數(shù)學(xué)建模集訓(xùn)講義15節(jié)-資料下載頁
2025-06-10 01:10本頁面
【正文】 力為．因為衛(wèi)星所受的地球引力就是它作勻速圓周運動的向心力，故有．由此便推得衛(wèi)星距地面為（ｒ－Ｒ）km，必須的最低速度的數(shù)學(xué)模型為. （3）取6400 km，600 km，代入（3）式，得 km/s,即要把衛(wèi)星送入離地面600km高的軌道， km/s．模型假設(shè) （1）火箭在噴氣推動下作直線運動，火箭所受的重力和空氣阻力忽略不計；（2）在時刻火箭質(zhì)量為，速度為，且均為時間的連續(xù)可微函數(shù)；（3）從火箭末端噴出氣體的速度（相對火箭本身）為常數(shù)．建模與分析 火箭在運動過程中不斷噴出氣體，使質(zhì)量不斷減少，在內(nèi)的減少量為．因為噴出的氣體相對于地球的速度為，由動量守恒定律，有．于是得火箭推進(jìn)力的數(shù)學(xué)模型為． （4）令時，，求解上式，得火箭升空速度的數(shù)學(xué)模型為． （5）（4）式表明火箭所受推力等于燃料消耗速度與噴氣速度（相對火箭）的乘積．（5）式表明，在，一定的條件下，升空速度由噴氣速度（相對火箭）及質(zhì)量比決定．這為提高火箭速度找到了正確途徑：從燃料上設(shè)法提高值；從結(jié)構(gòu)上設(shè)法減少．火箭系統(tǒng)的質(zhì)量可分為三部分:(有效負(fù)載，如衛(wèi)星)，(燃料質(zhì)量)，(結(jié)構(gòu)質(zhì)量，如外殼、燃料容器及推進(jìn)器)．下面的結(jié)果表明：一級火箭末速度上限主要是受目前技術(shù)條件的限制．模型假設(shè) （1）目前技術(shù)條件為：相對火箭的噴氣速度=3km/s及．（2）初速度忽略不計，即．建模與求解 因為升空火箭的最終（燃料耗盡）質(zhì)量為，由（5）式及假設(shè)（2）得到末速度為． （6）令，代入上式，得， （7）于是，當(dāng)衛(wèi)星脫離火箭，即，便得火箭末速度上限的數(shù)學(xué)模型為． （8）由假設(shè)（1），取= 3km/s，便得火箭末速度上限 km/s．因此，用一級火箭發(fā)射衛(wèi)星，在目前技術(shù)條件下無法達(dá)到在相應(yīng)高度所需的速度．從前面對問題的假設(shè)和分析可以看出：火箭推進(jìn)力自始至終在加速著整個火箭，然而隨著燃料的不斷消耗，所出現(xiàn)的無用結(jié)構(gòu)質(zhì)量也在隨之不斷加速，作了無用功，故效益低，浪費大． 所謂理想火箭，就是能夠隨著燃料的不斷燃燒不斷拋棄火箭的無用結(jié)構(gòu)．下面建立它的數(shù)學(xué)模型．模型假設(shè) 在時段丟棄的結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燒掉質(zhì)量以與的比例同時進(jìn)行．建模與分析 由動量守恒定律，有. 由，及上式，便得理想火箭升空速度的數(shù)學(xué)模型為． （9） 由上式知，當(dāng)燃料耗盡，結(jié)構(gòu)質(zhì)量拋棄完時，便只剩下衛(wèi)星質(zhì)量，從而最終速度的數(shù)學(xué)模型為． （10）（10）式表明：當(dāng)足夠大時，便可使衛(wèi)星達(dá)到我們所希望它具有的任意速度．例如，考慮到空氣阻力和重力等因素，估計要使= ,如果取= 3km/s，則可推出，即發(fā)射1噸重的衛(wèi)星大約需50噸重的理想火箭．理想火箭是設(shè)想把無用的結(jié)構(gòu)質(zhì)量連續(xù)拋棄以達(dá)到最佳的上升速度，雖然這在目前的技術(shù)條件下辦不到，但它確為發(fā)展火箭技術(shù)指明了奮斗目標(biāo)．目前已商業(yè)化的多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)便是朝著這種目標(biāo)邁出的第一步．多級火箭是從末級開始，逐級燃燒，當(dāng)?shù)诩壢紵M時，第級火箭立即自動點火，并拋棄已經(jīng)無用的第級（這里用表示第級火箭質(zhì)量，表示有效負(fù)載）．模型假設(shè) （1）設(shè)各級火箭具有相同的，表示第級的結(jié)構(gòu)質(zhì)量，表示第級的燃料質(zhì)量．（2）噴氣相對火箭的速度相同，燃燒級的初始質(zhì)量與其負(fù)載之比保持不變，記該比值為K． 先考慮二級火箭．由（5）式，當(dāng)?shù)谝患壔鸺紵陼r，其速度為，當(dāng)?shù)诙壔鸺紵陼r，其速度為，將代入上式，得． （11）據(jù)假設(shè)（2），，代入（11）式，仍取= 3km/s，近似取，可得． （12）欲使=，由（12）式，從而．同理，可推算得三級火箭的末速度為 及 ?。? ，應(yīng)該，從而．與二級火箭相比，在達(dá)到相同效果的情況下，三級火箭的質(zhì)量幾乎節(jié)省了一半．現(xiàn)記n級火箭的總質(zhì)量(包括有效負(fù)載)為,在相同假設(shè)下(=3km/s，=，)，可以算出相應(yīng)的值,現(xiàn)將計算結(jié)果列于下表中: n（級數(shù)） 1 2 3 4 5 … （理想） 149 77 65 60 … 50實際上，由于受技術(shù)條件的限制，采用四或四級以上的火箭，經(jīng)濟(jì)效益是不合算的，因此采用三級火箭是最好的方案．26
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