高等數(shù)學(xué)公式及相關(guān)試題集錦-資料下載頁(yè)
2025-06-08 00:27本頁(yè)面
【正文】 ___ ２√ｙ π asinθ １ π ７．解：原積分＝∫ ｓｉｎθｄθ ∫ ｒｄｒ＝ ──ａ2 ∫ ｓｉｎ3θｄθ （３分） 0 0 ２ 0 π/2 ２ ＝ａ2 ∫ ｓｉｎ3θdθ ＝ ── ａ2 （２分） 0 ３ ｄｙ ｄｘ ８．解：兩邊同除以（ｙ＋１）2 得 ──────＝────── （２分） （１＋ｙ）2 （１＋ｘ）2 ｄｙ ｄｘ 兩邊積分得 ∫──────＝∫────── （１分） （１＋ｙ）2 （１＋ｘ）2 １ １ 亦即所求通解為 ──── － ──── ＝ｃ （２分） １＋ｘ １＋ｙ １ １ ９．解：分解，得ｆ（ｘ）＝──── ＋ ──── （１分） １－ｘ ２＋ｘ １ １ １ ＝──── ＋ ── ───── （１分） １－ｘ ２ ｘ １＋── ２ ∞ １ ∞ ｘn ｘ ＝∑ ｘn ＋ ── ∑ （－１）n── （ │ｘ│〈１且│──│〈１ ） （２分） n=0 ２ n=0 ２n ２ ∞ １ ＝∑ ［１＋（－１）n ───］ｘn （ │ｘ│〈１） （２分） n=0 ２n+1四、應(yīng)用和證明題（共１５分）１．解：設(shè)速度為ｕ，則ｕ滿足ｍ＝──＝ｍｇ－ｋｕ （３分） ｄｔ １ 解方程得ｕ＝──（ｍｇ－ｃｅkt/m） （３分） ｋ ｍｇ 由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得ｕ＝──（１－ｅkt/m） （２分） ｋ __ １ ２．證：令ｆ（ｘ）＝２√ｘ ＋ ── － ３ 則ｆ（ｘ）在區(qū)間［１，＋∞］連續(xù) （２分） ｘ １ １ 而且當(dāng)ｘ〉１時(shí)，ｆ39。（ｘ）＝ ── － ── 〉０ （２分） __ ｘ2 √ｘ 因此ｆ（ｘ）在［１，＋∞］單調(diào)增加 （１分） 從而當(dāng)ｘ〉１時(shí)，ｆ（ｘ）〉ｆ（１）＝０ （１分） ___ １ 即當(dāng)ｘ〉１時(shí)，２√ｘ 〉３－ ── （１分） ｘ
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