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2025-06-23 01:44本頁(yè)面
【正文】 別為：14，27，39，50，60，69，77，84，90，95，99，100 第五題：3和4(可嚴(yán)格證明) 設(shè)兩個(gè)數(shù)為n1，n2，n1 =n2，甲聽到的數(shù)為n=n1+n2，乙聽到的數(shù)為m=n1*n2 證明n1=3，n2=4是唯一解 證明：要證以上命題為真，不妨先證n=7 1)必要性： i) n 5 是顯然的，因?yàn)閚 4不可能，n=4或者n=5甲都不可能回答不知道 ii) n 6 因?yàn)槿绻鹡=6的話，那么甲雖然不知道(不確定2+4還是3+3)但是無(wú)論是2，4還是3，3乙都不可能說(shuō)不知道(m=8或者m=9的話乙說(shuō)不知道是沒(méi)有道理的) iii) n 8 因?yàn)槿绻鹡 =8的話，就可以將n分解成 n=4+x 和 n=6+(x2)，那么m可以是4x也可以是6(x2)而4x=6(x2)的必要條件是x=6即n=10，那樣n又可以分解成8+2，所以總之當(dāng)n =8時(shí)，n至少可以分解成兩種不同的合數(shù)之和，這樣乙說(shuō)不知道的時(shí)候，甲就沒(méi)有理由馬上說(shuō)知道。 以上證明了必要性 2)充分性 當(dāng)n=7時(shí)，n可以分解成2+5或3+4 顯然2+5不符合題意，舍去，容易判斷出3+4符合題意，m=12，證畢 于是得到n=7 m=12 n1=3 n2=4是唯一解。第六題：7只(數(shù)學(xué)歸納法證明) 1)若只有1只病狗，因?yàn)椴」分魅丝床坏接衅渌」?，必然?huì)知道自己的狗是病狗(前提是一定存在病狗)，所以他會(huì)在第一天把病狗處決。 2)設(shè)有k只病狗的話，會(huì)在第k天被處決，那么，如果有k+1只，病狗的主人只會(huì)看到k只病狗，而第k天沒(méi)有人處決病狗，病狗主人就會(huì)在第k+1天知道自己的狗是病狗，于是病狗在第k+1天被處決 3)由1)2)得，若有n只病狗，必然在第n天被處決 第七題：(提示：可用圖論方法解決) BONOamp。EDGE過(guò)(2分)，BONO將手電帶回(1分)，ADAMamp。LARRY過(guò)(10分)，EDGE將手電帶回(2分)，BONOamp。EDGE過(guò)(2分) 2+1+10+2+2=17分鐘 第八題： 約定好一個(gè)人作為報(bào)告人(可以是第一個(gè)放風(fēng)的人) 規(guī)則如下： 報(bào)告人放風(fēng)的時(shí)候開燈并數(shù)開燈次數(shù) 其他人第一次遇到開著燈放風(fēng)時(shí)，將燈關(guān)閉 當(dāng)報(bào)告人第100次開燈的時(shí)候，去向監(jiān)獄長(zhǎng)報(bào)告，要求監(jiān)獄長(zhǎng)放人...... 按照概率大約30年后(10000天)他們可以被釋放
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