九年級數(shù)學(xué)下冊第二十八章銳角三角函數(shù)282解直角三角形及其應(yīng)用2821解直角三角形-資料下載頁
2025-06-17 20:26本頁面
【正文】 ， ∴BC ＝ BD － CD ＝ 16 － 2 3 . (2) 在 BC 邊上取一點 M ，使得 CM ＝ AC ，連接 AM ，如圖 ② 所示． ∵∠ACB ＝ 15 0 176。 ， ∴∠A M C ＝ ∠M AC ＝ 15176。 ， tan15176。 ＝ ta n ∠A M D ＝ADMD＝24 ＋ 2 3＝12 ＋ 3≈12 ＋ ≈. 素養(yǎng)提升 圖 K－ 19－ 12 閱讀理解我們知道，直角三角形的邊角關(guān)系可用三角函數(shù)來描述，那么在任意三角形中，邊角之間是否也存在某種關(guān)系呢？如圖 K－ 19－ 12，在銳角三角形 ABC中， ∠ A， ∠B ， ∠ACB 所對的邊分別為 a， b， c，過點 C作 CD⊥AB 于 點 D，在 Rt△ ADC中， CD＝ bsinA， AD＝ bcosA， ∴BD ＝ c－ bcosA. 在 Rt△BDC 中，由勾股定理，得 CD2＋ BD2＝ BC2， 即 (bsinA)2＋ (c － bcosA)2＝ a2， 整理，得 a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA. 同理可得 b2＝ a2＋ c2－ 2 ac c o s B ， c2＝ a2＋ b2－ 2abcosC. ( 注：上述三個公式對直角三角形和鈍角三角形也成立，推理過程同上 ) 利用上述結(jié)論解答下列問 題： ( 1) 在 △ABC 中， ∠A ＝ 45176。 ， b ＝ 2 2 ， c ＝ 2 ，求 a 的長和 ∠C 的度數(shù)； (2) 在 △ABC 中， a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， ∠B ＝ 45176。 ， c ＞ a ＞ b ，求 c 的長． [解析 ] (1)根據(jù)給出的公式，把已知條件代入計算，求出 a的長，根據(jù)勾股定理的逆定理證明直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到答案； (2)把數(shù)據(jù)代入相應(yīng)的公式，得到關(guān)于 c的一元二次方程，解方程即可得到答案． 解： (1) 在 △ABC 中， a2＝ b2＋ c2－ 2bccosA ＝ (2 2 )2＋ 22－ 2179。2 2 179。2179。22＝ 4 ，解得 a ＝ 2. ∵22＋ 22＝ (2 2 )2，即 a2＋ c2＝ b2， ∴△ABC 為直角三角形． 又 ∵a ＝ c ＝ 2 ， ∴∠C ＝ 45176。. (2)∵b2＝ a2＋ c2－ 2a c co s B ， a ＝ 3 ， b ＝ 2 ， cosB ＝ cos45176。 ＝22， ∴c2－ 6 c ＋ 1 ＝ 0 ， 解得 c ＝6 177。 22. ∵c ＞ a ＞ b ， ∴c ＝6 ＋ 22.
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