中考數(shù)學(xué)湖北十堰解析版-資料下載頁
2025-06-07 14:00本頁面
【正文】 的關(guān)鍵．2（2011?十堰）如圖，線段AD=5，⊙A的半徑為1，C為⊙A上一動點(diǎn)，CD的垂直平分線分別交CD，AD于點(diǎn)E，B，連接BC，AC，構(gòu)成△ABC，設(shè)AB=x．（1）求x的取值范圍；（2）若△ABC為直角三角形，則x= ??；（3）設(shè)△ABC的面積的平方為W，求W的最大值．考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值；三角形三邊關(guān)系；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理。分析：（1）由AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，可得BC=BD=5﹣x，又由，⊙A的半徑為1，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，即可求得x的取值范圍；（2）分別從若AB是斜邊與BC是斜邊去分析，利用勾股定理的知識，借助于方程即可求得x的值；（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，設(shè)CF=h，AF=m，則W=（12xh）2=14x2h2，由AC2﹣AF2=BC2﹣BF2，則1﹣m2=（5﹣x）2﹣（x﹣m）2，＜x＜3時(shí)與2＜x≤，即可求得答案．解答：解：（1）∵AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，∴BC=BD=5﹣x，在△ABC中，AC=1，∴（5﹣x）﹣1＜x＜1+（5﹣x），解得：2＜x＜3；（2）∵△ABC為直角三角形，若AB是斜邊，則AB2=AC2+BC2，即x2=（5﹣x）2+1，∴x=；若BC是斜邊，則BC2=AB2+AC2，即（5﹣x）2=x2+1，∴x=．故答案為：．（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，設(shè)CF=h，AF=m，則W=（12xh）2=14x2h2，①如圖，＜x＜3時(shí)，AC2﹣AF2=BC2﹣BF2，則1﹣m2=（5﹣x）2﹣（x﹣m）2，得：m=5x﹣12x，∴h2=1﹣m2=﹣24x2+120x﹣144x2，∴W=14x2h2=﹣6x2+30x﹣36，即W=﹣6（x﹣52）2+32，當(dāng)x=（＜x＜3），；②當(dāng)2＜x≤，同理可得：W=﹣6x2+30x﹣36=﹣6（x﹣52）2+32，當(dāng)x=，＜，綜合①②得，．點(diǎn)評：此題考查了三角形三邊關(guān)系，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與分類討論思想的應(yīng)用．2（2011?十堰）如圖，己知拋物線y=x2+bx+c與x 軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn) B，與y軸交丁點(diǎn)C （0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖（1），己知點(diǎn)H（0，﹣1）．問在拋物線上是否存在點(diǎn)G （點(diǎn)G在y軸的左側(cè)），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由：（3）如圖（2），拋物線上點(diǎn)D在x軸上的正投影為點(diǎn)E（﹣2，0），F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連 接DF，P為線段BD上的一點(diǎn)，若∠EPF=∠BDF，求線段PE的長．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。分析：（1）由拋物線y=x2+bx+c與x 軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn) B，與y軸交丁點(diǎn)C （0，﹣3），利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）分別從GH∥AC與GH與AC不平行去分析，注意先求得直線GH的解析式，根據(jù)交點(diǎn)問題即可求得答案，小心不要漏解；（3）利用待定系數(shù)法求得直線DF的解析式，即可證得△PBE∽△FDP，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．解答：解：（1）由題意得：amp。1+b+c=0amp。c=﹣3，解得：amp。b=2amp。c=﹣3，∴拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3；（2）解法一：假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)G，設(shè)G（m，n），顯然，當(dāng)n=﹣3時(shí)，△AGH不存在．①當(dāng)n＞﹣3時(shí)，可得S△GHA=﹣m2+n2+12，S△GHC=﹣m，∵S△GHC=S△GHA，∴m+n+1=0，由amp。n=m2+2m﹣3amp。m+n+1=0，解得：amp。m=﹣3+172amp。n=1+172或amp。m=﹣﹣3+172amp。n=1﹣172，∵點(diǎn)G在y軸的左側(cè)，∴G（﹣3+172，1+172）；②當(dāng)﹣4≤n＜﹣3時(shí)，可得S△GHA=﹣m2﹣n2﹣12，S△GHC=﹣m，∵S△GHC=S△GHA，∴3m﹣n﹣1=0，由amp。n=m2+2m﹣3amp。3m﹣n﹣1=0，解得：amp。m=﹣1amp。n=﹣4或amp。m=2amp。n=5，∵點(diǎn)G在y軸的左側(cè)，∴G（﹣1，﹣4）．∴存在點(diǎn)G（﹣3+172，1+172）或G（﹣1，﹣4）．解法二：①如圖①，當(dāng)GH∥AC時(shí)，點(diǎn)A，點(diǎn)C到GH的距離相等，∴S△GHC=S△GHA，可得AC的解析式為y=3x﹣3，∵GH∥AC，得GH的解析式為y=3x﹣1，∴G（﹣1，﹣4）；②如圖②，當(dāng)GH與AC不平行時(shí)，∵點(diǎn)A，C到直線GH的距離相等，∴直線GH過線段AC的中點(diǎn)M（12，﹣32）．∴直線GH的解析式為y=﹣x﹣1，∴G（﹣3+172，1+172），∴存在點(diǎn)G（﹣3+172，1+172）或G（﹣1，﹣4）．（3）如圖③，∵E（﹣2，0），∴D的橫坐標(biāo)為﹣2，∵點(diǎn)D在拋物線上，∴D（﹣2，﹣3），∵F是OC中點(diǎn)，∴F（0，﹣32），∴直線DF的解析式為：y=34x﹣32，則它與x軸交于點(diǎn)Q（2，0），則QB=QD，得∠QBD=∠QDB，∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180176。，∵∠EPF=∠PDF，∴∠BPE=∠DFP，∴△PBE∽△FDP，∴PBFD=BEDP，得：PB?DP=52，∵PB+DP=BD=10，∴PB=102，即P是BD的中點(diǎn)，連接DE，∴在Rt△DBE中，PE=12BD=102．點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題以及三角形面積問題的求解等知識．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用。
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