【正文】 u控制體積的體積。式(1123)中的壓力梯度項(xiàng)已經(jīng)按線性插值的方式進(jìn)行了離散，線性插值時(shí)使用了u控制體積邊界上的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的壓力差。在求和記號中所包含的E、W、N和S四個(gè)鄰點(diǎn)是(i1,J)，(i+1,J)，(i,J+1)和(i,J+1)，它們的位置及主速度在圖18中標(biāo)出。圖中陰影部分是u控制體積。圖18中的u控制體積與圖17中是一致的，這可從節(jié)點(diǎn)的編號看出。但是，圖18中u控制體積的中心也用P來標(biāo)記，其界面點(diǎn)也用e、w、n和s來標(biāo)記，這里的標(biāo)記與圖17中的同名標(biāo)記及系數(shù)是由式(198)給定的。即 (1126)圖18 u控制體積及其鄰點(diǎn)的速度分量系數(shù)取決于所采用的離散格式，在計(jì)算式中含有u控制體積界面上的對流質(zhì)量流量F與擴(kuò)散傳導(dǎo)性D，在采用新編號系統(tǒng)下的計(jì)算公式為 (1127a) (1127b) (1127c) (1127d) (1127e) (1127f) (1127g) (1127h)采用交錯(cuò)網(wǎng)格對動(dòng)量方程離散時(shí)，涉及不同類別的控制體積，不同的物理量分別在各自相應(yīng)的控制體積的節(jié)點(diǎn)上定義和存儲。例如，密度是在標(biāo)量控制體積的節(jié)點(diǎn)上存儲的，如圖18中的標(biāo)量節(jié)點(diǎn)(I,J)；而速度分量卻是在錯(cuò)位后的速度控制體積的節(jié)點(diǎn)上存儲的，如圖18中的速度節(jié)點(diǎn)(i,J)。這樣就會出現(xiàn)這種情況：在速度節(jié)點(diǎn)處不存在密度值，而在標(biāo)量節(jié)點(diǎn)處找不到速度值，當(dāng)在某個(gè)確定位置處的某個(gè)復(fù)合物理量(如式(1127)中的流通量F)同時(shí)需要該處的密度及速度時(shí)，要么找不到該處的密度，要么找不到該處的速度。為此，需要在計(jì)算過程中通過插值來解決。式(1127)表明，標(biāo)量(密度)及速度分量在u控制體積的界面上是不存在的，這時(shí)，根據(jù)周邊的最近鄰點(diǎn)的信息，使用二點(diǎn)或四點(diǎn)平均的辦法來處理。在每次迭代過程中，用于估計(jì)上述各表達(dá)式的速度分量u和速度分量v是上一次迭代后的數(shù)值(在首次迭代時(shí)是初始猜測值)。需要特殊說明的是，這些“已知的”速度值u和v也用于計(jì)算方程(1123)中的系數(shù)，但是，它們與方程(1123)中的待求和是完全不同的。還需要說明的是，式(1127)中的線性插值是基于均勻網(wǎng)格而言的，若網(wǎng)格是不均勻的，應(yīng)該將式(1127)中的系數(shù)2和4等改為相應(yīng)的網(wǎng)格長度或?qū)挾戎档慕M合。例如，對于不均勻網(wǎng)格上的，按式(1128)計(jì)算： (1128)按上述同樣的方式，可以寫出在新的編號系統(tǒng)中，對于在位置(I,j)處的關(guān)于速度的離散動(dòng)量方程： (1129)建立式(1129)所使用的v控制體積表示在圖19中。在求和記號中所包含的4個(gè)鄰點(diǎn)及其主速度也在圖19中標(biāo)出。在系數(shù)和中，同樣包含在v控制體積界面上的對流質(zhì)量流量F與擴(kuò)散傳導(dǎo)性D，計(jì)算公式如下： (1130a) (1130b) (1130c) (1130d) (1130e) (1130f) (1130g) (1130h)同樣，在每個(gè)迭代層次上，用于估計(jì)上述各表達(dá)式的速度分量u和速度分量v均取上一次迭代后的數(shù)值(在首次迭代時(shí)是初始猜測值)。圖19 v控制體積及其鄰點(diǎn)的速度分量給定一個(gè)壓力場p，便可針對每個(gè)u控制體積和v控制體積寫出式(1123)和式(1129)所示的動(dòng)量方程的離散方程，并可以從中求解出速度場。如果壓力場是正確的，所得到的速度場將滿足連續(xù)方程。2. SIMPLE算法SIMPLE算法是目前工程上應(yīng)用最為廣泛的一種流場計(jì)算方法，它屬于壓力修正法的一種。SIMPLE是英文semiimplicit method for pressurelinked equations的縮寫，意為“求解壓力耦合方程組的半隱式方法”。該方法由Patankar與Spalding于1972年提出，是一種主要用于求解不可壓流場的數(shù)值方法(也可用于求解可壓流動(dòng))。它的核心是采用“猜測修正”的過程，在交錯(cuò)網(wǎng)格的基礎(chǔ)上來計(jì)算壓力場，從而達(dá)到求解動(dòng)量方程(NavierStokes方程)的目的。SIMPLE算法的基本思想可描述如下：對于給定的壓力場(它可以是假定的值，或是上一次迭代計(jì)算所得到的結(jié)果)，求解離散形式的動(dòng)量方程，得出速度場。因?yàn)閴毫鍪羌俣ǖ幕虿痪_的，這樣，由此得到的速度場一般不滿足連續(xù)方程，因此，必須對給定的壓力場加以修正。修正的原則是：與修正后的壓力場相對應(yīng)的速度場能滿足這一迭代層次上的連續(xù)方程。據(jù)此原則，我們把由動(dòng)量方程的離散形式所規(guī)定的壓力與速度的關(guān)系代入連續(xù)方程的離散形式，從而得到壓力修正方程，由壓力修正方程得出壓力修正值；接著，根據(jù)修正后的壓力場，求得新的速度場；然后檢查速度場是否收斂；若不收斂，用修正后的壓力值作為給定的壓力場，開始下一層次的計(jì)算；如此反復(fù)，直到獲得收斂的解。在上述求解過程中，如何獲得壓力修正值(即如何構(gòu)造壓力修正方程)，以及如何根據(jù)壓力修正值確定“正確”的速度(即如何構(gòu)造速度修正方程)，是SIMPLE算法的兩個(gè)關(guān)鍵問題。為此，下面先解決這兩個(gè)問題，然后給出SIMPLE算法的求解步驟。1) 速度修正方程考察一直角坐標(biāo)系下的二維層流穩(wěn)態(tài)問題。設(shè)有初始的猜測壓力場，我們知道，動(dòng)量方程的離散方程可借助該壓力場得以求解，從而求出相應(yīng)的速度分量和。根據(jù)動(dòng)量方程的離散方程(1123)和(1129)，有 (1131) (1132)現(xiàn)在，定義壓力修正值為正確的壓力場與猜測的壓力場之差，有 (1133)同樣地，定義速度修正值和，以聯(lián)系正確的速度場與猜測的速度場 ，有 (1134) (1135)將正確的壓力場代入動(dòng)量離散方程(1123)與(1129)，得到正確的速度場?，F(xiàn)在，從方程(1123)和(1129)中減去方程(1131)和(1132)，并假定源項(xiàng)不變，有 (1136) (1137)引入壓力修正值與速度修正值的表達(dá)式(1133)～式(1135)，方程(1136)和(1137)可 寫成 (1138) (1139)可以看出，由壓力修正值可求出速度修正值。式(1139)還表明，任一點(diǎn)上速度的修正值由兩部分組成：一部分是與該速度在同一方向上的相鄰兩節(jié)點(diǎn)間壓力修正值之差，這是產(chǎn)生速度修正值的直接的動(dòng)力；另一部分是由鄰點(diǎn)速度的修正值所引起的，這又可以視為四周壓力的修正值對所討論位置上速度改進(jìn)的間接影響。為了簡化式(1138)和(1139)的求解過程，在此，引入如下近似處理：略去方程中與速度修正值相關(guān)的和。該近似是SIMPLE算法的重要特征。略去后的影響將在下一節(jié)要介紹的SIMPLEC算法中討論。于是有 (1140) (1141)以上兩種中， (1142)將式(1140)和式(1141)所描述的速度修正值，代入式(1134)和式(1135)，有 (1143) (1144)對于和，存在類似的表達(dá)式： (1145) (1146)以上兩式中： (1147)式(1143)～式(1147)表明，如果已知壓力修正值，便可對猜測的速度場作出相應(yīng)的速度修正，得到正確的速度場。2) 壓力修正方程在上面的推導(dǎo)中，只考慮了動(dòng)量方程，其實(shí)，如前所述，速度場還受連續(xù)方程(138)的約束。按本節(jié)開頭的約定，這里暫不討論瞬態(tài)問題。對于穩(wěn)態(tài)問題，連續(xù)方程可寫為 (1148)針對如圖110所示的標(biāo)量控制體積，連續(xù)方程(1148)滿足如下離散形式：圖110 離散連續(xù)方程的標(biāo)量控制體積 (1149)將正確的速度值，即式(1143)～式(1147)，代入連續(xù)方程的離散方程(1149)，有 (1150)整理后，得 (1151)該式可簡記為 (1152)式中： (1153a) (1153b) (1153c) (1153d) (1153e) (1153f)式(1152)表示連續(xù)方程的離散方程，即壓力修正值的離散方程。方程中的源項(xiàng)是由于不正確的速度場所導(dǎo)致的“連續(xù)性”不平衡量。通過求解方程(1152)，可得到空間所有位置的壓力修正值。如同處理式(1127)中的密度一樣，式(1153)中的是標(biāo)量控制體積界面上的密度值，同樣需要通過插值得到，這是因?yàn)槊芏仁窃跇?biāo)量控制體積中的節(jié)點(diǎn)(即控制體積的中心)定義和存儲的，在標(biāo)量控制體積界面上不存在可直接引用的值。無論采用何種插值方法，對于交界面所屬的兩個(gè)控制體積，必須采用同樣的值。為了求解方程(1152)，還必須對壓力修正值的邊界條件作出說明。實(shí)際上，壓力修正方程是動(dòng)量方程和連續(xù)方程的派生物，不是基本方程，故其邊界條件也與動(dòng)量方程的邊界條件相聯(lián)系。在一般的流場計(jì)算中，動(dòng)量方程的邊界條件通常有兩類：第一，已知邊界上的壓力(速度未知)；第二，已知沿邊界法向的速度分量。若已知邊界壓力，可在該段邊界上令，則該段邊界上的壓力修正值應(yīng)為零。這類邊界條件類似于熱傳導(dǎo)問題中已知溫度的邊界條件。若已知邊界上的法向速度，在設(shè)計(jì)網(wǎng)格時(shí)，最好令控制體積的界面與邊界相一致，這樣，控制體積界面上的速度為已知。3) SIMPLE算法的計(jì)算步驟至此，已經(jīng)得出了求解速度分量和壓力所需要的所有方程。根據(jù)前面介紹的SIMPLE算法的基本思想，可給出SIMPLE算法的計(jì)算流程，如圖111所示。圖111 SIMPLE算法流程圖 其他算法介紹SIMPLE算法自問世以來，在被廣泛應(yīng)用的同時(shí)，也以不同方式不斷地得到改善和發(fā)展，其中最著名的改進(jìn)算法包括SIMPLEC、SIMPLER和PISO。本節(jié)介紹這些改進(jìn)算法，并對各算法作一對比。1. SIMPLER算法SIMPLER是英文SIMPLE revised的縮寫，顧名思義是SIMPLE算法的改進(jìn)版本。它是由SIMPLER算法的創(chuàng)始者之一Patanker完成的。我們知道，在SIMPLER算法中，為了確定動(dòng)量離散方程的系數(shù)，一開始就假定了一個(gè)速度分布，同時(shí)又獨(dú)立地假定了一個(gè)壓力分布，兩者之間一般是不協(xié)調(diào)的，從而影響了迭代計(jì)算的收斂速度。實(shí)際上，不必在初始時(shí)刻單獨(dú)假定一個(gè)壓力場，因?yàn)榕c假定的速度場相協(xié)調(diào)的壓力場是可以通過動(dòng)量方程求出的。另外，在SIMPLER算法中對壓力修正值采用了欠松弛處理，而松弛因子是比較難確定的，因此，速度場的改進(jìn)與壓力場的改進(jìn)不能同步進(jìn)行，最終影響收斂速度。于是，Patanker便提出了這樣的想法：只用修正速度，壓力場的改進(jìn)則另謀更合適的方法。將上述兩方面的思想結(jié)合起來，就構(gòu)成了SIMPLER算法。在SIMPLER算法中，經(jīng)過離散后的連續(xù)方程(1149)用于建立一個(gè)壓力的離散方程，而不像在SIMPLE算法中用來建立壓力修正方程。從而，可直接得到壓力，而不需要修正。但是，速度仍需要通過SIMPLE算法中的修正方程即式(1143)～式(1147)來修正。將離散后的動(dòng)量方程式(1123)和式(1129)重新改寫后，有 (1154) (1155)在SIMPLER算法中，定義偽速度與如下： (1156) (1157)這樣，式(1154)與式(1155)可寫為 (1158) (1159)以上兩式中的系數(shù)d。同樣可寫出與的表達(dá)式。然后，將、與的表達(dá)式代入離散后的連續(xù)方程(1149)，有 (1160)整理后，得到離散后的壓力方程： (1161)式中： (1162a) (1162b) (1162c)