空間幾何體基礎(chǔ)解答題含答案-資料下載頁
2025-06-23 18:25本頁面
【正文】 D為矩形，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積．【分析】由旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為圓柱去掉一個(gè)半徑為2的半球，利用圓柱和球的表面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積，得到的幾何體為圓柱去掉一個(gè)半徑為2的半球，半球的表面積為．圓柱的底面半徑為2，高為4，∴圓柱的底面積為π22=4π，圓柱的側(cè)面積為2π24=16π，∴該幾何體的表面積為8π+4π+16π=28π．【點(diǎn)評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的表面積，要求熟練掌握常見幾何體的表面積公式．比較基礎(chǔ)． 20．（2010?徐匯區(qū)校級模擬）斜三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長為 b，側(cè)棱AA′與底面相鄰兩邊AB、AC都成45176。角，求此三棱柱的側(cè)面積和體積．【分析】（1）先判斷斜三棱柱ABC﹣A′B′C′的三個(gè)側(cè)面的形狀，分別求出面積再相加，即為斜三棱柱的側(cè)面積．（2）斜三棱柱的體積等于底面積乘高，因?yàn)榈酌嫒切问沁呴L為a的正三角形，面積易求，所以只需求出高即可，利用所給線線角的大小即可求出．【解答】解：（1）∵側(cè)棱AA′與底面相鄰兩邊AB、AC都成45176。角，∴三棱柱的三個(gè)側(cè)面中，四邊形ABBA和ACCA是有一個(gè)角是45176。，相鄰兩邊長分別為a，b的平行四邊形，第三個(gè)側(cè)面是邊長分別為a，b的矩形．∴（2）過A1作A1O垂直于底面ABC，交底面ABC于O點(diǎn)，作A1D⊥AB，交AB于D點(diǎn)，連接DO，由題意，則AD=，A1D=，∴AO=，A1O=∴V=a=【點(diǎn)評】本題主要考查了斜三棱柱的側(cè)面積與體積的求法，屬于立體幾何的基礎(chǔ)題． 21．（2009秋?開平市期末）如圖，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會溢出杯子嗎？請用你的計(jì)算數(shù)據(jù)說明理由．【分析】根據(jù)題意，求出半球的體積，圓錐的體積，比較二者大小，判斷是否溢出，即可得答案．【解答】解：因?yàn)閂半球=V圓錐=因?yàn)閂半球＜V圓錐所以，冰淇淋融化了，不會溢出杯子．【點(diǎn)評】本題考查球的體積，圓錐的體積，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題． 22．（2007?楊浦區(qū)二模）（理）在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中（如圖），AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)異面直線AD1與EC所成角為60176。時(shí)，請你確 定動(dòng)點(diǎn)E的位置．（2）求三棱錐C﹣DED1的體積．【分析】（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系． E（1，t，0），分別求出異面直線AD1與EC的方向向量，根據(jù)異面直線AD1與EC所成角為60176。，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于t的方程，解方程即可確定出動(dòng)點(diǎn)E的位置．（2）由等體積法，我們可得=，分別求出三棱錐的底面面積和高，代入棱錐的體積公式，即可求出三棱錐C﹣DED1的體積．【解答】解：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD′為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè) E（1，t，0）則A（1，0，0），D（0，0，0），D′（0，0，1），C（0，2，0）則=（1，0，﹣1），=（1，t﹣2，0）根據(jù)數(shù)量積的定義及已知得：?=1=?cos60176。（4分）∴t=2∴E的位置是AB中點(diǎn)．（6分）（2）==?S△DEC?DD1=??2?1?1= （12分）【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是棱錐的體積，異面直線及其所成的角，其中（1）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將異面直線的夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)等體積法，將求三棱錐C﹣DED1的體積，轉(zhuǎn)化為求三棱錐D1﹣DEC的體積． 23．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為a，它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，問球O的表面積．（1） 如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=πa2．（2）如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=2πa2．【分析】（1） 如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，那么球的直徑就是正方體的棱長，然后直接求出球的表面積．（2）如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，推出球的直徑就是正方體的面對角線的長，求出半徑，即可求出球的表面積．【解答】解：（1） 如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，那么球的直徑就是正方體的棱長，所以球的半徑為：，球的表面積：（2）如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則球的直徑就是正方體的面對角線的長，球的半徑為：，球的表面積：=2πa2故答案為：（1）πa2；（2）2πa2【點(diǎn)評】本題考查球的外接體，球的表面積的計(jì)算，正確理解球與正方體的面相切，與正方體的棱相切，得到直徑與棱長或面對角線的關(guān)系才能正確快速解得本題，是基礎(chǔ)題． 24．已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為49π、400π，且兩個(gè)截面之間的距離為9，求球的表面積．【分析】先畫出過球心且垂直于已知截面的球的大圓截面，再根據(jù)球的性質(zhì)和已知條件列方程求出球的半徑．由于球的對稱性，應(yīng)考慮兩截面與球心的位置關(guān)系分別在球心的同側(cè)和異側(cè)的情形，加以分類討論．【解答】解：下圖為球的一個(gè)大圓截面．π?O1A2=49π，則O1A=7．又π?O2B2=400π，∴O2B=20．（1）當(dāng)兩截面在球心同側(cè)時(shí)，OO1﹣OO2=9=﹣，解得R2=625，S球=4πR2=2500π．（2）當(dāng)兩截面在球心異側(cè)時(shí)，OO1+OO2=9=+，無解．綜上，所求球的表面積為2500π．【點(diǎn)評】本題考查學(xué)生的空間想象能力，以及球的表面積和體積的求法，是基礎(chǔ)題． 第24頁（共24頁）
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