【正文】 理有（1）區(qū)域（2）區(qū)域球體的電場是非均勻的，但具有中心對稱性，為此取一半徑為、厚為的球殼，如圖所示。其體積為，在此體積內(nèi)可認為電場能量密度相等，所以球殼內(nèi)的電場能量為 于是，帶電導(dǎo)體球的電場的靜電能為 一球形電容器由半徑分別為和的兩個同心金屬薄球殼構(gòu)成，當(dāng)它們帶有等量異號電荷時，電勢差為，求該電容器所儲存的電場能量。解：如圖所示，設(shè)內(nèi)外兩個極板和上各帶上的電荷。因為電荷分布具有球?qū)ΨQ性，故選取取如圖所示的半徑為的同心球面為高斯面。根據(jù)高斯定理，有兩極板的電勢差為球形電容器的電容為該電容器所存儲的電場能量為 一長直導(dǎo)線載有電流，求它上面長為的一段電流在其中垂面上距離為處的場點所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。196。Prl解： 如圖所示，場點在長為的一段電流的垂面上，所以有。由畢奧薩伐爾定律可知，導(dǎo)線上任意電流元在點激發(fā)的磁場方向都是垂直紙面向里。因此，合磁場也在這個方向上，它的大小為 一條很長的載流直導(dǎo)線，在離它處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為，試問它所載有的電流有多大？解：無限長載流直導(dǎo)線在離它處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為無限長載流直導(dǎo)線所載有的電流大小為 求圖499中點的磁感應(yīng)強度的大小和方向。PaIrPIII(a) (b) (c) 圖499 ?PRRI解：（a）點的磁感應(yīng)強度為兩根半無限長直導(dǎo)線在點產(chǎn)生磁感應(yīng)強度的疊加由畢奧薩伐爾定律可知，點磁感應(yīng)強度方向垂直紙面向外。（b）點的磁感應(yīng)強度為兩根半無限長直導(dǎo)線和一根半圓形導(dǎo)線在點產(chǎn)生磁感應(yīng)強度的疊加由畢奧薩伐爾定律可知，點磁感應(yīng)強度方向垂直紙面向里。（c）點的磁感應(yīng)強度為兩根直導(dǎo)線和一根圓弧狀導(dǎo)線在點產(chǎn)生磁感應(yīng)強度的疊加由畢奧薩伐爾定律可知，點磁感應(yīng)強度方向垂直紙面向里。 一載有電流的導(dǎo)線彎折成如圖4100所示的平面環(huán)路，其中為邊長為的正方形的一部分，是半徑為的四分之三圓弧。求圓心點的磁感應(yīng)強度。解：點的磁感應(yīng)強度為直導(dǎo)線、和圓弧狀導(dǎo)線在點產(chǎn)生磁感應(yīng)強度的疊加OFABCDEI圖4100 由畢奧薩伐爾定律可知，各段導(dǎo)線在點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度方向垂直紙面向里。所以點的磁感應(yīng)強度方向垂直紙面向里，大小為圖4101 ABOθ 兩根導(dǎo)線沿半徑方向被引到鐵環(huán)上兩點，電流方向如圖4101所示。求環(huán)心處的磁感應(yīng)強度。解：由畢奧薩伐爾定律可知，兩根直導(dǎo)線在點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為零。設(shè)右側(cè)圓弧導(dǎo)線對應(yīng)圓心角為，半徑為，電流為，左側(cè)圓弧導(dǎo)線中電流為。則左側(cè)圓弧導(dǎo)線在點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為右側(cè)圓弧導(dǎo)線在點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為因為左右兩段圓弧導(dǎo)線并聯(lián)，所以其電流大小與電阻大小成反比，而電阻大小與導(dǎo)線長度成正比左右兩側(cè)圓弧導(dǎo)線在點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小相等。由畢奧薩伐爾定律可知，左右兩側(cè)圓弧導(dǎo)線在點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度方向相反，所以環(huán)心處的磁感應(yīng)強度為0。r1r2IlIr3d圖4102 如圖4102所示，相距的兩平行直導(dǎo)線載有流向相反的電流。求兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)與兩導(dǎo)線等距離的一點處的磁感應(yīng)強度；設(shè)，求通過圖中斜線所示矩形面積的磁通量。解：（1）兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)與兩導(dǎo)線等距離的一點與兩導(dǎo)線距離為，兩直導(dǎo)線各自在該點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為由畢奧薩伐爾定律可知，與方向相同，都垂直紙面向外。所以兩導(dǎo)線所在平面內(nèi)與兩導(dǎo)線等距離的一點出的磁感應(yīng)強度為（2）取如圖所示的矩形為積分元，可認為該積分元內(nèi)磁感應(yīng)強度是均勻的。設(shè)積分元距左側(cè)直導(dǎo)線距離為，則通過積分元的磁通量為通過圖中斜線所示矩形面積的磁通量為 無限長導(dǎo)體圓柱沿軸向通以電流，截面上各處電流密度均勻分布，柱半徑為。求柱內(nèi)外的磁場分布。在長為的一段圓柱內(nèi)環(huán)繞中心軸線的磁通量是多少？解：（1）由電流的軸對稱，其產(chǎn)生的磁場也必有軸對稱性。所以在導(dǎo)體橫截面內(nèi)以導(dǎo)體軸線為圓心作半徑為的圓為積分環(huán)路，根據(jù)安培環(huán)路定理有在區(qū)域在區(qū)域（2）在導(dǎo)體圓柱過中心且與軸平行的截面上取如圖所示的矩形為積分元，可認為該積分元內(nèi)磁感應(yīng)強度是均勻的。設(shè)積分元距軸線的距離為，則通過積分元的磁通量為環(huán)繞中心軸線的磁通量為ILROAB圖4103 如圖4103所示，為閉合電流的一直線段，長為，圓周平面垂直于電流，半徑為且圓心在的中點。求段電流的磁場沿圓周的環(huán)流，并對安培環(huán)路定理的適用條件進行討論。解：段電流在環(huán)上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為方向沿圓的切線方向，并與電流方向滿足右手螺旋定則。則段電流在環(huán)上產(chǎn)生的磁場沿圓周的環(huán)流為段電流在環(huán)上產(chǎn)生的磁場沿圓周的環(huán)流不等于穿過該環(huán)路所有電流的代數(shù)和，原因在于安培環(huán)路定理只適用于恒定電流是閉合的情況。 內(nèi)外半徑分別為和的無限長載流導(dǎo)體直圓管，電流沿軸線方向流動，并且均勻分布在圓管的橫截面上，求磁場分布。解：由電流的軸對稱，其產(chǎn)生的磁場也必有軸對稱性。所以在導(dǎo)體橫截面內(nèi)以導(dǎo)體軸線為圓心作半徑為的圓為積分環(huán)路，根據(jù)安培環(huán)路定理有在區(qū)域在區(qū)域在區(qū)域 某一質(zhì)量為的粒子帶有的電荷，在水平方向獲得一初始速度?，F(xiàn)利用磁場使這粒子仍沿水平方向運動，求應(yīng)加多大的磁場？解：若使粒子沿水平方向運動，則該粒子在豎直方向上所受合外力為零。即若使粒子沿水平方向運動，應(yīng)加大小為的磁場 在一磁場為的氣泡室中，一高能質(zhì)子垂直于磁場飛過時留下一半徑為的圓弧徑跡，求此質(zhì)子的動量。解：由，可得質(zhì)子的動量為 一載有電流的細導(dǎo)線回路由半徑為的半圓形和直徑構(gòu)成，求圓心處長度的導(dǎo)線所受的力。解：直徑部分在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為零，半徑為的半圓形在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為方向與半圓面垂直。由安培力公式，圓心處長度的導(dǎo)線所受的力為方向在半圓面內(nèi)且與半徑垂直。 半徑為的導(dǎo)線圓環(huán)中載有電流，置于磁感應(yīng)強度為的均勻磁場中，若磁場方向與環(huán)面垂直，求圓環(huán)所受的合力及導(dǎo)線所受的張力。解：在均勻磁場中，整個彎曲導(dǎo)線所受的磁力的矢量和等于從起點指向最終點的直載流導(dǎo)線受到的磁力，對于導(dǎo)線圓環(huán)起點和終點是同一點，從起點指向最終點的直載流導(dǎo)線長度為，所以圓環(huán)所受的合力為。在圓環(huán)上取關(guān)于圓心對稱的兩點和，由對稱性可知、兩點的張力大小相等，方向沿切線方向，設(shè)張力大小為。、兩點連線右側(cè)半圓導(dǎo)線所受磁場力大小為方向水平向右。、兩點連線右側(cè)半圓導(dǎo)線所受合力為，所以有即導(dǎo)線所受張力為。圖4104 180。 180。 180。 180。180。 180。 180。 180。 180。 180。 180。Rcab dO 如圖4104所示形狀的導(dǎo)線，通有電流，放在一個與均勻磁場垂直的平面上，求此導(dǎo)線受到的磁場力的大小及方向。解：此導(dǎo)線所受到的磁場力大小為方向在紙面內(nèi)豎直向上。 一鑄鋼圓環(huán)上均勻地密繞多匝線圈。當(dāng)線圈中通入電流時，鋼環(huán)中的磁通量為；當(dāng)電流增大至?xí)r，磁通量為，求這兩種情況下鋼環(huán)的磁導(dǎo)率之比。解：密繞環(huán)的磁場幾乎全部集中在環(huán)內(nèi)，環(huán)內(nèi)的磁場線都是同心圓，環(huán)外的磁場可以忽略。由對稱性可知，在同一條磁場線上各點的磁感應(yīng)強度的大小相等，方向沿著圓的切線方向。選取半徑為的磁場線為積分路徑，根據(jù)介質(zhì)中的安培環(huán)路定理，有由此得 因為圓環(huán)的橫截面積一般很小，所以，環(huán)內(nèi)任一點的磁場強度大小為 故 一螺繞環(huán)中心周長為，在環(huán)上均勻繞以200匝導(dǎo)線，螺繞環(huán)內(nèi)充滿相對磁導(dǎo)率為5000的磁介質(zhì)。求當(dāng)線圈中通有的電流時，介質(zhì)中的磁場強度和磁感應(yīng)強度。介質(zhì)中由傳導(dǎo)電流和磁化電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度各是多少？解：由介質(zhì)中的安培環(huán)路定理知 介質(zhì)中由傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為介質(zhì)中由磁化電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為 在螺繞環(huán)的導(dǎo)線內(nèi)通有電流，環(huán)上所繞線圈共1000匝，環(huán)的平均周長為，測得環(huán)內(nèi)磁感應(yīng)強度是，求環(huán)內(nèi)的磁場強度及磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率。解：由介質(zhì)中的安培環(huán)路定理知O a xc b圖4105 均勻磁場中有一矩形導(dǎo)體回路，其中邊長為的段可沿軸方向以勻速向右滑動，回路平面與磁場的方向垂直，如圖4105所示。設(shè)，時。求當(dāng)運動到與相距時回路中的感應(yīng)電動勢。解：設(shè)從上往下看逆時針方向為回路正方向，則時刻通過次閉合回路的磁通量為由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動勢為計算結(jié)果為負號表示的方向與規(guī)定的回路繞行方向相反，從上往下沿順時針方向。 圖4106 a bc 兩段導(dǎo)體，在處連成300的角，如圖4106所示。若導(dǎo)體在勻強磁場中以速率在垂直于磁場的平面內(nèi)沿平行于邊的方向運動，磁感應(yīng)強度，求間的電勢差是多少？哪端電勢高？解：由動生電動勢的定義可得wARO圖4107 ，表示電動勢方向與積分方向一致，由指向，即端電勢高于端。 如圖4107所示，半徑為R的金屬薄圓盤以角速度繞通過盤心O且與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸逆時針（俯視盤面觀察）轉(zhuǎn)動。勻強磁場的磁感應(yīng)強度垂直盤面向上，A為盤邊緣一點。求盤心O與A點間的電勢差？ 解：把金屬圓盤看做無數(shù)個以盤心和盤邊緣為兩端的細金屬棒的并聯(lián)，盤心與點間的電勢差等于每個細金屬棒兩端的電勢差。在棒上任取一段線元，方向由盤心指向邊緣，這一小段上產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為整個金屬棒上產(chǎn)生的電動勢為，表示電動勢的方向與積分方向一致，由指向，即端電勢高于端。所以 在如圖4105 所示的回路中，若與矩形平面的法線夾角為，并設(shè)段長。求回路中的感應(yīng)電動勢并指出感應(yīng)電流的方向。解：設(shè)從上往下看逆時針方向為回路正方向，則時刻通過次閉合回路的磁通量為由法拉第電磁感應(yīng)定律，回路中的感應(yīng)電動勢為計算結(jié)果為負號表示的方向與規(guī)定的回路繞行方向相反，從上往下沿順時針方向，則感應(yīng)電流方向沿順時針方向。 由兩個無限長同軸薄圓筒導(dǎo)體組成的電纜，流過兩圓筒的電流，流向相反，半徑分別為，試求長為的一段電纜內(nèi)的磁能和自感系數(shù)。解：設(shè)，由安培環(huán)路定理得，電纜內(nèi)的磁場強度為電纜內(nèi)的磁感應(yīng)強度為長為的一段電纜內(nèi)的磁能為由可得，長為的一段電纜內(nèi)的自感系數(shù)為 真空中一均勻磁場的能量密度與一均勻電場的能量密度相等，已知磁感應(yīng)強度為，求電場強度解：真空中均勻磁場的能量密度為真空中均勻電場的能量密度為由題意，可得電場強度 平行板電容器的兩板都是半徑為的圓形導(dǎo)體片，若兩板上的電荷面密度為，求兩板間的位移電流。解：由電荷分布的面對稱性可知電位移的分布也是面對稱性的。選取底面積為，與極板平行且一個底面在極板中的柱面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理有由位移電流的定義有 給一電容為的圓形極板電容器加上交流電壓，求兩板間的位移電流。設(shè)，兩板的電壓變化率為，求此時兩板間的位移電流。解：由電荷分布的面對稱性可知電位移的分布也是面對稱性的。選取底面積為，與極板平行且一個底面在極板中的柱面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理有由位移電流的定義有當(dāng)，兩板的電壓變化率為時，兩極板間的位移電流為 一平面電磁波電場強度的振幅為，求磁感應(yīng)強度的振幅。 解：由，有磁感應(yīng)強度的振幅 已知一激光束的強度為，則該束激光中電場強度和磁感應(yīng)強度的振幅各多大？解：由，有電場強度的振幅為磁感應(yīng)強度的振幅為