高等代數(shù)最重要的基本概念匯總-資料下載頁
2025-06-17 14:58本頁面
【正文】 a)=(ab)A。這里A，B，和C表示任意矩陣，而a和b表示F中的任意數(shù)。利用負(fù)矩陣我們定義矩陣的減法： AB=A+（B），于是有 。定義3 數(shù)域F上的矩陣與矩陣的乘積AB指的是這樣的一個(gè)矩陣，這個(gè)矩陣的第行和第列的元素等于A的第行的元素與B的第列的對(duì)應(yīng)元素的乘積的和：這個(gè)乘法可以圖示如下： = 矩陣乘法滿足結(jié)合律： （AB）C=A（BC）定義 我們把主對(duì)角線（從左上腳到右下腳的對(duì)角線）上元素都是1，而其他元素都是0的n階方陣 叫作n階單位矩陣，記作，有時(shí)簡(jiǎn)記作。有以下性質(zhì)： 矩陣的乘法和加法滿足分配律： 。矩陣的乘法和數(shù)與矩陣的乘法顯然滿足以下運(yùn)算規(guī)律： 。定義4 設(shè)矩陣 把A的行變?yōu)榱兴玫降木仃? 叫作矩陣A的轉(zhuǎn)置。矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下規(guī)律： 可逆矩陣 矩陣乘積的行列式定義 令A(yù)是數(shù)域F上的一個(gè)n階矩陣，若是存在F上的一個(gè)n階矩陣B，使得，那么叫作一個(gè)可逆矩陣（或非奇異矩陣），而B叫作A的逆矩陣。定義 我們把以下三種矩陣叫作初等矩陣：初等矩陣都是可逆的，并且它們的逆矩仍然是初等矩陣。 設(shè)對(duì)矩陣A施行一個(gè)初等變換后，得到矩陣，那么A可逆的充要條件是可逆。 一個(gè)矩陣A總可以通過初等變換化為以下形式的一個(gè)矩陣：這里是r的單位矩陣，表示的零矩陣，r等于A的秩。當(dāng)?shù)扔趩挝痪仃嘔時(shí)，可逆。因?yàn)镮本身就是I的逆矩陣。當(dāng)不等于I時(shí)，至少有一個(gè)元素全是零的行，因而用任意一個(gè)n階矩陣B右乘時(shí)，所得的乘積中也至少有一個(gè)元素全是零的行，所以不可逆。 n階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)它可以寫成初等矩陣的乘積。 n階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)A的秩等于n。定義 我們把n階矩陣 的唯一的n階子式 叫作矩陣A的行列式，記作。 n階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式。求逆矩陣的方法：1） 通過行初等變換把可逆矩陣A化為單位矩陣I時(shí)，對(duì)單位矩陣I施行同樣的初等變換，就得到A的逆矩陣。2） 從行的性質(zhì)的來的。設(shè)階矩陣 。定義 我們把 矩陣叫作矩陣A的伴隨矩陣。 一個(gè)n階矩陣A總可以通過第三種行和列的初等變換化為一個(gè)對(duì)角矩陣 并且。 設(shè)A，B是任意兩個(gè)n階矩陣。那么。 兩個(gè)矩陣乘積的秩不大于每一因式的秩。特別，當(dāng)有有一個(gè)因子是可逆矩陣說，乘積的秩等于另一個(gè)因子的秩。 矩陣的分塊定義 設(shè)A是一個(gè)矩陣 我們可以如下地把它分成四塊： 用這種方法被分成若干小的矩陣叫作一個(gè)分塊矩陣。根據(jù)矩陣的加法，和數(shù)與矩陣的乘法的定義，如果A，B是兩個(gè)矩陣，并且對(duì)A,B都用同樣的方法來分塊： ，而是一個(gè)數(shù)，那么， ，兩個(gè)同類型的矩陣A，B，如果按同一種分法進(jìn)行分塊，那么A與B相加時(shí)只需把對(duì)應(yīng)位置的小塊相加。定義 分塊乘法就是在計(jì)算AB時(shí)，把各個(gè)小塊看成矩陣的元素，然后按照通常矩陣的乘法把它們相乘。用式子表示如下： 注意：上面A的列的分法和B的行的分法是一致的，所以，有意義，都是矩陣，因而，是一個(gè)矩陣，同樣也是矩陣，這樣結(jié)果是一個(gè)矩陣。一般的說，設(shè)A是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣。把A和B如下分塊，使A的列的分法和B的行的分法一致：這里矩陣右面的數(shù)和分別表示它們的左邊的小塊矩陣的行數(shù)，而矩陣上面的數(shù)和分別表示它們下邊的小塊矩陣的列數(shù)，因而那么就有 這里24
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