【正文】 陣，，，和矩陣，，使得， () ， () () ()，則如果系統(tǒng)的平均駐留時(shí)間滿足，且匹配時(shí)間段與不匹配時(shí)間段的時(shí)間總和比值大于或等于，狀態(tài)反饋控制器能夠鎮(zhèn)定原系統(tǒng)。其中，且滿足，，， ，。證明 這里只討論的情況，對(duì)于的情形，證明方法與之類似，且所得結(jié)論相同。當(dāng)時(shí)，對(duì)于第個(gè)子系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器為，因此，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表述為 ()為閉環(huán)系統(tǒng)()選取以下的Lyapunov泛函： ，并記，，，利用對(duì)矩陣進(jìn)行左乘和右乘變換，可知在滿足式()和()的條件下，有 ()其中表示匹配時(shí)間段內(nèi)第個(gè)子系統(tǒng)運(yùn)行的初始時(shí)刻。當(dāng)時(shí)，對(duì)于第個(gè)子系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器仍為，因此，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表述為 ()為閉環(huán)系統(tǒng)()選取以下的Lyapunov泛函：，可知在滿足式()和()的條件下 ()其中表示在不匹配時(shí)間段內(nèi)第個(gè)子系統(tǒng)運(yùn)行的初始時(shí)刻。注意到，的定義，匹配時(shí)間段和不匹配時(shí)間段內(nèi)的Lyapunov泛函還可以寫為， ，設(shè)是時(shí)間段內(nèi)系統(tǒng)的切換時(shí)間點(diǎn)，定義以下形式的分段Lyapunov泛函： ()由()和()可得 ()其中表示在時(shí)間段內(nèi)各個(gè)子系統(tǒng)的控制器與系統(tǒng)的不匹配切換時(shí)間的總和，表示在時(shí)間段內(nèi)各個(gè)子系統(tǒng)的控制器與系統(tǒng)的匹配切換時(shí)間的總和，可知，則有 ()再由定理?xiàng)l件，可得 ()將()和()代入()，可得因此，可得其中。，在系統(tǒng)的平均駐留時(shí)間時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，并且具有指數(shù)衰減率。定理證畢。說(shuō)明 由式()和()不難看出，在匹配時(shí)間段內(nèi)閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，而在不匹配時(shí)間段內(nèi)閉環(huán)系統(tǒng)不是指數(shù)穩(wěn)定的。盡管如此，所設(shè)計(jì)的鎮(zhèn)定控制器卻能夠保證整個(gè)切換系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。條件中匹配與不匹配時(shí)間段所滿足的比例關(guān)系實(shí)際上是要求控制器與系統(tǒng)之間的不匹配時(shí)間段相對(duì)于匹配時(shí)間段而言在一定的范圍之內(nèi)，從而保證控制器有足夠的時(shí)間克服不匹配情況所可能導(dǎo)致的系統(tǒng)狀態(tài)的發(fā)散，這樣的條件顯然是合理的。，在此并不要求所設(shè)計(jì)的控制器能夠同時(shí)保證在匹配時(shí)間段和不匹配時(shí)間段內(nèi)閉環(huán)系統(tǒng)均是指數(shù)穩(wěn)定的。由此可以看出，平均駐留時(shí)間方法具有比駐留時(shí)間方法更小的保守性。說(shuō)明 ，即矩陣不等式()和()是相互約束的，并且()是線性矩陣不等式，而()不是線性矩陣不等式。在調(diào)試參數(shù)時(shí)，，，對(duì)解的存在性起到了主要作用。由式()以及式()可知，，越大，則待求矩陣，，的可解集的范圍就越大。由式()和式()，可知如果越小，越大，則矩陣不等式可解集的范圍就越大。在具體的求解過(guò)程中，遵循這樣的參數(shù)調(diào)試原則便可獲得相應(yīng)矩陣不等式組的解。說(shuō)明 為了保證匹配時(shí)間段內(nèi)閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性。在矩陣變換的過(guò)程中，為了獲得線性矩陣不等式()，人為地將待求的一般矩陣，設(shè)定為了，這樣的處理方式雖然增加了矩陣不等式結(jié)果的保守性，但卻換來(lái)了問(wèn)題求解的方便性和有效性。 非線性時(shí)變時(shí)滯切換系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定對(duì)于含有時(shí)變不確定參數(shù)的系統(tǒng)()，以下的定理給出了其魯棒鎮(zhèn)定設(shè)計(jì)方法。定理 對(duì)于系統(tǒng)()，，，，，，是給定的正常數(shù)，如果存在對(duì)稱正定矩陣，，，和矩陣，，使得，， () () ()，則如果系統(tǒng)的平均駐留時(shí)間滿足，且匹配時(shí)間段與不匹配時(shí)間段的時(shí)間總和比值大于或等于，狀態(tài)反饋控制器能夠鎮(zhèn)定原系統(tǒng)。其中，且滿足，，，，，，。證明 對(duì)由控制器與系統(tǒng)()所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，，易得定理結(jié)論，此處省略。定理證畢。 數(shù)值例子考慮包含有兩個(gè)子系統(tǒng)的非線性時(shí)滯切換系統(tǒng)()，系統(tǒng)中的確定參數(shù)部分設(shè)置如下：子系統(tǒng)1：，，子系統(tǒng)2：，，不確定結(jié)構(gòu)矩陣為：子系統(tǒng)1：，，子系統(tǒng)2：，，非線性項(xiàng)，Lipschitz常數(shù)矩陣選為。時(shí)變時(shí)滯取為。選取參數(shù)，，，，。：。取，可得。未知時(shí)變矩陣取為，選取系統(tǒng)的切換律為的周期切換，不匹配切換時(shí)間段，，時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)仿真曲線，由仿真結(jié)果可以看出系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡最終收斂到原點(diǎn)，這表明了在系統(tǒng)具有時(shí)變延時(shí)以及控制器與系統(tǒng)之間存在切換誤差的情況下，利用本節(jié)所給出的方法能夠有效鎮(zhèn)定原系統(tǒng)。 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線 非線性離散時(shí)滯切換系統(tǒng)的異步切換魯棒鎮(zhèn)定 問(wèn)題描述和預(yù)備知識(shí)前兩節(jié)分別研究了非線性常時(shí)滯切換系統(tǒng)與時(shí)變時(shí)滯切換系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定設(shè)計(jì)。本小節(jié)沿著前兩節(jié)所討論的問(wèn)題，繼續(xù)研究非線性離散時(shí)滯切換系統(tǒng)在異步切換下的魯棒鎮(zhèn)定設(shè)計(jì)。考慮非線性離散時(shí)滯切換系統(tǒng) ()， ()其中表示第時(shí)刻的狀態(tài)向量，表示第時(shí)刻的控制輸入，是向量值初始函數(shù)，為系統(tǒng)的延時(shí)時(shí)間，為系統(tǒng)的切換信號(hào)，表示系統(tǒng)運(yùn)行的初始時(shí)刻。對(duì)于任意的，滿足 ()其中為已知的Lipschitz常數(shù)矩陣。對(duì)于任意的，，是適當(dāng)維數(shù)的不確定實(shí)值矩陣，且具有以下形式： ()其中，，，分別為適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。為未知時(shí)變矩陣，且滿足 ()定義 如果存在控制律和切換信號(hào)，使得系統(tǒng)()的狀態(tài)軌跡滿足 ()其中，，為延時(shí)時(shí)間，則稱系統(tǒng)()是指數(shù)穩(wěn)定的，并且具有指數(shù)衰減率，稱為系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定度。 定義 [72] 對(duì)于任意的切換信號(hào)和正整數(shù)，用表示在時(shí)間段上的切換次數(shù)，則離散切換系統(tǒng)的平均駐留時(shí)間定義為 ()其中表示對(duì)正數(shù)的取整。系統(tǒng)的切換律表示為，其中表示系統(tǒng)的初始切換時(shí)刻，表示系統(tǒng)的第次切換時(shí)刻。用表示控制器的切換律，則對(duì)應(yīng)的控制器的切換序列可以寫為，其中，表示子系統(tǒng)的控制器滯后于實(shí)際系統(tǒng)的切換時(shí)間；或者，表示子系統(tǒng)的控制器超前于實(shí)際系統(tǒng)的切換時(shí)間。統(tǒng)稱為控制器與系統(tǒng)的不匹配切換時(shí)間段?？紤]的情形，記為第個(gè)子系統(tǒng)與控制器匹配時(shí)間段內(nèi)的狀態(tài)區(qū)域，為第個(gè)子系統(tǒng)在由第個(gè)子系統(tǒng)切換時(shí)與控制器的不匹配時(shí)間段內(nèi)的狀態(tài)區(qū)域，其中，則有 其他相關(guān)具體問(wèn)題的描述同前兩節(jié)連續(xù)系統(tǒng)的情況相類似，可以將其平行描述到離散系統(tǒng)異步切換的問(wèn)題中，這里不再贅述。 非線性離散時(shí)滯切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定首先考慮具有確定參數(shù)的非線性離散時(shí)滯切換系統(tǒng) ()以下定理給出了系統(tǒng)()在異步切換下的鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計(jì)。定理 對(duì)于系統(tǒng)()，，，是給定的正標(biāo)量，如果存在正定矩陣，，和矩陣，使得 ()， ()， ()， () () ()，則如果系統(tǒng)的平均駐留時(shí)間滿足，且匹配時(shí)間段與不匹配時(shí)間段的時(shí)間總和比值大于或等于，狀態(tài)反饋控制器能夠鎮(zhèn)定原系統(tǒng)，其中。證明 這里只討論的情況，對(duì)于的情形，證明方法與之類似，且所得結(jié)論相同。當(dāng)時(shí)，對(duì)于第個(gè)子系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器為，因此，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表述為 ()為閉環(huán)系統(tǒng)()選取以下的Lyapunov泛函： ()沿著系統(tǒng)()的軌跡，有 對(duì)于上式，如果，并記，則由定理?xiàng)l件()可得以下關(guān)系： 記如果，則有由此可得 ()，等價(jià)于 ()使用分別左乘和右乘矩陣不等式()的左端，并記，，可得()。當(dāng)時(shí)，對(duì)于第個(gè)子系統(tǒng)，狀態(tài)反饋控制器仍為，因此，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表述為 ()為閉環(huán)系統(tǒng)()選取以下的Lyapunov泛函： ()沿著以上的證明思路，由()可得 ()注意到，的定義，匹配和不匹配時(shí)間段內(nèi)的Lyapunov泛函可寫為 ，其中，設(shè)是時(shí)間段上系統(tǒng)的切換時(shí)間點(diǎn)，定義以下形式的分段Lyapunov泛函： ()其中，由()和()可得 () ()結(jié)合()和()，可得 ()其中表示在時(shí)間段內(nèi)子系統(tǒng)控制器與系統(tǒng)的不匹配切換時(shí)間的總和，表示在時(shí)間段內(nèi)子系統(tǒng)控制器與系統(tǒng)的匹配時(shí)間的總和，可知，則有 ()再由定理?xiàng)l件，可得 ()將()和()代入()，可得由此可得其中，在系統(tǒng)的平均駐留時(shí)間滿足時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，并且具有指數(shù)衰減率。定理證畢。 說(shuō)明 當(dāng)時(shí)，由定理的證明過(guò)程可知，()和()可以略去，此時(shí)只需解不等式()，()，()和()。說(shuō)明 矩陣不等式組的求解過(guò)程同前兩節(jié)中介紹的方法。式()表明，參數(shù)越大，則在匹配時(shí)間段內(nèi)閉環(huán)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定度就越大，說(shuō)明控制器對(duì)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定作用越強(qiáng)；同時(shí)由式()可知，參數(shù)越大，在不匹配時(shí)間段內(nèi)閉環(huán)系統(tǒng)可容許的能量范圍就越大，所以系統(tǒng)所能容納的控制器的解集范圍更廣，這點(diǎn)可由定理?xiàng)l件()和()獲知。另一方面，也反映了整個(gè)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定度，從定理?xiàng)l件可以看出，越大，系統(tǒng)的平均駐留時(shí)間就越小，說(shuō)明系統(tǒng)的切換頻率越高，正是通過(guò)這樣的高頻率切換，系統(tǒng)才具有較強(qiáng)的穩(wěn)定度。但高頻率的切換又對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)部件提出了更高的要求，在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)視具體情況決定的大小。 非線性離散時(shí)滯切換系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定對(duì)于含有時(shí)變不確定參數(shù)的系統(tǒng)()，以下的定理給出了其魯棒鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計(jì)方法。定理 對(duì)于系統(tǒng)()，，，，是給定的正標(biāo)量，如果存在正定矩陣，，和矩陣，使得以下的矩陣不等式組成立： ()， ()， ()， () () ()，則如果系統(tǒng)的平均駐留時(shí)間滿足，且匹配時(shí)間段與不匹配時(shí)間段的時(shí)間總和比值大于或等于，狀態(tài)反饋控制器能夠鎮(zhèn)定原系統(tǒng)。其中，，，，。證明 對(duì)由控制器與系統(tǒng)()所構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)，，易得定理結(jié)論，此處省略。定理證畢。 數(shù)值例子考慮含有兩個(gè)子系統(tǒng)的離散時(shí)滯非線性切換系統(tǒng)()，參數(shù)設(shè)置如下：子系統(tǒng)1：，，子系統(tǒng)2：，，不確定結(jié)構(gòu)矩陣為：子系統(tǒng)1：，，子系統(tǒng)2：，，非線性項(xiàng)選取為。Lipschitz常數(shù)矩陣選取為。本例中取參數(shù)，，時(shí)延取為，：，選擇，則有。選取系統(tǒng)的切換律為的周期切換，不匹配切換時(shí)間段為，未知時(shí)變矩陣選取為，，時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的仿真曲線，可以看出系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡最終收斂到原點(diǎn)，從而表明了所設(shè)計(jì)的鎮(zhèn)定方法能夠保證離散時(shí)滯非線性切換系統(tǒng)在異步切換模式下的穩(wěn)定性。 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線 本章小結(jié)本章主要針對(duì)異步切換下的一類非線性時(shí)滯切換系統(tǒng)的魯棒控制問(wèn)題進(jìn)行了研究。首先，對(duì)于具有常數(shù)時(shí)延的非線性切換系統(tǒng)，采用了駐留時(shí)間方法，結(jié)合時(shí)滯微分不等式，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定控制器，并給出了系統(tǒng)所要滿足的駐留時(shí)間的下界值。進(jìn)一步，采用平均駐留時(shí)間方法討論了一類非線性時(shí)變時(shí)滯切換系統(tǒng)的異步切換魯棒鎮(zhèn)定設(shè)計(jì)，給出了控制器的設(shè)計(jì)方法，并導(dǎo)出了控制器和系統(tǒng)之間的匹配切換時(shí)間段和不匹配切換時(shí)間段應(yīng)滿足的比值關(guān)系和系統(tǒng)所要滿足的平均駐留時(shí)間的下界值。最后，利用平均駐留時(shí)間方法，繼續(xù)討論了一類非線性離散時(shí)滯切換系統(tǒng)的魯棒控制問(wèn)題。仿真結(jié)果說(shuō)明了設(shè)計(jì)方法的有效性。4 非線性時(shí)滯切換系統(tǒng)的非脆弱觀測(cè)器設(shè)計(jì)當(dāng)利用狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制時(shí)，需要用到傳感器測(cè)量狀態(tài)變量以便實(shí)現(xiàn)反饋。但在許多情況下，通常只有被控對(duì)象的輸入量和輸出量能夠用傳感器測(cè)量，而多數(shù)狀態(tài)變量不易測(cè)得或不可能測(cè)得，于是提出了利用被控對(duì)象的輸入量和輸出量建立系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器(又稱為狀態(tài)估計(jì)器、狀態(tài)重構(gòu)器)。對(duì)于線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[84, 85, 86]運(yùn)用傳遞函數(shù)方法，幾何方法，代數(shù)方法以及奇異值分解方法設(shè)計(jì)了相應(yīng)的漸近狀態(tài)觀測(cè)器。由于大量實(shí)際系統(tǒng)均含有不同程度的時(shí)間滯后，所以時(shí)滯系統(tǒng)的觀測(cè)器設(shè)計(jì)受到控制界的廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[87]基于無(wú)窮維狀態(tài)變量法研究了一類時(shí)滯系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)。對(duì)于狀態(tài)量和控制量同時(shí)含有延時(shí)的多時(shí)滯線性離散系統(tǒng)，文獻(xiàn)[88]提出了無(wú)記憶降維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法。近年來(lái)，針對(duì)切換系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)也有相關(guān)的報(bào)導(dǎo)。文獻(xiàn)[89]利用線性矩陣不等式方法分別研究了一類連續(xù)線性切換系統(tǒng)和離散線性切換系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[90, 91]利用公共二次Lyapunov函數(shù)方法分別研究了一類線性連續(xù)切換系統(tǒng)和線性離散切換系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的收斂性問(wèn)題，設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器使得