【正文】 布、對數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布等三個分布，其中指數(shù)分布已在〔]中作了介紹，其他兩個分布將在下面介紹。　　　　均勻分布在兩端點a與b之間有一個平坦的概率密度函數(shù)，它的全稱是“在區(qū)間(a，b)上的均勻分布”，常記為U(a，b)。這里“均勻”是指隨機點落在區(qū)間(a，b)內任一點的機會是均等的，從而在相等的小區(qū)間上的概率相等?！　　　　　±?，一個隨機變量X服從均勻分布U(10，15)((a))，則X在小區(qū)間(11，12)與小區(qū)間(，)上的面積相等，即:　　P(11X12)=P(X)=10.=(a，b)的均值、方差與標準差分別為:　　　　(a)上所示的均勻分布U(10，15)，它的均值、方差與標準差分別為:　　　　　　對數(shù)正態(tài)分布可用來描述很多隨機變量的分布，如化學反應時間、絕緣材料被擊穿時間、產(chǎn)品維修時間等都是服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量。它們有如下共同特點:　　(1)這些隨機變量都在正半軸(0，∞)上取值。　　(2)這些隨機變量的大量取值在左邊，少量取值在右邊，并且很分散，這樣的分布稱為“右偏分布”((a))。如機床維修中，大量機床在短時間內都可修理好，只有少量機床需要長時間維修，個別機床可能需要更長的修理時間。　　　　(3)最重要的特征是:若隨機變量X服從對數(shù)正態(tài)分布，則經(jīng)過對數(shù)變換Y=lnX(ln是自然對數(shù))后服從正態(tài)分布，即原來X的分布是(右)偏態(tài)分布，經(jīng)對數(shù)變換后，成為正態(tài)分布，或者說對數(shù)正態(tài)變量經(jīng)對數(shù)變換后為正態(tài)變量?！　?4)若記正態(tài)分布的均值為μY，方差為σ2Y，則相應的對數(shù)正態(tài)分布的均值μX與方差σ2X分別為μX=E(X)=exp{μY+σ2Y/2}σ2X=Var(X)=μ2X{exp(σ2Y)1}()　　(5)尋求對數(shù)正態(tài)變量X的有關事件的概率，經(jīng)過對數(shù)變換后可轉化為求正態(tài)變量Y=lnX的相應事件的概率，如:　　P(Xa)=P(lnXlna)　　=P(Ylna)　　(a)(b)上的兩塊陰影面積?！　　瞉絕緣材料在正常電壓下被擊穿的時間X為服從對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量，若令Y=lnX，則Y為服從正態(tài)分布的隨機變量。若已知Y的均值、方差與標準差分別為:　　μY=，σ2Y=4，σY=2由上述公式知，X的均值、方差與標準差為:　　μx=exp{+4/2}== σ2X=()2(e41)=e19(e4一1)=109　　105小時，104小時，標準差是平均時間的7倍多，可見對數(shù)正態(tài)分布是很分散的分布?！　∥?、中心極限定理　　中心極限定理是統(tǒng)計中常用到的一個結論。它告訴人們:在一定條件下，多個相互獨立隨機變量的平均值(仍然是一個隨機變量)，服從或近似服從正態(tài)分布。中心極限定理較完整的敘述如下:　　設X1，X2，…，Xn為n個相互獨立同分布隨機變量，均值μ和方差σ2都存在，則在n較大時，其樣本均值近似服從正態(tài)分布N(μ，)。　　這里相互獨立的隨機變量是指一個變量的取值不影響其他變量的取值。中心極限定理表明，當n比較大，樣本均值的分布總是近似于正態(tài)分布。第四節(jié)常用統(tǒng)計量及其分布　　一、隨機樣本與統(tǒng)計量　　在第一節(jié)中介紹了總體與樣本這兩個重要的統(tǒng)計概念，在第三節(jié)中又介紹了隨機變量及其分布的概念。這些概念之間相互之間是有聯(lián)系的，而要將它們表達清楚，又必須借用第二節(jié)中所引進的概率這個工具?！　】傮w是人們研究對象的全體，它由個體所組成，當從總體中隨機抽取一個個體進行觀測時，所得的觀測值隨個體而異，因此總體對應于一個隨機變量。這個隨機變量的分布也就是總體的分布。因此統(tǒng)計中的總體與概率中的隨機變量是對應的，通常用統(tǒng)一的記號，例如X，Y，…等來記。　　再來討論樣本，一個樣本量為n的樣本是從總體中抽取的n個個體，這n個樣本觀測值x1，x2，…，xn可以看成為隨機變量X的n次實現(xiàn)值?！　∪藗儚目傮w中抽取樣本是為了認識總體，即從樣本推斷總體。如推斷總體是什么類型的分布?推斷總體均值為多少?推斷總體的標準差是多少?為了使此種統(tǒng)計推斷有所依據(jù)，推斷結果有效，對樣本的抽取應有所要求?！　M足下面兩個條件的樣本稱為簡單隨機樣本，簡稱隨機樣本?！　?1)隨機性?？傮w中每個個體都有相同的機會入樣。譬如，按隨機性要求抽出5個樣品，記為X1，X2，…，X5，則其中每一個都應與總體分布相同。這只要隨機抽樣就可保證此點實施?！　?2)獨立性。從總體中抽取的每個樣品對其他樣本的抽取無任何影響，假如總體是無限的，獨立性容易實現(xiàn)；若總體很大，特別與樣本量n相比是很大的，這時即使總體是有限的，此種抽樣獨立性也可得到基本保證。　　綜上兩點，隨機樣本X1，X2，…，Xn可以看做n個相互獨立的、同分布的隨機變量，其分布與總體分布相同。今后的樣本都是指滿足這些要求的簡單隨機樣本。在實際中抽樣時，也應按此要求從總體中進行抽樣。這樣獲得的樣本能夠很好地反映實際總體。，圖上用虛線畫出的曲線是兩個未知總體。若是按隨機性和獨立性要求進行抽樣，則機會大的地方(概率密度值大)被抽出的樣品就多；而機會少的地方(概率密度值小)，被抽出的樣品就少。分布愈分散，樣本也很分散；分布愈集中，樣本也相對集中些。　　　　抽樣切忌干擾，特別是人為干擾。某些人的傾向性會使所得樣本不是簡單隨機樣本，從而使最后的統(tǒng)計推斷失效?！　∪鬤1，X2，…，Xn是從總體X中獲得的樣本，那么X1，X2，…，Xn是獨立同分布的隨機變量。樣本的觀測值用x1，x2，…，xn表示，這也是我們常說的數(shù)據(jù)。有時為方便起見，不分大寫與小寫，樣本及其觀測值都用x1，x2，…，xn表示，今后就將采用這一方法表示。　　二、統(tǒng)計量與抽樣分布　　(一)統(tǒng)計量的概念　　樣本來自總體，因此樣本中包含了有關總體的豐富信息。但是不經(jīng)加工的信息是零散的，為了把這些零散的信息集中起來反映總體的特征，需要對樣本進行加工，一種有效的辦法就是構造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)可以反映總體的不同的特征?！　〔缓粗獏?shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量，統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。　　[]從均值為μ，方差為σ2的總體中抽得一個樣本量為n的樣本X1，X2，…，Xn，其中μ與σ2均未知?！　∧敲碭1+X2，max{X1，X2，…，Xn}是統(tǒng)計量，而X1+X22μ，(X1μ)/σ都不是統(tǒng)計量?！　〉谝还?jié)中討論過的樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本方差、樣本標準差及樣本變異系數(shù)等都是統(tǒng)計量。只有樣本眾數(shù)例外，因為樣本眾數(shù)的確定在許多情形并不明確，它不能用樣本函數(shù)表示，因此那里定義的樣本眾數(shù)不能作為統(tǒng)計量?！　?二)樣本均值的分布　　樣本均值是表示樣本數(shù)據(jù)中心位置的，而樣本又是從總體中隨機抽取的，因此與表示總體的隨機變量X的均值μ之間一定存在某種內在的聯(lián)系。注意作為一個統(tǒng)計量，是樣本的函數(shù)，是隨著所抽取的樣本不同而變的。因此本身也是一個隨機變量，因此有時也記為，也有自己的分布規(guī)律，也可以計算它的均值、方差等。而所有這些又必然與總體的分布、均值與方差有關。事實上E()=μ　　其中μ，σ2分別為總體X的均值和方差?！　∩厦娴慕Y果表明，樣本是總體均值μ的無偏估計，而它的方差與總體方差σ2成正比，但與樣本量n成反比。這表明當用估計μ時，n愈大，精度就愈高。　　[]下面50個數(shù)據(jù)是從均值為10，方差為4的正態(tài)總體中隨機抽取出來的(根據(jù)正態(tài)總體的隨機數(shù)產(chǎn)生法用計算機得到)，按行分為10組，每組5個數(shù)據(jù):　　1)，，；　　2)，，；　　3)，，；　　4)，，；　　5)，，；　　6)，，；　　7)，，；　　8)，，；　　9)，，；　　10)，，；　　如果將每行數(shù)據(jù)看成是一個從該正態(tài)總體中抽取的樣本量為5的樣本，計算得到樣本均值分別為:　　(1)=，(2)=，(3)=，(4)=，(5)=，　　(6)=，(7)=，(8)=，(9)=，(10)=　　這10個平均數(shù)的平均數(shù)　　如果我們將每兩行數(shù)據(jù)看做是從總體中抽取的樣本量為10的樣本，則5個樣本的均值分別為:　　，， 。與總體的均值μ=10比較，可知用n=5的樣本均值來估計μ沒有用n=10的樣本的平均數(shù)來估計精確，但均值的平均數(shù)()都非常接近μ的真值10。實際上這個數(shù)字也是將上述數(shù)據(jù)看做為n=50的一個樣本均值。　　至于的分布，根據(jù)上節(jié)討論過的中心極限定理，不論X的分布是哪種具體的分布，只要滿足一定條件，當n大時，樣本均值的分布即是近似正態(tài)的。根據(jù)前述給出的的均值與方差的結果，得知當n大時，近似N(μ，σ2/n)。當X本身服從正態(tài)分布，的分布也是嚴格正態(tài)的?！　∪⒂嘘P正態(tài)總體的幾個重要的抽樣分布本小節(jié)進一步討論來自正態(tài)總體樣本均值、樣本方差以及來自兩個正態(tài)總體樣本均值差及方差比的抽樣分布。這里所涉及的抽樣分布在以后的區(qū)間估計、假設檢驗和方差分析中將起重要作用?！　?一)方差未知時，正態(tài)均值的分布——t分布上一小節(jié)已提到，對于正態(tài)總體N(μ，σ2)，樣本均值的分布為　　　　　　是已知的，否則在實際中并不能立即就可應用。　　當σ已知時，通過標準化變換，可得:　　　　當σ未知時，很自然的，用樣本標準差s代替上式中的σ，此時統(tǒng)計量:　　服從自由度為n1的t分布，記為t(n1)。　　自由度為n1的t分布的概率密度函數(shù)與標準正態(tài)分布N(0，1)的概率密度函數(shù)類似，亦為對稱分布，其峰比N(0，1)的峰略低一些，而兩側尾部要比N(0，1)的兩側尾部略粗一些。圖中畫出自由度為3的t分布t(3)與標準正態(tài)分布N(0，1)的概率密度曲線。當自由度超過30以后，兩者區(qū)別已不大?！　　　?二)正態(tài)樣本方差s2的分布——χ2分布正態(tài)樣本方差s2除以總體方差σ2的n1倍的分布是自由度為n1的χ2分布，記為χ2(n1)，即:　　自由度為n1的χ2分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布。　　　　(三)兩個獨立的正態(tài)樣本方差之比的分布——F分布　　設有兩個獨立的正態(tài)總體N(μ1，σ2)和N(μ2，σ2)，它們的方差相等。又設X1，X2，…，Xn是來自N(μ1，σ2)的一個樣本；Y1，Y2，…，Ym是來自N(μ2，σ2)的一個樣本，這兩個樣本相互獨立。它們的樣本方差之比的分布是自由度為n1和m1的F分布:　　其中n1稱為分子自由度，m1稱為分母自由度。F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布?！　〉谖骞?jié)參數(shù)估計　　根據(jù)樣本對總體進行推斷是數(shù)理統(tǒng)計的核心，參數(shù)估計與假設檢驗是統(tǒng)計推斷的兩個基本內容。本節(jié)著重討論參數(shù)估計問題。　　在前幾節(jié)中已經(jīng)闡明特定產(chǎn)品的質量特性可以用隨機變量來表示，而它的量值包括變化規(guī)律則用相應的分布來表示。在質量活動和管理實際中，人們關心的是諸如特定產(chǎn)品的質量水平究竟如何?例如特性的平均值，產(chǎn)品的不合格品率等等。這些都需要通過從總體中取樣本，從樣本觀測值來對此進行估計。在統(tǒng)計中，估計就是根據(jù)樣本來推斷總體分布的未知成分。例如若產(chǎn)品某個特性服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ與σ2是未知的參數(shù)，就需要根據(jù)樣本對它們進行估計。估計也可以擴展成對分布類型、分布的某些特征數(shù)，例如均值、方差甚至對某個特定事件概率的估計，但由于這些待估計的量的未知部分都只是參數(shù)，因此任何一個估計問題都可以化成參數(shù)估計問題。例如二項分布b(n；p)的均值npq=np(1p)中的未知成分只是未知參數(shù)p，因此只要對p進行了估計，均值的估計也就完全解決了?！　?shù)估計有兩種基本形式，即點估計與區(qū)間估計?！　∫?、點估計　　(一)點估計的概念　　設θ是總體的一個未知參數(shù)，記與總體對應的隨機變量為X，從中抽取樣本量為n的一個樣本，X1，X2，…，Xn。根據(jù)這個樣本，構造一個統(tǒng)計量=(X1，X2，…，Xn)，用來對θ進行估計，稱為θ的估計量。對一個具體的樣本X1，X2，…，Xn，可計算的一個具體的數(shù)值，稱為θ的估計值。在本教材中，除討論統(tǒng)計量的分布及性質外，不嚴格區(qū)分估計量及具體估計值，通稱為估計?！　?二)點估計優(yōu)良性標準　　點估計量是隨所抽取的樣本不同而不同的，它是一個隨機變量，評價一個估計量的優(yōu)劣不能從一個具體樣本獲得的估計值來評判，應該從多次使用中來評定?！　τ谝粋€特定的樣本，估計量與θ的真值之間總是有偏差的，但由于θ未知，因此偏差θ也未知。但是我們可以通過多次抽樣，對不同樣本，的不同具體估計值，對實際偏差θ進行“平均”。當然這種平均不能直接進行，因為θ有正有負，直接平均由于正負抵消反而不能反映誤差。與以前對方差處理的方法相仿，用估計偏差的平方θ)2代替，并對其求均值，于是用E(θ)2來表示估計量的優(yōu)劣。這個量稱為的均方誤差，簡記為MSE()，均方誤差實際上是平均平方誤差的意思。雖然由于θ是未知的，MSE()也并不是總能求得的。但是經(jīng)過簡單的代數(shù)推導，總有　　MSE=E(θ)2=〔E()θ]2+E〔E()]2()　　=〔B()]2+V()　　()式中的第一項表示的是的均值E()與未知參數(shù)θ的差，稱為偏倚；當B()=0，也即:　　E()=θ時，稱估計量是無偏的。無偏性是表示估計量優(yōu)良性的一個重要標準。只要有可能，應該盡可能選用無偏估計量，或近似無偏估計量?！　?)式中的第二項表示的是對其均值E()差的平方的均值，稱為估計量的方差。對于無偏估計量，當然方差愈小愈好。方差愈小，估計量就更有效。有效性是判定估計量優(yōu)良性的另一個標準。　　(三)求點估計的方法——矩法估計　　參數(shù)估計時，一個直觀的思想是用樣本均值作為總體均值的估計，用樣本方差作為總體方差的估計等。由于均值與方差在統(tǒng)計學中統(tǒng)稱為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。因此上面的做法是用樣本矩估計相應的總體矩，從而獲得有關總體參數(shù)的點估計，這種點估計方法稱為矩法估計?！　【胤ü烙嫼唵味鴮嵱?，所獲得的估計量通常(盡管不總是如此)也有較好的性質。例如對任何總體，樣本均值對總體均值μ的估計總是無偏的，樣本方差s2對總體方差σ2的估計也總是