【正文】 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. 兩個平面垂直的判定定理符號表述為：α⊥β. . 應(yīng)用面面垂直的判定定理難點在于：在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直.4. 兩個平面垂直的性質(zhì)定理: 如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一平面.AB⊥β. 例13. 如圖7,⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點.圖7求證：平面PAC⊥平面PBC.證明：設(shè)⊙O所在平面為α,由已知條件，PA⊥α,BCα,∴PA⊥BC.∵C為圓周上不同于A、B的任意一點,AB是⊙O的直徑,∴BC⊥AC.又∵PA與AC是△PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線，∴BC⊥平面PAC.∵BC平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.35. 如圖8，把等腰Rt△ABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至△ABD的位置，使CD=AC，圖8（1）求證：平面ABD⊥平面ABC；（2）求二面角CBDA的余弦值.（1）證明：(證法一):由題設(shè),知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC，O為垂足，則OA=OB=OC.∴O是△ABC的外心，即AB的中點.∴O∈AB，即O∈平面ABD.∴OD平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.(證法二):取AB中點O，連接OD、OC,則有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角CABD的平面角.設(shè)AC=a，則OC=OD=,又CD=AD=AC,∴CD=a.∴△COD是直角三角形，即∠COD=90176。.∴二面角是直二面角，即平面ABD⊥平面ABC.（2）解:取BD的中點E，連接CE、OE、OC,∵△BCD為正三角形，∴CE⊥BD.又△BOD為等腰直角三角形,∴OE⊥BD.∴∠OEC為二面角CBDA的平面角.同（1）可證OC⊥平面ABD.∴OC⊥OE.∴△COE為直角三角形.設(shè)BC=a，則CE=，OE=，∴cos∠OEC=.點評：欲證面面垂直關(guān)鍵在于在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線.36. 如圖12，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.（1）求證：MN∥平面PAD；（2）求證：MN⊥CD；（3）若二面角PDCA=45176。，求證：MN⊥平面PDC. 圖12 圖13證明：如圖13所示,（1）取PD的中點Q，連接AQ、NQ,則QNDC,AMDC,∴QNAM.∴四邊形AMNQ是平行四邊形.∴MN∥AQ.又∵M(jìn)N平面PAD,AQ平面PAD,∴MN∥平面PAD.（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.又∵AQ平面PAD,∴CD⊥AQ.又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD.（3）由（2）知，CD⊥平面PAD,∴CD⊥AD,CD⊥PD.∴∠PDA是二面角PDCA的平面角.∴∠PDA=45176。.又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD.又∵M(jìn)N∥AQ,∴MN⊥CD.又∵M(jìn)N⊥PD,∴MN⊥平面PDC.37.（2008江蘇模擬）一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點，G是DF上的一動點.（1）求證：（2）當(dāng)FG=GD時，在棱AD上確定一點P，使得GP//平面FMC,并給出證明. 證明：由三視圖可得直觀圖為直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC (1)連接DB，可知B、N、D共線，且AC⊥DN 又FD⊥AD FD⊥CD，F(xiàn)D⊥面ABCD FD⊥AC AC⊥面FDN GN⊥AC （2）點P在A點處證明：取DC中點S，連接AS、GS、GA G是DF的中點，GS//FC,AS//CM 面GSA//面FMC GA//面FMC 即GP//面FMC點評：證明線面平行，在平面內(nèi)找一條直線與平面外的直線平行，是證明線面平行的關(guān)鍵。38．一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：（其中M、N分別是AF、BC的中點）. （1）求證：MN∥平面CDEF； （2）求多面體A—CDEF的體積．解：由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱住ADE—BCF， 且AB=BC=BF=2，DE=CF=2 ∴∠CBF=取BF中點G，連MG、NG，由M、N分別為AF、BC的中點可得，NG∥CF，MG∥EF， ∴平面MNG∥平面CDEF∴MN∥平面CDEF.（2）取DE的中點H.∵AD=AE，∴AH⊥DE，在直三棱柱ADE—BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，面ADE∩面CDEF=DE.∴AH⊥平面CDEF. ∴多面體A—CDEF是以AH為高，以矩形CDEF為底面的棱錐，在△ADE中，AH=，∴棱錐A—CDEF的體積為BAACAC1AB1AA1AMN主視圖左視圖俯視圖39．一個多面體的直觀圖、主視圖、左視圖、俯視圖如圖所示，、分別為、 的中點．（1） 求證：平面；（2） 求證：平面．解：由題意可知，這個幾何體是直三棱柱，且（1） 連結(jié)．由直三棱柱的性質(zhì)得：，∴∴四邊形為矩形．　　∴過的中點．∴在中，由中位線性質(zhì)得：．又∵，∴．（2）∵，　　又∵，∴而在正方形中，有．又∵，　　∴．　又∵∴．40. （2008廣東五校聯(lián)考）正方體ABCD—A1B1C1D1中O為正方形ABCD的中心，M為BB1的中點，求證： （1）D1O//平面A1BC1。（2）D1O⊥平面MAC.證明: (1)連結(jié)分別交于 在正方體中,對角面為矩形分別是的中點 四邊形為平行四邊形 平面,平面平面 （2）連結(jié),設(shè)正方體的棱長為, 在正方體中,對角面為矩形且 分別是的中點 在中， ，即在正方體中 平面 又， 平面 平面 又 平面點評：證明線面垂直，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線與已知直線垂直，由線線垂直推出線面垂直，證明線線垂直有時要用勾股定理的逆定理．4（2008廣東深圳模擬）如圖，四棱錐的底面是正方形，底面，是上一點．（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，求點到平面的距離；(1)證明：底面 且 平面平面(2)解：因為，且， 可求得點到平面的距離為點評：求點到面的距離，經(jīng)常采用等體積法，利用同一個幾何體，體積相等，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．42．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（ ）A． B．C． D．43. （韶關(guān)第一次調(diào)研）已知兩個不同的平面、和兩條不重合的直線，m、n，有下列四個命題①若，則 ②若③若④若 其中正確命題的個數(shù)是 A．0個 B．1個 C．2個 D．3個44．（佛山質(zhì)量檢測一）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是A．若則 B．若，則C．若，則 D．若則4（茂名市模擬）如圖所示為一個簡單幾何體的三視圖，則其對應(yīng)的實物是（ ）46. 正方體的直觀圖如右下圖所示，則其展開圖是 47. 一個幾何體的三視圖如右圖所示(單位長度: cm), 則此幾何體的表面積是A. 　　B. C. 　 D.