【正文】 間至少有一條彩虹路，那么彩虹連通數(shù)。我們都知道，一個圖是圈的話，它的彩虹連通數(shù)是，如果從圈的角度來驗證，圖的彩虹連通數(shù)是滿足的?；氐綀D的推廣上，上面的例子中的路徑和上的頂點數(shù)是具體的，如果的頂點數(shù)變?yōu)?，的頂點數(shù)變?yōu)?，那么對于圖還是采用上述的方法進行彩虹染色，于是彩虹連通數(shù)是：。圖 四條路徑的廣義圖完成了路徑和的彩虹染色，我們再來考慮另外一對路徑和的彩虹染色。采取相同的染色方法，考慮圖，如圖所示，圖上總的有條邊，考慮最遠的兩個頂點（端點和不作為首先考慮的頂點），和，形成了兩條路，順時針的一條，即，長度為，逆時針的一條，即，長度也為。因為長度都相等，所以選取哪一條染色都不會影響結(jié)果，為了便于敘述，我們還是選取順時針的一條染色，分別染新的顏色，即。剩下邊的染色，顏色一定取自這五種顏色，所以我們可以這樣考慮，路徑，也可以分為順時針的一條，長度是，和逆時針的一條，長度也是，還是對順時針的一條進行染色，發(fā)現(xiàn)只有邊沒有染色，并且五種顏色中只可以選取，所以染。類似的，對于路徑，也選取順時針的一條，長度是，只有邊未染色，并且只能染。再選取路徑，選取順時針的一條，長度是，只有邊未染色，并且只能染。這樣的染色后，只剩下邊和邊未被染色，可以分別取和，就能確保在圖中，任意兩個頂點之間至少有一條彩虹路，那么彩虹連通數(shù)。按照上面的推廣，如果的頂點數(shù)變?yōu)?，的頂點數(shù)變?yōu)椋敲磳τ趫D還是采用上述的方法進行彩虹染色，于是彩虹連通數(shù)是：。圖 四條路徑的廣義圖到這一步，我們就完成了這個只有四條路徑的廣義圖的彩虹染色，運用這樣的彩色方法，就使得圖中任意兩個頂點之間至少有一條彩虹路相連，廣義圖是彩虹連通的，并且彩虹連通數(shù)是。在前面，我們給出了有個頂點，路徑數(shù)的廣義圖的彩虹連通數(shù)或者，按照這樣的計算，本文的四條路徑的廣義圖，頂點數(shù)（不計算端點和），那么彩虹連通數(shù)至少也是。而按照本文的染色方法得到的彩虹連通數(shù)是，少于計算出的彩虹連通數(shù)，所以本文的給出的針對廣義圖的染色方法可以減少所使用的顏色數(shù)，是有意義的染色方法。接下來，我們考慮頂點數(shù)是（不計算端點和），路徑數(shù)的廣義圖。按照本文的染色方法，我們分路徑數(shù)是偶數(shù)和奇數(shù)的情況討論：情況：，且是偶數(shù)。這類廣義圖從最里的一對路徑和開始染色，直到最外的一對路徑和。如果路徑的頂點數(shù)分別是：，且，那么彩虹連通數(shù)。情況：，且是奇數(shù)。這類廣義圖從最里的一對路徑和開始染色，直到最外的一對路徑和，這些染色方式按照本文介紹的方法進行染色。這里的問題只是在于還有一條單一的路徑，我們只需要使得這條路徑是一條彩虹路，就能夠保證整個廣義圖彩虹連通。要使是一條彩虹路，則這條路上的邊必須染不同的顏色，有個頂點，則需要種顏色。所以，這類的廣義圖的彩虹連通數(shù)。無論是情況還是情況，按照本文方法進行的彩虹染色，得到的彩虹連通數(shù)都優(yōu)于。綜上所述，個頂點的廣義圖的彩虹連通數(shù)是：其中，個頂點是指不計算端點和，只是條路徑上頂點的總數(shù)，即。第三章 結(jié)語本文是課題是“特殊圖類的彩虹邊染色”，選取三類特殊圖。第一類是：度為的圖，按照本文的染色方法進行彩虹染色，使得圖是彩虹連通的，并計算出了這類圖的彩虹連通數(shù)，其中是層數(shù)，且。利用改善后的連通圖的彩虹連通數(shù)說明了是有意義的。第二類是：圈為，有個內(nèi)部頂點的新輪圖，按照本文的染色方法進行彩虹染色，使得圖是彩虹連通的，并計算出了這類圖的彩虹連通數(shù)，其中圈上頂點數(shù)，內(nèi)部的頂點數(shù)。并且說明了，當(dāng)時，輪圖的彩虹連通數(shù)是，而增加一個內(nèi)部頂點，變成新輪圖，雖然邊數(shù)增加，但是彩虹連通數(shù)卻是，比輪圖減少了。第三類是：個頂點的廣義圖，按照本文的染色方法進行彩虹染色，使得廣義圖是彩虹連通的，并計算出了這類圖的彩虹連通數(shù)，而現(xiàn)有的廣義圖的彩虹連通數(shù)是，其中路徑數(shù)，本文染色得出的遠比現(xiàn)有的優(yōu)異許多。本文選取這三類特殊圖進行彩虹染色，也得到了相應(yīng)的彩虹連通數(shù)，或許本文的染色方法并不是最優(yōu)異的，得到的彩虹連通數(shù)也不是最小的，這點是由于知識水平的有限，不能做到最優(yōu)秀，還望閱讀過本文的讀者給予意見，我會進一步改善染色方法，得到更優(yōu)的彩虹連通數(shù)。參考文獻[1]宋慧敏 吳建良. Halin圖的均勻邊染色[J]. 山東大學(xué)學(xué)報，2003 38:3134；[2]董九英，[J].中國科學(xué)：數(shù)學(xué)，2013,43:714；[5]萬慧敏，史小藝，[J].五邑大學(xué)學(xué)報，2012 26:78；[6][D].山東大學(xué)博士論文，2000 25:2124；[7],et al. Rainbow connection in graphs. Math Bohem，2008。[8]， to Graph Theory. Boston，2005；[9]，. The Probabilistic Method. New York，2000。[10],et al. On rainbow connection. Electron J Combin 15, R57 (2008)。[11]Chandran L，Das A，Rajendraprasad D，et connection number and connected dominating sets. J Graph Theory，2012，71：206218。[12]Xueliang Li, Yongtang connection in 3connectedGraphs。[13]Bondy, . and Murty, .: Graph Theory, GTM 244, Springer(2008)[14]Chakraborty, S., Fischer, E., Matsliah, A., Yuster, R.: Hardness andalgorithms for rainbow connectivity, J. Comb. Optim. (in press)[15]Krivelevich, M., Yuster, R.: The rainbow connection of a graph is (atmost) reciprocal to its minimum degree, J. Graph Theory 63(3), 185–191(2010)[16]Li, X., and Sun, Y., Rainbow Connections of Graphs, Springer Briefs in Math., Springer, New York, 2012.[17]Schiermeyer, I.: Rainbow connection in graphs with minimum degreethree, IWOCA 2009, LNCS 5874, 432–437 (2009)[18]Shinya Fujita, Henry Liuy, Colton kConnection in Dense Graphs[20]Xueliang Li, Sujuan connection number and the number of blocksXXXI