【正文】 的車(chē)輛數(shù)。對(duì)比研究?jī)蓚€(gè)定義會(huì)發(fā)現(xiàn)：道路長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)體積，車(chē)輛數(shù)對(duì)應(yīng)質(zhì)量。因此，文獻(xiàn)[22]將交通流中的車(chē)輛數(shù)比擬成流體力學(xué)中的質(zhì)量；車(chē)輛數(shù)與速度的乘積應(yīng)比擬成動(dòng)量。本文認(rèn)為，文獻(xiàn)[22] 的類(lèi)比更準(zhǔn)確，故以此為基礎(chǔ)，可以正確運(yùn)用成熟的理論和方法建立交通流模型。 連續(xù)性方程交通流中的連續(xù)性方程的推導(dǎo)是以無(wú)車(chē)輛進(jìn)出的基本路段為研究對(duì)象，運(yùn)用物質(zhì)守恒定理來(lái)建立的。本文將以圖 21 的示意圖來(lái)說(shuō)明連續(xù)性方程的建立過(guò)程。12Δ xFig. 21 A schematic diagram for the derivation of the continuity equation圖 21 推導(dǎo)連續(xù)性方程的示意圖考察如圖 21 所示的一段間距為 Δx 的道路基本路段，將 1 站和 2 站分別作為始末監(jiān)測(cè)點(diǎn)，同時(shí)開(kāi)始進(jìn)行車(chē)輛統(tǒng)計(jì)，中間并無(wú)車(chē)輛的生成和流失。設(shè) 為 Δt 時(shí)間內(nèi)通過(guò)iNi 站的車(chē)輛數(shù)， 是通過(guò) i 站的流量，Δt 為統(tǒng)計(jì)持續(xù)的時(shí)間。令 ，則有：iq 21??? (21)/Ntq?? (22)/iit第二章 連續(xù)交通流模型11若 Δx 足夠短，則該路段內(nèi)的密度 k 保持一致，那么密度增量 Δk 可以表示如下： (23)21()Nx???式中 前面加上“—”號(hào)是因?yàn)楫?dāng) 0 時(shí)，則從站 2 駛離的車(chē)輛數(shù)大21()N?21()于從站 1 駛?cè)氲能?chē)輛數(shù)，兩站之間車(chē)輛數(shù)減少意味著密度的減小。換言之， 與N?的符號(hào)相反，即：k? (24)kxN????同時(shí)，根據(jù)流量關(guān)系，有： (25)qt?因此 (26)qtkx???即 (27)0qkxt???假設(shè)兩站間車(chē)流連續(xù)，且允許有限的增量為無(wú)窮小，那么取極限可得： (28)0kqtx???該式描述了交通流的守恒規(guī)律，即守恒方程，這一方程與流體力學(xué)方程有相似的形式。式(28)只適用于無(wú)車(chē)輛進(jìn)出的跟馳路段，而對(duì)于有車(chē)輛出入的匝道或者雙車(chē)道和多車(chē)道超車(chē)路段，可在式(28)右端加上源匯項(xiàng)（流量產(chǎn)生率）s 。對(duì)于車(chē)輛進(jìn)入時(shí)，s0；對(duì)車(chē)輛離開(kāi)時(shí)，s0 。于是，式(28) 可寫(xiě)成 (29)kqstx???廣州大學(xué)碩士學(xué)位論文12當(dāng)無(wú)車(chē)輛進(jìn)出，即 s=0 時(shí)，就屬于無(wú)車(chē)流出入的封閉情況。假設(shè)平衡狀態(tài)下平均速度與密度存在某種關(guān)系 (210)??e uk?式(28)或(29)和(210)構(gòu)成了一階連續(xù)模型 LW 理論。值得指出的是，在非單車(chē)道中，由于車(chē)型和駕駛員的行為差異，公路中的超車(chē)換道現(xiàn)象普遍存在。而式(210) 的速度 密度關(guān)系是實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)回歸關(guān)系，并未考慮實(shí)際交通中存在的超車(chē)換道現(xiàn)象(混合交通)。超車(chē)換道現(xiàn)象可能是實(shí)測(cè)速度密度曲線中尤其在高密度時(shí)出現(xiàn)大量狀態(tài)點(diǎn)散布的原因。因此，速度密度關(guān)系中應(yīng)包含考慮超車(chē)換道引起的源匯流量 r，即 (211) ()ukr?，其中 ，s 是 r 沿 x 的分布函數(shù)。0(,)xrtd??LW 理論實(shí)際上是車(chē)輛跟馳理論的連續(xù)性近似 [23]。 運(yùn)動(dòng)微分方程雖然 LWR 模型可以對(duì)交通激波現(xiàn)象進(jìn)行描述，但交通激波的車(chē)流密度可能是不連續(xù)的，且由于沒(méi)有考慮加速度和慣性的影響，假定交通流在平衡狀態(tài)下，速度處于均勻狀態(tài)，因而無(wú)法如實(shí)反映非平衡狀態(tài)交通流的動(dòng)力特性，也不能描述交通流的滯后以及時(shí)停時(shí)行的交通波等現(xiàn)象。為了解決這些問(wèn)題，許多學(xué)者引進(jìn)了加速度表達(dá)式或動(dòng)量方程代替式(210)。1969 年，Pipes 提出了交通流加速度的表達(dá)式 [24] (212)2()udxukttx??????在 Pipes 的推導(dǎo)過(guò)程中，用到了 、 和 ，要使三式ktdt?d?qdkx??同時(shí)成立，即第二章 連續(xù)交通流模型13 (213)uduttxkk???? (214)uduxtxkk???? (215)qdquxtxkk????同時(shí)成立，其條件是 、 、 同時(shí)成立（其中 n 為比untx?nutx?qnutx??例系數(shù)) 。這三個(gè)條件是非?？量痰模瑢?shí)際交通中幾乎不可能達(dá)到。問(wèn)題出在式(210)的速度 密度關(guān)系沒(méi)有考慮超車(chē)換道引起的源匯流量 s。如果采用式(210)的速度密度關(guān)系，并在連續(xù)性方程中加入源匯項(xiàng)，按照 Pipes 的推導(dǎo)方法可得 (216)2()()()uukqrurstxxxtx?????????式中，r 為進(jìn)出車(chē)道分界線的流量 (當(dāng)車(chē)輛從分界線流入時(shí)， r0；當(dāng)車(chē)輛從分界線流出時(shí)，r0 為負(fù)) ，那么， s=dr/dx。1971 年，Payne 沿用 LWR 模型和車(chē)輛跟馳理論的基本思想，提出了平均速度與密度存在下列關(guān)系 [25] (217)()()euxtTkxt???, (218)1(,)(,!nuuttTt?????略去二階及以上項(xiàng)，考慮到式(217)，有 (219)(,)(,uuxtTxtT???廣州大學(xué)碩士學(xué)位論文14對(duì)式(217)右邊作關(guān)于 x 的 Tyalor 展開(kāi)，得到 (220)1(,)(,)!nneeeuukkuktuktxx????????????略去二階及以上項(xiàng)，有 (221)(,)(,)eeukukxtukxtx????由式(217)和式(219)，有 (222)(,)(,)eeuukxtTkxtx??????令 , , ，得到xuT????? (223)()euktTx????以上是按 Payne 的建模方法得到的表達(dá)式。 Payne 混淆了對(duì)時(shí)間的偏微商和全微商，得到的方程為 (224)()euktxTx??????式中：T——弛豫時(shí)間；——平衡速度 ue(k)隨著交通流密度的增加的遞減速率，其值為 ；? /euk?——期望常數(shù)；/——弛豫項(xiàng)，是描述交通流速度向平衡速度傾向的過(guò)程；()eukT?——期望項(xiàng)，是描述駕駛員根據(jù)下游的交通狀況改變的反應(yīng)過(guò)程。x??當(dāng)延滯時(shí)間 選定后，由 的估算值確定 ，但 又同時(shí)受條件 ，即 ux???，如果采用定值 ，則約束條件為定流量交通流。假定 ?T /eu?第二章 連續(xù)交通流模型15數(shù)，意味著式(210)的速度 密度函數(shù)只能是線性關(guān)系，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)證明并非如此。文獻(xiàn) [26]對(duì)廣深高速公路、廣佛高速公路和滬寧高速公路的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析?；貧w系數(shù)如表 22，結(jié)果表明：廣深高速公路和廣佛高速公路的速度 u、密度 k 數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)較高，速度 u、密度 k 基本符合直線關(guān)系；滬寧高速公路的速度 u、密度 k 數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)較低。由于速度隨密度增加而降低，即速度和密度負(fù)相關(guān)，故速密相關(guān)系數(shù)為負(fù)值。而四組流量密度數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)都接近 1。表 22 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)線性相關(guān)系數(shù)Table 22 Linear correlation coefficients of measured datas高速公路 廣深 2 車(chē)道 廣佛 2 車(chē)道 滬寧 1 車(chē)道 滬寧 2 車(chē)道速度密度相關(guān)系數(shù) 流量密度相關(guān)系數(shù) Papageiou 考慮了進(jìn)出匝道流量的影響，在 Payne 方程的右邊增加了一項(xiàng) usk?? (225)()eukustxTxk????????式中：s 進(jìn)出匝道的流率。 參數(shù)， 。?01??Papageiou 模型仍未解決在高密度下穩(wěn)定性差的問(wèn)題。Kuhne 將 Payne 方程的右邊第二項(xiàng)改成 ，并增加了交通流的粘性影響項(xiàng)20kct??[27]2ux?? (226)220()eukuctxTtx???????式中： ——與車(chē)輛跟馳的彈性有關(guān)的音速（等效音速） ；0c——粘性系數(shù)；?臨界密度氣 ，當(dāng) 時(shí)，交通狀態(tài)是穩(wěn)定的；當(dāng) 時(shí)，交通0()/cekuk???c?ck?完全癱瘓。該模型可用于超擁擠狀態(tài)的交通分析，但仍需要確定平衡狀態(tài)下的速度密度關(guān)系。廣州大學(xué)碩士學(xué)位論文16Ross 認(rèn)為交通流是一種可壓縮流體，但不能壓縮到臨界密度(即阻塞密度值)以上，而在密度達(dá)到飽和前，駕駛員都追求自由速度 行駛，進(jìn)而提出了一種不依賴(lài)于平衡fu時(shí)的 uk 關(guān)系的高階連續(xù)介質(zhì)模型將 Payne 方程的右邊第二項(xiàng)舍棄，并將 改為()euk[28]fu (227)() ejukktxT????? (228)0q?j?Ross 模型不依賴(lài)平衡狀態(tài)下的 uk 關(guān)系，引入了自由速度 ，還原了交通流的動(dòng)fu力特征；對(duì)于交通流中產(chǎn)生的“瓶頸” 現(xiàn)象，能給出符合實(shí)際的描述；但從上式可以看出，加速度恒大于零，從而模型只能描述不斷加速的情形；此外，模型在飽和密度時(shí)，交通流是不可壓縮的假設(shè)，波速的傳播無(wú)限大，導(dǎo)致車(chē)流穩(wěn)定性較差，與實(shí)際情況不符。姜銳等提出 [29] (229)()eukutxTx????????式中：T——松弛時(shí)間；△——擾動(dòng)向后傳播的距離；——擾動(dòng)向后傳播△所需要的時(shí)間。?馮蘇葦將 Payne 方程的右邊第一項(xiàng)乘以松弛系數(shù) ，第二項(xiàng)改成 ，增加了e?20kct??面積變化等效項(xiàng) （ 面積可變系數(shù)， 臨界密度， 前單元的車(chē)2Acrahedku?A?crkahedA道面積) 。提出 [30] (230)20()eAcraheduku kudtxTt????????第二章 連續(xù)交通流模型17馮蘇葦建立的動(dòng)力學(xué)方程中存在密度梯度項(xiàng)，導(dǎo)致方程特征根必有一個(gè)大于車(chē)流速度，決定了車(chē)流為各向同性，與實(shí)際不符，而且對(duì)于將粘性干擾引入動(dòng)力學(xué)方程沒(méi)有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撘罁?jù)。張鵬 [31]等認(rèn)為延滯時(shí)間是一個(gè)根本不存在的量，即 T=0，提出模型方程 (231)2kqktx????式中， ， 為無(wú)量綱常數(shù)，0 1。=/euk????該模型沒(méi)有消除 Payne 模型的缺陷。由于認(rèn)為 T=0，則式(217)成為，推斷同一時(shí)刻交通流中各點(diǎn)的速度相同，與實(shí)際情況不符。()()euxtkxt???， ，由于 Payne 模型的基礎(chǔ)假設(shè)不可靠，經(jīng)過(guò)推理而非嚴(yán)格理論推導(dǎo)的修正項(xiàng)不一定完善了方程。Phillips 以 Bolmztnna 方程為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出下列方程 [32] (232)??1()()edupkkutxx??????式中: p——交通壓力，為密度與速度分布的方差之積，即 。()u?，該模型有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，能考慮多車(chē)道公路上的超車(chē)因素和車(chē)道改變因素，在低密度情況下的結(jié)果與 Payne 模型相類(lèi)似，但在高密度時(shí)結(jié)果不大相同。況且，要確定壓力函數(shù)以及 中的各參數(shù)非常復(fù)雜，較難應(yīng)用于實(shí)踐之中。()k?吳正針對(duì)中國(guó)大部分城市以低速混合交通為主的情況，將一維管道流動(dòng)的動(dòng)量方程引入交通模型，提出了 [33,34] (233)2()()0wkuAptx??????式中：A——路段寬度( 或車(chē)道數(shù) )；P——交通壓力，假定 ，c，n 為常數(shù)，根據(jù)其取值可使模型適應(yīng)于pk?廣州大學(xué)碩士學(xué)位論文18不同的交通情況，n 稱(chēng)為交通狀態(tài)指數(shù)；——車(chē)流經(jīng)過(guò)單位面積時(shí)所受的阻力。 w?當(dāng)路段寬度(或車(chē)道數(shù)) A 不變時(shí)，將式 (233)整理后，有 (234)1wduptxAkx??????吳正模型中，物質(zhì)流動(dòng)量方程中的壓力 p 在交通流中找不到恰當(dāng)?shù)谋葦M，且待定參數(shù)過(guò)多使實(shí)際應(yīng)用存在困難， “混合型” 交通流中各種車(chē)輛的相互影響和干擾不斷變化的，很難量化。因此，僅用車(chē)流經(jīng)過(guò)單位面積時(shí)所受到的阻力來(lái)描述過(guò)于簡(jiǎn)單，且阻力在實(shí)際中也很難確定。對(duì)于粘性項(xiàng)的定義，并沒(méi)有深入考慮，在應(yīng)用中均直接令公，實(shí)際上并未考慮粘性項(xiàng)。0w??熊烈強(qiáng)把交通流看作虛擬力作用下的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，并考慮粘性阻力，提出了交通流的運(yùn)動(dòng)微分方程 [35] (235)10wuptxk?????其中： 為粘性阻力，該模型并未考慮超車(chē)換道流110 ,2wkuqux??????????量的影響。安維勝 [36]在姜銳模型的基礎(chǔ)上，將所有阻礙車(chē)輛自由行駛的因素都看作粘性阻力，建立了如下的交通流方程： (236)()/e zjrukxukStxT????????? 交通流參數(shù)