事情，堅(jiān)持堅(jiān)持，就過(guò)來(lái)了。4. 歲月是無(wú)情的，假如你丟給它的是一片空白，它還給你的也是一片空白。歲月是有情的，假如你奉獻(xiàn)給她的是一些色彩，它奉獻(xiàn)給你的也是一些色彩。你必須努力，當(dāng)有一天驀然回首時(shí)，你的回憶里才會(huì)多一些色彩斑斕，少一些蒼白無(wú)力。只有你自己才能把歲月描畫成一幅難以忘懷的人生畫卷。學(xué)習(xí)參考
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