【正文】 ，從第一架飛機(jī)起飛之后，經(jīng)過(guò)多少分鐘，機(jī)場(chǎng)上第一次沒(méi)有飛機(jī)停留？ A 104 B 108 C 112 D 116 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 這個(gè)題目類(lèi)似于“青蛙跳井”問(wèn)題，我們不能直接求最終結(jié)果，否則我們會(huì)忽略在臨界點(diǎn)狀態(tài)的一些變化。 碰到這種問(wèn)題 首先就是求臨界點(diǎn)是在什么時(shí)候發(fā)生，發(fā)生時(shí)的狀況怎么樣。這樣才好判斷。 例如“青蛙跳井”問(wèn)題， 10米深的井，青蛙每次跳5米 就會(huì)下滑4米。 問(wèn)幾次能夠跳上來(lái)。這個(gè)題目的臨界點(diǎn)就是當(dāng)青蛙最后一次跳5米的時(shí)候剛好到井口！也就是說(shuō)我們只需研究到青蛙跳到10－5＝5米的地方，這里都是常規(guī)計(jì)算 （10－5）/(54)=5次。最后一次的時(shí)候 我們就無(wú)需考慮下滑了 因?yàn)橐呀?jīng)到頂了。 同樣這個(gè)題目很多人做出116分鐘，其原因就是犯了這個(gè)錯(cuò)誤。 我們必須先求臨界點(diǎn)。 所謂的臨界點(diǎn)就是 當(dāng)機(jī)場(chǎng)剩下1架飛機(jī)的時(shí)候 假設(shè)是N分鐘剩下一架飛機(jī)！ N/4 +1= (N2)/6 + 1 +（101） 為什么兩邊都＋1 那是因?yàn)檫@是植樹(shù)問(wèn)題。 從0分鐘開(kāi)始計(jì)算的 所以要多加1次 解得N＝104分鐘 所以我們知道104分鐘的時(shí)候是臨界點(diǎn) 飛機(jī)場(chǎng)只有1架飛機(jī)沒(méi)有起飛。 當(dāng)108分鐘的時(shí)候，飛機(jī)起飛了。 而下一架飛機(jī)到機(jī)場(chǎng)則是在110分鐘的時(shí)候， 所以從108～110這段時(shí)間是機(jī)場(chǎng)首次出現(xiàn)沒(méi)有飛機(jī)的現(xiàn)象！ 答案應(yīng)該選B9. 【經(jīng)驗(yàn)總結(jié)】關(guān)于比例法中變量守恒與變化的思路分析這個(gè)帖子主要是討論在一些存在三個(gè)變量公式中，由于某個(gè)變量守恒，另外兩個(gè)變量之間的關(guān)系引出的 通過(guò)變量發(fā)生改變的部分縮小范圍和數(shù)值來(lái)求解的方法 ，簡(jiǎn)稱(chēng)比例法 比例法我粗略分為2類(lèi) （一） 變量變化之比例 這部分大家可以參考上面鏈接的習(xí)題 常識(shí)去掌握這部分的題目 （二） 變量守恒之比例 這部分是通過(guò) 我們求解的試題中 某個(gè)變量恒定的把握。通過(guò)這個(gè)恒量在整個(gè)比例中所得的比例點(diǎn)的不同參照物下的變化 來(lái)反向了解整體變化 或者是與之相關(guān)聯(lián)的變量變化的情況。 下面我們通過(guò)試題來(lái)了解這樣的類(lèi)型 【2008年安徽真題】 一個(gè)袋子里放著各種顏色的小球，其中紅球占四分之一，后來(lái)又往袋子里放了10個(gè)紅球，這時(shí)紅球占總數(shù)的三分之二，問(wèn)原來(lái)袋子里有多少小球？ A8 B12 C16 D20 ――――――――――――――――――――――― 這個(gè)題目中我們可以直接看出不變的部分 是除紅色小球以外的部分 我們稱(chēng)之為 非紅色部分 小球個(gè)數(shù)＝紅色＋非紅色 剛開(kāi)始 非紅色：整體＝3：4 添加10個(gè)紅球之后是 非紅色：整體＝1：3 這兩個(gè)比例的參照對(duì)象是不同的 他們相差10個(gè)球 我們可以將表示同一恒量的比例值統(tǒng)一起來(lái)看 3：4 1：3＝3：9 我們發(fā)現(xiàn) 整體的比例值發(fā)生了變化 變化了多少 9－4＝5個(gè)比例點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的就是10個(gè)小球 所以每個(gè)比例點(diǎn)是2個(gè)小球 則答案應(yīng)該是 24＝8個(gè)小球 【習(xí)題二】某校六年級(jí)有甲,乙兩個(gè)班,甲班學(xué)生人數(shù)是乙班的5/7,如果從乙班調(diào)3人到甲班,甲班人數(shù)是乙班的4/5,則乙班原有學(xué)生多少人? A. 49 ―――――――――――――――――――――――――― 這個(gè)題目的恒量是甲乙兩個(gè)班級(jí)的總?cè)藬?shù)，我們發(fā)現(xiàn)題目所有的變動(dòng) 只是內(nèi)部活動(dòng) 沒(méi)有外界的加入和整體的流失。 所以總?cè)藬?shù)就是一個(gè)恒定量 開(kāi)始的時(shí)候 乙班人數(shù)：總?cè)藬?shù)＝7：12 從乙班調(diào)3人進(jìn)入甲班 則比例發(fā)生變化為 乙班人數(shù)：總?cè)藬?shù)＝5：9 總?cè)藬?shù)分別是12和9個(gè)比例點(diǎn) 是不統(tǒng)一的 即每個(gè)比例單位值不相同了 所以我們首先進(jìn)行的就是統(tǒng)一比例值 12和9的最小公倍數(shù)是 36 那么調(diào)動(dòng)前后的比例就可以表示為 21：36 和 20：36 我們發(fā)現(xiàn)甲班的人數(shù)多了一個(gè)比例點(diǎn) 那么這1個(gè)比例點(diǎn)就是對(duì)應(yīng)的調(diào)入的3人 總?cè)藬?shù)是36個(gè)比例點(diǎn) 則總?cè)藬?shù)336＝108人 而乙班人數(shù)則是321＝63人 【習(xí)題三】有銀銅合金10公斤，加入銅后，其中含銀2份，含銅3份。如加入的銅增加1倍，那么銀占3份，銅占7份，試問(wèn)初次加入的銅是多少公斤？ A 3 B 4 C 5 D 6 ――――――――――――――――――― 此題的恒量我們可以看得出來(lái)是銀， 最初的一次 銀：銅＝2：3 再次加入銅后，銀：銅＝3：7 我們根據(jù)銀是固定的 統(tǒng)一一下比例 2：3＝6：9 3：7＝6：14 我們發(fā)現(xiàn)銅增加了14－9＝5個(gè)比例點(diǎn) 那么增加的部分 很容易就可以從選項(xiàng)里面看到5這個(gè)答案了 如果要具體求值 再繼續(xù)思考 我么知道 2次增加的銅是一樣多。 那么回歸到10公斤的時(shí)候 銅應(yīng)該是9－5＝4個(gè)比例點(diǎn) 4＋6＝10 每個(gè)比例點(diǎn)就是1公斤 自然我們就知道準(zhǔn)確的值就是5公斤了 總結(jié)： 很多問(wèn)題其實(shí)其實(shí)就是學(xué)會(huì)尋找一個(gè)折中 或者學(xué)會(huì)抓住一個(gè)特質(zhì) 比例法就是讓我學(xué)會(huì)在都在變化的變量中找準(zhǔn)變化比例規(guī)律。進(jìn)而找出變化的環(huán)境和范圍。 或者 找出守恒的變量 通過(guò)它找到對(duì)等的關(guān)系10. 【討論】“五個(gè)人的體重之和是423斤,他們的體重都是整數(shù)”一題15五個(gè)人的體重之和是423斤,他們的體重都是整數(shù),最重可能是( )斤 有人說(shuō)這個(gè)題目少條件，其實(shí)不少條件， 為什么這么說(shuō)呢， 這是需要來(lái)根據(jù)題目的提問(wèn)分析的 我們能夠知道的就是5個(gè)人的總重量是固定的 還有就是他們的體重都是整數(shù)，且各不相同，注意看提問(wèn)“體重最輕的人 最重是多少？” 首先你這樣想 因?yàn)轶w重各不相同，肯定有人最輕，但是我們要想辦法讓他輕也要盡可能的重些。 舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子， 就說(shuō)2個(gè)人把 體重是150， 那么你說(shuō)是不是只有當(dāng)2個(gè)人的體重?zé)o限接近的時(shí)候，最輕的人的體重才是可能性中最重的。最重的人的體重也就被拖低了， 同樣這個(gè)道理。5個(gè)人也是。當(dāng)他們5個(gè)體重?zé)o限接近的時(shí)候 重的人的優(yōu)勢(shì)不明顯了 因?yàn)檫@些優(yōu)勢(shì)都在輕的人身上，但是卻沒(méi)有超出。無(wú)限接近且保證是整數(shù)，那么自然就是連續(xù)自然數(shù)這樣的情況了 所以我們直接考慮連續(xù)自然數(shù) 423/5=84 余數(shù)是3 中間重量是84斤 那么這個(gè)連續(xù)自然數(shù)就是 82，83，84，85，86 這時(shí)候有人問(wèn) 那多余的3斤怎么辦 很簡(jiǎn)單 我們把這3斤分配給最重的3人其中的一個(gè)或者2個(gè)人都可以。因?yàn)檫@對(duì)輕者的體重?zé)o影響。如果分配給輕者，那么就會(huì)出現(xiàn)體重輕的人加上1～3斤的時(shí)候 和后面的某一個(gè)人的體重重復(fù)， 所以我們只要看連續(xù)自然數(shù)最小的一個(gè)自然數(shù)即可 同樣我們來(lái)看一個(gè)姊妹題 例題：現(xiàn)有鮮花21朵分給5人，若每個(gè)人分得的鮮花數(shù)目各不相同，則分得鮮花最多的人至少分得（）朵鮮花。 C、9 這個(gè)題目提問(wèn)的是 最多的人至少分得多少 道理是一樣的。 只有連續(xù)自然數(shù)才能讓 少的人盡可能多，多的人盡可能少 所以21/5=4 余數(shù)是1 注意這里余數(shù)是必須要考慮的 我們知道中間數(shù)是4， 這個(gè)連續(xù)自然數(shù)是 2，3，4，5，6 最大的是6 剩下的1 只能分給最大的 否則分給其他的 都會(huì)出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字。 答案就是6＋1＝7 不管余數(shù)是多少 答案就是最大數(shù)＋1 為什么這么說(shuō)， 我們來(lái)看 假如鮮花數(shù)量是24 也是分給5個(gè)人 24/5=4 余數(shù)是4 連續(xù)自然數(shù)序列是 2，3，4，5，6 余數(shù)就分給最多的4個(gè)人 變成 2，4，5，6，7 所以這里余數(shù)是多少不重要 直接用最大數(shù)＋1 即可11. 【經(jīng)驗(yàn)分享】淺談mn/(m+n)公式的由來(lái)（鹽水交換問(wèn)題）有甲乙兩杯含鹽率不同的鹽水，甲杯鹽水重１２０克，乙杯鹽水重８０克．現(xiàn)在從兩杯倒出等量的鹽水，分別交換倒入兩杯中．這樣兩杯新鹽水的含鹽率相同．從每杯中倒出的鹽水是多少克？ 公式： mn/(m+n)=120*80/(120＋80)＝48 公式的由來(lái)是通過(guò)2個(gè)十字交叉法得到的 你假設(shè)交換的部分是a克鹽水 假設(shè)120克的鹽水 濃度是P1， 80克的鹽水濃度是P2， 交換混合后相同的濃度是P 那么對(duì)于120克的鹽水來(lái)講 建立十字交叉法 120－a（P1） P－P2 P a（P2） P1－P 我們得到 （120－a）：a＝（P－P2）：（P1－P） 那么對(duì)于80克的鹽水來(lái)講 建立十字交叉法 80－a（P2） P1－P P a（P1） P－P2 我們得到 （80－a）：a＝（P1－P）：（P－P2） 根據(jù)這2個(gè)比例的右邊部分我們可以得到 （120－a）：a＝a：（80－a） 化簡(jiǎn)得到 a＝12080/(120+80) 說(shuō)明跟各自的濃度無(wú)關(guān)！ －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－補(bǔ)充方法：因?yàn)?種溶液的混合濃度相等。其實(shí)可以看作是先將2種溶液直接混合，在按照比例分開(kāi)成2部分。所以我們假設(shè)交換了a克a克相對(duì)于120克的溶液剩下部分的比例也就是滿足濃度之間的差值比例 跟原始的參照質(zhì)量也是同一比例。即 (120－a)/a=120/80 a=48克 或者 （80－a）/a=80/120 a=48克 12. 【周末練習(xí)】4道經(jīng)典習(xí)題（已公布解析DONE）習(xí)題一：.1到500這500個(gè)數(shù)字 最多可取出多少個(gè)數(shù)字 保證其取出的任意三個(gè)數(shù)字之和不是7的倍數(shù)?！咎熳忠惶?hào)解析】每7個(gè)數(shù)字1組，余數(shù)都是1，2，3，4，5，6，0，要使得三個(gè)數(shù)字之和不是7的倍數(shù)，那么其余數(shù)之和就不是7的倍數(shù)。我們應(yīng)該挑選 0，1，2，或者0，5，6 因?yàn)?/3=2 也就是說(shuō)最大的數(shù)字不能超過(guò)2 ，例如 如果是1，2，3 那么 我們可以取3，3，1 這樣的余數(shù)，其和就是7 500/7=71 余數(shù)是3， 且剩下的3個(gè)數(shù)字余數(shù)是1，2，3要得去得最多，那么我們?nèi)?，1，2比較合適 因?yàn)樽詈笫Ｏ碌氖?，2，3 所以這樣就多取了2個(gè)但是還需注意 0 不能取超過(guò)2個(gè) 如果超過(guò)2個(gè) 是3個(gè)以上的話 3個(gè)0就可以構(gòu)成7的倍數(shù) 0也能被7整除所以答案是71個(gè)1，2 和剩下的一組1，2 外加2個(gè)0 712＋2＋2＝146習(xí)題二： 將50個(gè)蘋(píng)果分成相同的3堆，每堆至少1個(gè)，有多少種分法？－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－【天字一號(hào)解析】這個(gè)題目 我們可以先將其看作插孔法來(lái)研究那么就是 C49取2＝1176 事實(shí)上插孔法是針對(duì)的不同組不同分類(lèi)的情況來(lái)做的，這里是相同的堆。所以計(jì)算重復(fù)了我們按照三個(gè)堆各不相同為標(biāo)準(zhǔn) 恢復(fù)到這個(gè)狀態(tài)來(lái)做。 我們少算了多少個(gè)1，1，48 2，2，46， 3，3，44 4，4，42 .。50/2=25所以直到 24，24，2這樣的情況少算了 P33P33/P22=3次 所以一共少算了 243＝72按照標(biāo)準(zhǔn)情況來(lái)看應(yīng)該是 1176＋72＝1248種所以我們每組都需要扣除6種情況變?yōu)?種 因?yàn)椴粎^(qū)分組所以答案是 1248/P33=208種習(xí)題三：1～1998，有多少個(gè)數(shù)字其各個(gè)位置上的數(shù)字之和能被4整除？－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－【天字一號(hào)解析】差不多每個(gè)4個(gè)數(shù)字都可以滿足題目的條件我距離每40個(gè)數(shù)字1組就是一個(gè)周期例如：12不行 13可以， 20不行22可以， 32不行 35可以。 40～50之間都滿足。 這就是一個(gè)周期所以我們看最后一個(gè)倍數(shù)是多少1996 這是最后一個(gè)4的倍數(shù) 1＋9＋9＋6＝25 不行 還差3個(gè) 應(yīng)該是1999補(bǔ)上它所以答案是 1996/4=499 但是 1999不含在其中 所以答案是 499－1＝498習(xí)題四：有一批長(zhǎng)度分別為10和11厘米的細(xì)木條，它們的數(shù)量都足夠多，從中適當(dāng)選取3根本條作為三條邊，可圍成一個(gè)三角形。如果規(guī)定底邊是11厘米長(zhǎng)，你能?chē)啥嗌賯€(gè)不同的三角形？－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－【天字一號(hào)解析】看看這個(gè)題目 你就覺(jué)得簡(jiǎn)單了三邊長(zhǎng)均為整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為11的三角形的個(gè)數(shù)為（ C ）(A)25個(gè) (B)26個(gè) (C)36個(gè) (D)37個(gè) 【解析】 根據(jù)三角形邊的原理 兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小