【正文】 物面： 無窮遠(yuǎn)：由于是常數(shù)，方程（）中的動量方程是線性方程，不僅適用于三維流動，也適用于二維流動。 解方程（），得圓球繞流的阻力為 ()阻力系數(shù) ()Goldstein(1929)認(rèn)為Oseen的修正還不夠，提出了對Oseen法的改進(jìn)，其結(jié)果為 ()小Re數(shù)圓球繞流的實(shí)驗(yàn)擬合公式為 ()圖626圓球阻力系數(shù)的理論解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較圖626畫出了三種公式的計(jì)算結(jié)果及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。 可以看出Re＜1時，三種公式的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)都很吻合；Re＞1后。 Oseen解并不比Stokes解改進(jìn)多少實(shí)驗(yàn)結(jié)果介于兩者之間，兩者的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的偏差隨Re數(shù)增大而增大當(dāng)Re大于10后，變得相當(dāng)大。 理論上0seen解比Stokes解精確，對二維流動也有確定解，但其阻力系數(shù)公式精確性并不比Stokes公式好，原因在于Oseen所考慮的慣性項(xiàng)改善了距物面較遠(yuǎn)處的解，物面附近的慣性項(xiàng)與粘性項(xiàng)相比仍可忽略不計(jì)，主要影響球總阻力的是物面附近的流動。 非定常流動非定常流動—般分為兩類，—類是物體在靜止流體中的起動過程或在壓力作用下管內(nèi)的起始流動；另一類是物體在流體中振蕩所引起的振蕩流動。 平板突然起動有一無限大光滑平板處于靜止流體中，從某瞬時起，平板沿自身平面方向以等速V突然起動，由于粘性，在平板周圍的流體出現(xiàn)非定常二維流動，如圖627所示。 圖627平板突然起動在直角坐標(biāo)系中，平板啟動所引起的流動情況可表式為 不可壓縮，忽略質(zhì)量力的運(yùn)動方程為 ()定解條件為 ()方程()是熟知的熱傳導(dǎo)方程，根據(jù)量綱分析中的定理．其解可用下述兩個無量綱量的函數(shù)來表示 () ()將式（）和（）代入方程（）得 () ()方程（）為線性常微分方程，解得 ()式中A和B為積分常數(shù)，根據(jù)邊界條件，積分常數(shù)為則式（）變?yōu)? ()其中 稱為誤差函數(shù)，可查數(shù)學(xué)手冊， 渦量分布 ()平板所受的摩擦應(yīng)力為 ()計(jì)算結(jié)果示于圖628，表明流場的速度和渦量隨位置和時間而變。 在給定位置、流體速度隨時間增加而增加，而渦量則相反。 在某瞬時，速度和渦量都隨平板法向距離增大而減小。 當(dāng)，故可把作為粘性層外邊界，則粘性層厚度為 ()可見，粘性擴(kuò)散范圍與成正比。 平板在自身平面內(nèi)振動圖628平板突然起動引起的速度和渦量分布(a)速度分布 (b)渦量分布圖629平板在自身平面內(nèi)振動如圖629所示，以無限大平板在靜止流體中沿自身平面作簡諧振動，振動速度為，其中和分別為振幅和圓頻率。 根據(jù)流動特點(diǎn)，流體運(yùn)動情況為（軸與平板振動方向重合）故忽略質(zhì)量力，不可壓縮流體的運(yùn)動方程為 ()定解條件為 ()方程（）為線性方程，可用分離變量法求解，其中滿足此方程的復(fù)數(shù)解的實(shí)部也必滿足此方程和定解條件。 下面采用復(fù)數(shù)法求解，然后取其實(shí)部。 因定解條件是的實(shí)部，故可假定方程（）的解為 ()式中A為待定幅值，代入方程（）后由定解條件確定，結(jié)果為因?yàn)楦鶕?jù)流動邊界條件，應(yīng)取正號，故速度分布為 ()取實(shí)部后，上式變?yōu)? ()式（）代表橫波，如圖630所示，博得傳播方向與速度垂直，速度按簡諧振動規(guī)律變化，其中振幅隨增大而減小。 代表相位差，隨增大而增大，距離為的兩層流體的相位相同，故波長為。 如果以為粘性層外邊界（波的貫穿深度），則粘性層厚度為壁面摩擦應(yīng)力的實(shí)部為 () 應(yīng)指出，求解過程中沒有用到初始條件，故上述結(jié)果是長時間振蕩后的解，不滿足某種初始條件。 圖630振蕩平板引起的速度分布 氣體流動速度較高時，Eckert數(shù)增大，壓縮性影響顯著加強(qiáng)，這時必須把氣體作為可壓縮流體來處理。 液體的體積彈性模量比氣體大得多，不可能作高速流動，Eekert數(shù)不大，除特殊情況外，都看作不可壓縮流體。 由于可壓縮流體密度、傳輸特征等均是溫度和壓力的函數(shù)，使動量方程和能量方程交聯(lián)，必須聯(lián)立求解，而且還要補(bǔ)充狀態(tài)方程和輸運(yùn)特性與溫度的關(guān)系式，問題變得異常復(fù)雜，求解非常因難。 I Ilingworth(1950)對可壓縮能流動解的評述中指出，易于處理的可壓縮流只是某些速度分量隨一個坐標(biāo)變化的簡單流動。 本節(jié)先研究平行板之間的流動，然后研究激波層內(nèi)的流動。 可壓縮流體的庫埃特流動本節(jié)以前各節(jié)所考慮的解都是針對密度及其他輸運(yùn)特性系數(shù)為常數(shù)的流體的。 本節(jié)將以庫埃特流動為例考慮壓縮性及其他輸運(yùn)特性變化的影響。 由于密度不再是常數(shù)，必須把能量方程及質(zhì)量、動量方程耦合起來，一道求解。 加之粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)可能發(fā)生變化，使問題更加復(fù)雜。 因而，對于可壓縮粘性流動至今只得到了很少數(shù)幾個準(zhǔn)確解。 且所有的準(zhǔn)確解都僅試于簡化的情況，即只有一個速度分量隨一個坐標(biāo)變化。 有兩個典型的例子：（1）正激波，在激波厚度內(nèi)只有沿流向的梯度；（2）可壓縮的庫埃特流動，這是只沿橫向有梯度的流動。 我們只討論后者。 無量綱相似參數(shù)?？嗣摂?shù)，這里可定義為 ()其中角標(biāo)表示某參考點(diǎn)的值。 對于氣體，若用完全氣體狀態(tài)方程式并用關(guān)系式，則可得 ()其中為比熱比。 可見，對于完全氣體，馬赫數(shù)與?？嗣摂?shù)都可反映壓縮性問題。 在氣動力學(xué)中數(shù)用得較多，而在與換熱有關(guān)的問題中數(shù)用得較多。 在下面討論的可壓縮庫埃特流動中可看出數(shù)是方便的。 如圖631所示的庫埃特流動，壓力為常數(shù)，底板固定，頂板以恒速在自身所在的平面內(nèi)平移。 流體的運(yùn)動全部是由頂板的拖動作用造成的。 不考慮沿向的自然對流。 由圖可見，流動的邊界條件應(yīng)為 ()在上述條件下，流動為平行流，即 ()其中 為等物理量。 在二維定常條件下，和都只是的函數(shù)。 條件()使質(zhì)量方程自動滿足。 動量方程和能量方程分別成為或常數(shù) () ()后一式中應(yīng)用了傅立葉熱傳導(dǎo)定律(溫度傳導(dǎo)系數(shù)或熱擴(kuò)散系數(shù) ,其定義。 設(shè)粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)都只是溫度的函數(shù)，且函數(shù)關(guān)系已知，記為 ()由于溫度又只是的函數(shù)，故應(yīng)有 ()所以定解問題應(yīng)是可解的。 圖 631可壓縮庫埃特流動積分能量方程()一次，則得 ()在下壁處，故可得 ()其中為下壁處的導(dǎo)熱率。 式()可用式()改寫為 ()因?yàn)橹皇堑暮瘮?shù)，可對此式從下壁到兩壁之間的任一點(diǎn)積分，則得 ()利用上壁面的邊界條件，注意到式()，則式()可寫為 ()將式()兩端乘后積分可得 ()由于式()已建立了與之間的關(guān)系，而又只是的函數(shù)，所以可以認(rèn)為已建立了與之間的關(guān)系，于是式()可積。 總之，式()和式()形式上解得了、與的關(guān)系，但若和與的關(guān)系復(fù)雜，則只能用數(shù)值方法求解。 解析解 許多情況下，雖然和都隨變化，但其比值卻幾乎不變。 例如對于空氣，溫度從增加到，按薩瑟蘭公式計(jì)算，增加82%，%，而其比值僅增加10%。 所以設(shè)=常數(shù)是很好的近似，這相當(dāng)于近似假設(shè)為常數(shù)。 引入此近似后，式()成為 ()設(shè)底壁絕熱，即，此壁溫稱為絕熱壁溫，記為。 由于只當(dāng)式()右端括號內(nèi)的值為零時才可能為零，由此可得出絕熱壁溫 ()利用式()和式()，此式可寫為 ()將式()得到的常數(shù)代入式()后積分可得 ()若取冪次粘性公式 ()且取，將式(）代入式()，積分可得 ()利用同樣的關(guān)系，將式()積分到上壁時可得壁面摩擦阻力系數(shù) ()其中 (6..) 當(dāng)下壁給定不同溫度條件時，由式()、式()和式()給出的速度、溫度和摩擦阻力系數(shù)的關(guān)系會有相應(yīng)的變化。例如，若給定下壁絕熱溫時，則由關(guān)系式()和式()可得 ()若下壁為冷壁，即，則式()成為 ()由所得關(guān)系可見，隨加熱和數(shù)而增大，這是由庫埃特流動得出的結(jié)論。 但這不適合邊界層流動，因?yàn)榧訜岷驮龃篑R赫數(shù)都會使邊界層厚度增大，使稍有下降。 將式()代入式()可得 ()此式是很有用的關(guān)系，稱為克羅柯Crocco布澤曼Busemann公式。 從這些式子可看出用數(shù)很方便。 圖632給出的速度、溫度的分布是根據(jù)式()和式()作出的。圖632 可壓縮庫埃特流動的速度和溫度分布(a) 絕熱壁面 (b)冷壁面 許多工程技術(shù)問題使我們很關(guān)注高速運(yùn)動物體表面的溫度。例如空間飛行器在入地球大氣層時由于速度很大可能達(dá)到很高的表面度。 由于多種原因，壁面溫度并不等于外流滯止溫度，現(xiàn)用庫埃特流為例研究這一問題。 我們將下壁的絕熱溫度稱為恢復(fù)溫度，并注意上壁處流體的滯止溫度為 ()由此可定義溫度恢復(fù)因子（或簡稱復(fù)溫因子） ()則 ()與式()比較容易看出，對于庫埃特流。 由式()可以看出，在這里討論的流動條件下，流線之間總溫的差別取決于流線之間的熱傳導(dǎo)以及粘性應(yīng)力對機(jī)械能的輸運(yùn)。 由于數(shù)反映粘性效應(yīng)與熱傳導(dǎo)效應(yīng)的比值，若1，說明熱傳導(dǎo)的散熱作用超過粘性應(yīng)力輸運(yùn)作功的作用，因而底壁滯止溫度低于頂壁滯止溫度。 相反，若1,則散熱作用小于粘性應(yīng)力作功的作用，底壁滯止溫度將高于頂壁滯止溫度。 這些討論也適用于層流和湍流邊界層，但它們的溫度恢復(fù)因子不同。 對于層流邊界層，；對于湍流，至少對于氣體。 以上討論了底壁絕熱的情況。 當(dāng)?shù)妆跍囟炔坏扔诮^熱壁溫度時將有通過底壁的熱傳導(dǎo)。 利用公式()和式()可得 ()正表示熱從壁傳到流體。 可見，這正是雷諾比擬概念的基礎(chǔ)。 現(xiàn)定義斯坦頓（Stanton）數(shù) ()將它代入式()則得 ()這是由庫埃特流動得出的。 對于更一般的流動，假設(shè)，引入雷諾比擬概念，可得（，幾何形狀） ()其中為沿流向的無量綱坐標(biāo)，它反映流動的發(fā)展過程。 對于中等壓力梯度和常壁溫的許多實(shí)際情況，和幾何形狀的影響可以忽略，但隨可有不同的關(guān)系。 152