【正文】 60。3L 3H 3=0H3=H=192212511199122K 3L3H 3K3L 3H 3 H 3L3K3192121912225119我們可以看出，因為這里的柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報酬不變的，所以第三個順序主子式H3是等于零的。那么滿足一階必要條件的生產(chǎn)要素組合（按一定比例）能否使廠商利潤最大化就需要用其他辦法進一步判別。在這里，我們需要說明：以上我們討論的求極值的方法，一階必要條件和二階充分條件并不能解決所有的求極值的問題。當函數(shù)不可導或者海塞矩陣為零的時候，上述方法就無能為力了。第三節(jié)　最優(yōu)化的比較靜態(tài)最優(yōu)化作為一種特殊類型的比較靜態(tài)分析，自然也可以用于研究比較靜態(tài)方面的問題。其思想仍然是求出任意參數(shù)的變化將如何影響模型的均衡狀態(tài)；在這里模型的均衡狀態(tài)是指選擇變量的最優(yōu)值，從而目標函數(shù)的最優(yōu)值。我們在這里研究的變化是從一個均衡狀態(tài)到另一個均衡狀態(tài)的改變，是在滿足均衡狀態(tài)的條件下的比較靜態(tài)。簡化型解在上節(jié)例1中，包含兩個參數(shù)（或外生變量）P10和P20，因此這個兩產(chǎn)品廠商的最優(yōu)產(chǎn)出水平可嚴格得按照這兩個參數(shù)表示：Q1=4P10P2015和Q2=4P20P1015這兩個是簡化型解，可以直接求出模型的比較靜態(tài)性質(zhì)：182。Q1182。P10=415182。Q1182。P20=115182。Q2182。P10=115182。Q2182。P20=415要獲得最大利潤，當某產(chǎn)品的價格上升或另一種產(chǎn)品的價格下降時，廠商應擴大該產(chǎn)品的產(chǎn)量。這些結(jié)論僅在所研究模型的特定假設(shè)下才成立，P10變化對Q2的影響、P20變化對Q1的影響是假設(shè)兩產(chǎn)品在生產(chǎn)方面存在技術(shù)相關(guān)性的結(jié)果。當不存在這種技術(shù)相關(guān)性時，我們數(shù)理經(jīng)濟學　——　第八章再談多變量模型有：182。Q1182。P20=182。Q2182。P20=0239。238。F(a,b。P0,Pa0,Pb0,r,t)=P0Qb(a,b)ertPb0=0假設(shè)函數(shù)F和F擁有連續(xù)導數(shù)，如果此方程對內(nèi)生變量a,b的雅可比行列式在初始均衡一般函數(shù)模型應用隱函數(shù)定理，在目標均衡中，我們利用最優(yōu)化的一階條件：239。236。F1(a,b。P0,Pa0,Pb0,r,t)=P0Qa(a,b)ertPa0=0237。 21 2時不為零，則可以應用隱函數(shù)定理。J=182。a2182。b=P0Qaae182。F1182。F182。a182。F1182。F2P0Qabert182。brtP0QabertP0Qbbert=H238。b=b(P0,Pa0,Pb0,r,t)因此，若我們假設(shè)利潤最大化的二階充分條件得到滿足，則在初始均衡或極值處，H必定為正，J也為正。所以，根據(jù)隱函數(shù)定理，我們可以寫相互以下兩個隱函數(shù)236。a=a(P0,Pa0,Pb0,r,t)237。以及以下兩個恒等式P0Qa(a,b)ertPa0=0P0Qb(a,b)ertPb0=0為研究此模型的比較靜態(tài)性質(zhì)，首先取每個恒等式的全微分。暫時我們允許外生變量變化，所以全微分的結(jié)果將包含da，db以及dP0，dPa0，dPb0，dr和dt如果我們將等號左邊僅放置那些包含da和db的項，則結(jié)果為P0Qaaertda+P0Qabertdb=QaertdP0+dPa0+P0Qatertdr+P0QarertdtP0Qabertda+P0Qbbertdb=QbertdP0+dPb0+P0Qbtertdr+P0Qbrertdt我們應該注意到，da和db左邊的系數(shù)正好是雅可比行列式的元素。并且我們可以看到這里比較靜態(tài)導數(shù)一共有十個，分別為：數(shù)理經(jīng)濟學　——　第八章再談多變量模型182。a182。P0182。b182。P0182。a182。Pa0182。b182。Pa0182。a182。Pb0182。b182。Pb0182。a182。r182。b182。r182。a182。t182。b182。t要導出具體的比較靜態(tài)導數(shù)，每次僅允許一個外生變量發(fā)生變化。譬如，假設(shè)只有P0變化，則dP0185。0，但dPa0=dPb0=dr=dt=0我們可以解得矩陣方程235。P0QabeP0Qbbert235。182。b182。P0=234。235。Qbe 233。P0Qaaert234。 rtP0Qabert249。233。182。a182。P0249。234。233。Qaert249。rt由克萊姆法則，可以求得231。231。247。247。=231。231。247。247。=230。182。a246。232。182。P0248。230。182。b246。232。182。P0248。(QbQabQaQbb)P0e2rtJ(QaQabQbQaa)P0e2rtJ下面我們來分析比較靜態(tài)導數(shù)的符號。一階條件可以推出：Qa0二階條件可以推出：Qaa0Qb0Qbb0J0又因為P0ert一定為正，因此，若Qab0，即增加一種投入要素將提高另一種投入要素的MPP，我們就可以得到182。a182。P0和182。b182。P0均為正，這意味著產(chǎn)品價格的提高，會導致均衡時兩種投入要素使用量的增加。若Qab0導數(shù)的符號還要取決于各個偏導的具體值。一階和二階條件的符號限制在計算比較靜態(tài)導數(shù)時仍然是有用的。因為它可以告訴我們Qaa、Qbb的符號以及在初始均衡最優(yōu)值處雅可比行列式J的符號。數(shù)理經(jīng)濟學　——　第八章再談多變量模型(2)z=lx+ly+lw2lw(x+y)習題：1. 求下列函數(shù)的極值，運用行列式檢驗判定它們是極大值還是極小值。2 2(1)z=x1+3x23x1x2+4x2x3+6x322. 一個兩產(chǎn)品的廠商的需求函數(shù)和成本函數(shù)如下：1 2Q1=402PP1 2Q2=35PP2C=Q1+2Q2+10（a） 求滿足利潤最大化一階條件的產(chǎn)出水平。（結(jié)果用分數(shù)表示）（b） 檢驗二階充分條件。你能斷定此題只有一個絕對極大值嗎？（c） 最大利潤為多少？3.在第二節(jié)例3均衡價格和均衡利潤的基礎(chǔ)上，計算需求的點彈性edi(i=1,2,3)哪個市場的需求彈性最高？哪個市場上的需求彈性最低？4. 設(shè)某國對兩種產(chǎn)品X和Y的消費效用函數(shù)是u=u(x,y)，其中x和y分別表示X和Y的消費量。設(shè)x0和y0分別是X和Y的國內(nèi)產(chǎn)量，現(xiàn)在定義兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)轉(zhuǎn)換函數(shù)（Productiontransformationfunction）為y0=g(x0)國家可以通過出口e單位的X來獲得Y。設(shè)每出口一單位的X，可進口p單位的Y。于是，x=x0,y=y0+pe（a）把上面的信息代入u中（b）求出使u極大化的條件dx0（c）證明：在182。u182。u182。x=dg(x0)=p182。y時達到均衡狀態(tài)。5中若下列條件成立，寫出新的利潤函數(shù)，并求極值。（ａ）利息以年利率i0按半年計算復利，且生產(chǎn)過程為一年。（ｂ）利息以年利率i0按季度計算復利，生產(chǎn)過程為９個月。6.武漢黃鶴樓的入場券采取差別價格政策，國內(nèi)游客的入場票價為2元，外國人的入場券為5元，試用經(jīng)濟理論分析：數(shù)理經(jīng)濟學　——　第八章再談多變量模型（1）為什么采用差別價格？（2）在怎樣的條件下，施行這種政策才能有效？（SC）的行政長官。SC每個時期都從出售以每秒P美分的價格無限制使用計算機的權(quán)利得到一筆固定的月租收入。SC有相同數(shù)目的兩類潛在顧客——10家廠商和10個學術(shù)機構(gòu)。各家廠商客戶有需求函數(shù)Q=10P，其中Q以每月百萬秒計；各學術(shù)機構(gòu)有需求函數(shù)Q=8P。SC的增加計算時間的邊際成本為每秒2美分，不管總量是多少。（a）假設(shè)你能將廠商和學術(shù)機構(gòu)分開，你對各組要的租費和使用費各是多少？你的利潤是多少？（b）假設(shè)你無法把兩類客戶分開，且你不要租費，使你利潤最大的使用費是多少？你的利潤又是多少？假設(shè)你定一種兩步收費，即定一種廠商客戶和學術(shù)機構(gòu)客戶共同的租費和使用費。你所定的使用費和租費各為多少？你的利潤是多少？解釋為什么價格不等于邊際成本。8.假定產(chǎn)品和生產(chǎn)要素的價格不變且利潤π0，試證明：在生產(chǎn)要素投入的區(qū)域Ι中不存在使利潤最大化的點。l k提示：p=PQ(LP+KP)（L為可變投入，K為不變投入）dpdL=PdQdLPL因為π0，PQLPL+KPKAPPL= L+ 180。 K兩邊同除以LP，得QPKPLPLP又因為在第1區(qū)或中，MPPLAPPL,(LL1) L+ 180。 K LP231。 247。PL0即dQQPKPPdLLPLPP230。dQ246。232。dL248。即dpdL0(LL1)5的問題：（a）其中有多少個參數(shù)？請列出每個參數(shù)。0（b）按照我們討論的步驟，并假設(shè)滿足二階充分條件，求比較靜態(tài)導數(shù)(182。a182。P)和(182。b0182。P)判斷其符號并解釋其經(jīng)濟意義。（C）求(182。a182。i0)和(182。a182。i0)，判斷其符號，解釋其經(jīng)濟含義。數(shù)理經(jīng)濟學　——　第八章再談多變量模型，由一節(jié)導數(shù)構(gòu)成，而某海塞行列式，其元素是二階偏導數(shù)，那么如何能夠證明J=H？參考資料：1. 蔣中一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　《數(shù)理經(jīng)濟學的基本方法》2. 楊小凱編　茅于軾審?！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　稊?shù)理經(jīng)濟學基礎(chǔ)》3. 韋澄芬　林少宮　李楚霖　　　　　《優(yōu)化數(shù)學要義——及在經(jīng)濟學和企業(yè)中的應用》4. 曼昆著　梁小民譯　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　《經(jīng)濟學原理》（上冊）5. 陳傳璋　金福臨　朱學炎　歐陽光中　　　　　　　　　　　　　《數(shù)學分析》（下冊）6. 高鴻業(yè)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　《西方經(jīng)濟學》（第二版　微觀部分）7. 于同申　　　　　　　　　　　　　《發(fā)展經(jīng)濟學——新世紀經(jīng)濟發(fā)展的理論與政策》