經(jīng)典空間向量知識點歸納總結(jié)-資料下載頁
2025-06-23 17:44本頁面
【正文】 P（A（a,0,0）,D(a,a,0), ,=(0,a,0) QP與AD所成的角為90176。例3 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量解：設(shè)面ABC的法向量，則⊥且⊥，即=0，且=0，即2x+2y+z=0且4x+5y+3z=0，解得∴=z（，－1，1），單位法向量=177。（，－，）點評：一般情況下求法向量用待定系數(shù)法由于法向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，可把的某個坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個坐標(biāo)平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本題的單位法向量應(yīng)有兩解例4 如圖，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，∠ABC=90176。，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值分析：此題中二面角的棱沒有畫出，按常規(guī)解可延長BA，CD相交于E，則SE是二面角的棱，因為DA⊥面ABS，過點A作SE的垂線交SE于F，連結(jié)DF，則∠ADF就是所求二面角的平面角若用向量法求解，就是要求兩個面的法向量所成的角或補角解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可知D（，C（1，1，0），S（0，0，1），可知是面SAB的法向量設(shè)平面SCD的法向量=（x，y，z） =0，可推出令x=2,則有y=1,z=1, =（2，1，1）設(shè)所求二面角的大小為θ，則cosθ== , tan例5平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且G是EF的中點，（1）求證平面AGC⊥平面BGC；（2）求GB與平面AGC所成角正弦值；（3）求二面角B—AC—G的大小解：如圖，以A為原點建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）（1）證明：， 設(shè)平面AGC的法向量為，設(shè)平面BGC的法向量為，∴ 即 ∴平面AGC⊥平面BGC；（2）由⑴知平面AGC的法向量為， ∴ （3）因是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量， 得∴二面角B—AC—G的大小為13
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