【正文】 3．[二十五] 設隨機變量X和Y的聯(lián)合分布為：XY－101－1001驗證：X和Y不相關，但X和Y不是相互獨立的。證：∵ P [X=1 Y=1]= P [X=1]= P [Y=1]= P [X=1 Y=1]≠P [X=1] P [Y=1]∴ X，Y不是獨立的又 E (X )=－1+0+1=0 E (Y )=－1+0+1=0 COV(X, Y )=E{[X－E (X )][Y－E (Y )]}= E (XY )－EXEY = (－1)(－1) +(－1)1+1(－1)+11=0∴ X，Y是不相關的27．已知三個隨機變量X，Y，Z中，E (X )= E (Y )=1, E (Z )=－1，D (X )=D (Y )=D (Z )=1, ρXY=0 ρXZ=，ρYZ=－。設W=X+Y+Z 求E (W )，D (W )。解：E (W )= E (X+Y+Z)= E (X )+ E (Y )+ E (Z )=1+1－1=1 D (W )= D (X+Y+Z)=E{[ (X+Y+Z)－E (X+Y+Z)]2} = E{[ X－E (X )]+[ Y－E (Y )]+Z－E (Z )}2 = E{[ X－E (X )]2+[ Y－E (Y )]2+ [Z－E (Z )]2+2[ X－E (X )] [ Y－E (Y )] +2[ Y－E (Y )] [Z－E (Z )]+2[Z－E (Z )] [ X－E (X )]} = D (X )+D (Y )+D (Z )+2 COV(X, Y )+ 2 COV(Y, Z )+ 2 COV(Z, X ) = D (X )+D (Y )+D (Z )+2 +=1+1+1+2 26.[二十八] 設隨機變量（X1，X2）具有概率密度。， 0≤x≤2, 0≤y≤2求 E (X1)，E (X2)，COV（X1，X2），解： D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2) =28.[二十九]設X～N（μ，σ 2），Y～N（μ，σ 2），且X，Y相互獨立。試求Z1= αX+βY和Z2= αX－βY的相關系數(shù)（其中是不為零的常數(shù)）.解：由于X，Y相互獨立Cov(Z1, Z2)=E(Z1,Z2)－E(Z1) E(Z2)=E (αX+βY ) (αX－βY )－(αEX+βEY ) (αEX－βEY ) =α2EX 2－βEY 2－α2 (EX ) 2+β(EY ) 2=α2DX－β 2DY=(α2－β 2) σ 2DZ1=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2, DZ2=α2DX+β 2DY=(α2+β 2) σ 2,(利用數(shù)學期望的性質(zhì)2176。3176。)故29．[二十三] 卡車裝運水泥，設每袋水泥重量（以公斤計）服從N（50,）.解：已知X～N（50,）=AX～N（50A,）.故由題意得P {Y≥2000}≤即 解得A≥39.30.[三十二] 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細胞數(shù)平均是7300，均方差是700，利用契比雪夫不等式估計每毫升含白細胞數(shù)在5200～9400之間的概率p.解：由題意知μ=7300,σ=700，則由契比雪夫不等式31.[三十三]對于兩個隨機變量V,W若E(V2 )E (W2 )存在,證明[E (VW)]2≤E (V2 )E (W 2 )這一不等式稱為柯西施瓦茲（CauchySchwarz）不等式.證明：由和關于矩的結(jié)論，知當E (V2 ), E (W 2 )存在時E (VW)，E(V ), E(W ), D (V ), D (W ), (V2 ), E (W 2 )至少有一個為零時，不妨設E (V2 )=0，由D (V )= E (V2 )－[E (V )]2≤E (V2 )=0知D (V )=0，此時[E (V )]2 = E (V2 )=0即E (V )=0。再由方差的性質(zhì)知P (V=0)= (VW=0)=(VW )=0，不等式成立. 當E (V2 )0，E (W 2 )0時，對有E (W－tV )2 = E (V2 ) t2－2 E(VW )t+ E (W 2 )≥0.(*)(*)式是t的二次三項式且恒非負，所以有?=[－2 E(VW )] 2－4 E (V2 ) E (W 2 ) ≤0故CauchySchwarz不等式成立。[二十一]（1）設隨機變量X1，X2，X3，X4相互獨立，且有E (Xi )=i, D (Xi )=5－i, i=1,2,3,4。設Y=2 X1－X2+3X3－X4，求E (Y)，D (Y)。（2）設隨機變量X，Y相互獨立，且X～N（720，302），Y～N（640，252），求Z1=2X+Y，Z2=X－Y的分布，并求P {XY }, P {X+Y1400 }解：（1）利用數(shù)學期望的性質(zhì)2176。，3176。有E (Y )= 2E (X1 )－E (X2 )+3 E (X3 )－E (X4 )=7利用數(shù)學方差的性質(zhì)2176。，3176。有D (Y )=22 D (X1 )+ (－1)2 D (X2 )+32 D (X3 )+()2 D (X4 )=（2）根據(jù)有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，知Z1～N（ ，），Z2～N（ ，）而E Z1=2EX+Y=2720+640, D (Z1)= 4D (X )+ D (Y )= 4225E Z2=EX－EY=720－640=80, D (Z2)= D (X )+ D (Y )= 1525即 Z1～N（2080，4225）， Z2～N（80，1525）P {XY }= P {X－Y 0 }= P {Z20 }=1－P {Z2 ≤0 }=P {X+Y 1400 }=1－P {X+Y ≤1400 }同理X+Y～N（1360，1525）則P {X+Y 1400 }=1－P {X+Y ≤1400 } =[二十二] 5家商店聯(lián)營，它們每周售出的某種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量（以kg計）分別為X1，X2，X3，X4，X5，已知X1～N（200，225），X2～N（240，240），X3～N（180，225），X4～N（260，265），X5～N（320，270），X1，X2，X3，X4，X5相互獨立。（1）求5家商店兩周的總銷售量的均值和方差；（2）商店每隔兩周進貨一次，問商店的倉庫應至少儲存多少公斤該產(chǎn)品？解：（1）令為總銷售量。已知E X1=200，E X2=240，E X3=180，E X4=260，E X5=320，D (X1)=225，D (X2)=240，D (X3)=225，D (X4)=265，D (X5)=270，利用數(shù)學期望的性質(zhì)3176。有利用方差的性質(zhì)3176。有 （2）設商店倉庫儲存a公斤該產(chǎn)品，使得P {Y ≤ a}由相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，并注意到（1），得Y～ N（1200，1225）查標準正態(tài)分布表知∴ a至少取1282.第五章 大數(shù)定理和中心極限定理1．[一] 據(jù)以往經(jīng)驗某種電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布，現(xiàn)在隨機的抽取16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件壽命總和大于1920小時的概率。解：設第i只壽命為Xi，（1≤i≤16），故E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知 從而3．[三] 計算機在進行加法時，對每個加數(shù)取整（取為最接近它的整數(shù)），設所有的取整誤差是相互獨立的，且它們都在（－，）上服從均勻分布， （1）若將1500個數(shù)相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？ （2） 解： （1）設取整誤差為Xi（，1500），它們都在（－, ）上服從均勻分布。 于是： 8．某藥廠斷言，醫(yī)院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。（1），問接受這一斷言的概率是多少？（2），問接受這一斷言的概率是多少？解：設X為100人中治愈的人數(shù)，則X～B (n, p)其中n=100（1） （2）p= 7．[七] 一復雜的系統(tǒng)，由100個互相獨立起作用的部件所組成。為了整個系統(tǒng)起作用至少必需有85個部件工作。求整個系統(tǒng)工作的概率。（2）一個復雜的系統(tǒng)，由n個互相獨立起作用的部件所組成，每個部件的可靠性（即部件工作的概率）。且必須至少有80%部件工作才能使整個系統(tǒng)工作。解：（1）設每個部件為Xi (i=1,2,……100)設X是100個相互獨立，服從（0－1）分布的隨機變量Xi之和X=X1+ X2+……+ X100由題設知 n=100 P {Xi=1}=p=, P {Xi=0}= E (Xi ) =p= D (Xi ) =p (1－p)== nE (Xi ) =100=90, n D (Xi ) =100=9 = = 由中心極限定理知 查標準正態(tài)分布表 =φ() =解：（2）設每個部件為Xi (i=1,2,……n)P {Xi=1}=p=, P {Xi=0}=1－p=E (Xi ) =p=, D (Xi ) ==由問題知 求n=?而 = =1－由中心極限定理知 =查標準正態(tài)分布表得解得n≥取n=25，.[八] 隨機地取兩組學生，每組80人，分別在兩個實驗室里測量某種化合物的PH值，各人測量的結(jié)果是隨機變量，它們相互獨立，且服從同一分布，其數(shù)學期望為5，以分別表示第一組和第二組所得結(jié)果的算術平均：（1）求P {} （2）}解：由中心極限定理知～N (0,1) ～N (0,1)（1） （2）由Xi , Yj的相互獨立性知獨立。從而U，V獨立。于是U－V～N (0, 2)而 =2－1=[九] 某種電子器件的壽命（小時）具有數(shù)學期望μ（未知），方差σ2=400 為了估計μ，隨機地取幾只這種器件，在時刻t=0投入測試（設測試是相互獨立的）直到失敗，測得其壽命X1，…，Xn，以作為μ的估計，為使問n至少為多少？解：由中心極限定理知，當n很大時 = 所以查標準正態(tài)分布表知即n至少取1537。第六章 樣本及抽樣分布1.[一] 在總體N（52，）中隨機抽一容量為36的樣本。解：2.[二] 在總體N（12，4）中隨機抽一容量為5的樣本X1，X2，X3，X4，X5.（1）求樣本均值與總體平均值之差的絕對值大于1的概率。（2）求概率P {max (X1，X2，X3，X4，X5)15}.（3）求概率P {min (X1，X2，X3，X4，X5)10}.解：（1） =（2）P {max (X1，X2，X3，X4，X5)15}=1－P {max (X1，X2，X3，X4，X5)≤15} =（3）P {min (X1，X2，X3，X4，X5)10}=1－ P {min (X1，X2，X3，X4，X5)≥10} =4.[四] 設X1，X2…，X10為N（0，）的一個樣本，求解：7．設X1，X2，…，Xn是來自泊松分布π (λ )的一個樣本，S2分別為樣本均值和樣本方差，求E (), D (), E (S 2 ).解：由X~π (λ )知E (X )= λ ，∴E ()=E (X )= λ, D ()=[六] 設總體X~b (1,p)，X1，X2，…，Xn是來自X的樣本。（1）求的分布律；（2）求的分布律；（3）求E (), D (), E (S 2 ).解：（1）（X1，…，Xn）的分布律為 =（2） (由第三章習題26[二十七]知)（3）E ()=E (X )=P， [八]設總體X~N（μ，σ2），X1，…，X10是來自X的樣本。（1）寫出X1，…，X10的聯(lián)合概率密度（2）寫出的概率密度。解：（1）(X1，…，X10)的聯(lián)合概率密度為 （2）由第六章定理一知～即的概率密度為第七章 參數(shù)估計1．[一] 隨機地取8只活塞環(huán)，測得它們的直徑為（以mm計） 求總體均值μ及方差σ2的矩估計，并求樣本方差S2。解：μ，σ2的矩估計是 。2．[二]設X1，X1，…，Xn為準總體的一個樣本。求下列各總體的密度函數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的矩估計量。（1） 其中c0為已知，θ1，θ為未知參數(shù)。（2） 其中θ0，θ為未知參數(shù)。（5）為未知參數(shù)。解：（1），得（2）（5）E (X) = mp 令mp =