有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解本科畢業(yè)論文-資料下載頁
2025-06-22 07:39本頁面
【正文】 b=3.所以，該多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)因式分解式為fx=x+1(x4)(x3+3x2+3x+1)=(x+1)4(x1)（三）重因式分離法數(shù)域P上任何次數(shù)大于0的多項(xiàng)式f(x)都有唯一的標(biāo)準(zhǔn)分解式 f(x)=ap1r1(x)p2r2(x)?psrs(x) （1）其中a為f(x)的首項(xiàng)系數(shù)，p1(x)?ps(x)（1）式兩邊求導(dǎo)得f39。x=a?gx?p1r11xp2r21(x)?psrs1(x)其中每個(gè)pi(x)都不能整除gx，輾轉(zhuǎn)相除法得fx,f39。x=p1r11xp2r21(x)?psrs1(x)存在q(x)=ap1(x)p2(x)?ps(x)使f(x)=(fx,f39。x)q(x)，由此可見q(x)和f(x)都有完全相同的因式，差別是q(x)中因式的重?cái)?shù)為1，因此求f(x)的因式可以換成求q(x)的因式.[[] 段學(xué)復(fù)，[M].北京：高等教育出版社，(2007重印).]例13：求多項(xiàng)式f(x)=x510x320x215x4在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式.解:由f39。x=5x430x240x15,(f(x),f39。x)=x3+3x2+3x+1得gx= f(x)/fx,f39。x=x23x4，所以gx的不可約因式為x4，x+1.所以(fx,f39。x)=(x+1)，x+1 是f(x)的4 重因式，即fx=x+14(x4)（四）應(yīng)用矩陣的初等行變換法根據(jù)f(x)10f39。x01 初等行變換 (fx,f39。x)u(x)v(x)0**其中u(x)，v(x)滿足(fx,f39。x)= uxfx+ v(x) f39。x，以此得出(fx,f39。x)，再根據(jù)重因式分離法求出多項(xiàng)式fx標(biāo)準(zhǔn)分解式.例14：求fx=x510x320x215x4 在有理數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式.解:由x510x320x215x4105(x46x28x3)01 初等行變化 x3+3x2+3x+10所以 (fx,f39。x)=x3+3x2+3x+1=(x+1)3又因?yàn)閒x/(fx,f39。x)=x23 x4=(x4) (x+1)所以fx=(x+1)4+(x4)（五）利用行列式的性質(zhì)在高代中，行列式是一個(gè)很好的工具， a11a12 a21a22=a11a22a12a21擴(kuò)展開來，可以將一個(gè)多項(xiàng)式F表示為其他兩個(gè)多項(xiàng)式的差，其中的每個(gè)兩個(gè)多項(xiàng)式又能寫成另外兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積[[] 吳春梅，[J].洛陽大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，22（2）：108110.]，即F= MN PQ，也即是F=MPQN將多項(xiàng)式F轉(zhuǎn)化成二階行列式的形式，再對(duì)二階行列式進(jìn)行初等變換，提取公因式.對(duì)任意的一元n次多項(xiàng)式p(x)=anxn+an1xn1+?a1x+a0均可寫成n階行列式的形式px=x10?0 00x1000?0 0x 1a0a1a2? an2anx+an1在此基礎(chǔ)上，利用行列式性質(zhì)，通過降階等方法進(jìn)行分解[[] [J].青海民族大學(xué)學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2010,30（5）：1417.].例15：對(duì)多項(xiàng)式f(x)=5x4+24x315x2118x+24 進(jìn)行因式分解.解： fx=x 10 x0 01 0 0024118 x 1 15 5x+24 =x 10 x 0 01 00 024118 x 15x2+24x15 0 =x1 00x1241185x2+24x15 =(5x1)x(5x1)50x1242x+5 =(5x1)x124 x25x+2 =3(5x1)x18(x2+5x2) =3(5x1)x8 =(5x1)xx+38(x+3)(x+2) =( x+3)5x1x18x+2 =x+35x1x+4(x2) 四、結(jié)論本文著重分析了判斷有理數(shù)域上多項(xiàng)式是否可約的條件和方法，給出了有理數(shù)，一元多項(xiàng)式和本原多項(xiàng)式的概念，同時(shí)介紹了一系列的判別法以確定本原多項(xiàng)式是否可約，這些方法各有所長，當(dāng)然并不局限于這幾種，有很多種，我們不必拘泥于其中一種形式. 對(duì)于不同的類型的題目我們可以選用不同的方法，經(jīng)過比較選擇最合適最簡單的方法.多項(xiàng)式因式分解將成為今后進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)：應(yīng)用在研究分式約分、通分以及分式的化簡等項(xiàng)目；將方程根變形，使根式運(yùn)算過程簡便，提高答案的精確度；同時(shí)還可將多項(xiàng)式和差化積，取對(duì)數(shù)使計(jì)算簡化. 學(xué)習(xí)有理數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的解題能力，對(duì)日后學(xué)習(xí)的幫助不言而喻.本篇論文對(duì)有理數(shù)域上多項(xiàng)式因式分解的內(nèi)容進(jìn)行了列舉論證，由于篇幅有限，在方法和解讀上有不足之處望體諒，希望可以為讀者在關(guān)于多項(xiàng)式因式分解的研究學(xué)習(xí)中有一定幫助.參 考 文 獻(xiàn)
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