【正文】 以點為圓心，以為半徑的圓與軸相交于點，與軸相交于點．（1）若拋物線經(jīng)過兩點，求拋物線的解析式，并判斷點是否在該拋物線上．（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上求一點，使得的周長最?。?）設(shè)為（1）中的拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點，使得四邊形是平行四邊形．若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．178。 第五講 平移、旋轉(zhuǎn)和翻折平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換。所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法則，對給定的圖形(或其一部分)施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系．這類實體的特點是：結(jié)論開放，注重考查學生的猜想、探索能力；便于與其它知識相聯(lián)系，解題靈活多變，能夠考察學生分析問題和解決問題的能力．在這一理念的引導下，近幾年中考加大了這方面的考察力度，特別是2006年中考，這一部分的分值比前兩年大幅度提高。為幫助廣大考生把握好平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的特征，巧妙利用平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的知識來解決相關(guān)的問題，下面以近幾年中考題為例說明其解法，供大家參考。平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移．“一定的方向”稱為平移方向，“一定的距離”稱為平移距離。平移特征：圖形平移時，圖形中的每一點的平移方向都相同，平移距離都相等。旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角．旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時，圖形中的每一點旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角翻折：翻折是指把一個圖形按某一直線翻折180186。后所形成的新的圖形的變化。翻折特征：平面上的兩個圖形，將其中一個圖形沿著一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個圖形重合，那么說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線就是對稱軸。解這類題抓住翻折前后兩個圖形是全等的，弄清翻折后不變的要素。 翻折在三大圖形運動中是比較重要的，考查得較多．另外，從運動變化得圖形得特殊位置探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對我們解決運動變化問題是極為重要的，值得大家留意。圖形沿某條線折疊，這條線就是對稱軸，利用軸對稱的性質(zhì)并借助方程的的知識就能較快得到計算結(jié)果。 由此看出，近幾年中考，重點突出，試題貼近考生，貼近初中數(shù)學教學，圖形運動的思想(圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折、平移三大運動)都一一考查到了．因此在平時抓住這三種運動的特征和基本解題思路來指導我們的復習，將是一種事半功倍的好方法。平移與旋轉(zhuǎn)實際上是一種全等變換，由于具有可操作性，因而是考查同學們動手能力、觀察能力的好素材，也就成了近幾年中考試題中頻繁出現(xiàn)的內(nèi)容。題型多以填空題、計算題呈現(xiàn)。在解答此類問題時，我們通常將其轉(zhuǎn)換成全等求解。根據(jù)變換的特征，找到對應(yīng)的全等形，通過線段、角的轉(zhuǎn)換達到求解的目的。旋轉(zhuǎn)具有以下特征：（1）圖形中的每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；（2）對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（3）對應(yīng)角、對應(yīng)線段相等；（4）圖形的形狀和大小都不變。 利用旋轉(zhuǎn)的特征，可巧妙解決很多數(shù)學問題，如數(shù)學思想是解數(shù)學題的精髓和重要的指導方法，在平移和旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用也相當?shù)膹V泛，一般可以歸結(jié)為兩種思想——對稱的思想和旋轉(zhuǎn)的思想，具體的分析如下：1 、對稱的思想：在平移、旋轉(zhuǎn)、對稱這些概念中，、旋轉(zhuǎn)對稱、在解題的應(yīng)用非常廣泛.旋轉(zhuǎn)的思想：旋轉(zhuǎn)也是圖形的一種基本變換，通過圖形旋轉(zhuǎn)變換，從而將一些簡單的平面圖形按要求旋轉(zhuǎn)到適當?shù)奈恢?，使問題獲得簡單的解決，它是一種要的解題方法。考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質(zhì)與判定等。旋轉(zhuǎn)性質(zhì)對應(yīng)線段、對應(yīng)角的大小不變，對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。注意旋轉(zhuǎn)過程中三角形與整個圖形的特殊位置。MNOⅠ.考點透視一、生活中的平移、旋轉(zhuǎn)和對稱(平移的概念與性質(zhì))(旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì))(1)軸對稱與軸對稱圖形(概念與性質(zhì))例已知∠MON=40176。，P為∠MON內(nèi)一定點，OM上有一點A，ON上有一點B，當△PAB的周長取最小值時，求∠APB的度數(shù).(2)中心對稱(概念與性質(zhì))例下列圖形中，一定不是中心對稱圖形的是（ ）176。后才與自身重合 176。后才與自身重合176。后才與自身重合 D.、至少旋轉(zhuǎn)120176。后才與自身重合二、圖形的相似(概念、判定與性質(zhì))例如果正方形的一邊落在三角形的一邊上，其余兩個頂點分別在三角形的另外兩條邊上，則這樣的正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形。如圖，在△ABC中，BC= a，BC邊上的高AD= ha，EFGH是△ABC的內(nèi)接正方形。設(shè)正方形EFGH的邊長是x .求證：AECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2F例1已知中，為邊的中點，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）于、當繞點旋轉(zhuǎn)到于時（如圖1），易證當繞點旋轉(zhuǎn)到不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．分析：此類題的特點是提供問題的一個特殊的情況（給出命題的題設(shè)、結(jié)論），讓你探索使結(jié)論成立的證明過程，然后通過運動變換,使題設(shè)條件改變，圖形隨之發(fā)生變化產(chǎn)生新的問題情景，再去探究新情景中原來的結(jié)論是否成立，還是又有新的關(guān)系。 解題方法思路一般是先探究特殊情景下的解題方法，再內(nèi)化感悟、類比、猜想與探究。（針對特殊情景解題方法需添加什么輔助線，用到什么定理，是什么方法思想，能否直接模仿，還是要創(chuàng)新）提示：圖圖3按退還到圖1位置作輔助線，證明方法思路一樣。例2 圖9 圖10 圖11圖8如圖9，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形．（1）當把△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；（2）當△ADE繞A點旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當AB=2AD時，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；若不是，請說明理由．提示：（1）抓住不變量易解， （2）能證得△ADC 與 △AEB是直角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求解。FBADCEG圖②FBADCEG圖①例3 已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．（1）求證：EG=CG；（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45186。，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由． （3）將圖①中△BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）提示：考查三角形的中線、三角形全等、矩形的性質(zhì)等。（2）作適當輔助線，構(gòu)造全等三角形。也可連接GA,得GC=GA,過點G作AB的垂線，證GE=GA.DFBACE圖③圖形與變換是新課程標準明確規(guī)定的重要內(nèi)容之一,有利于培養(yǎng)實踐與操作能力,。關(guān)于旋轉(zhuǎn)變換知識歸納：1．定義:在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度形成新的圖形，這樣的圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)變換分為全等變換和相似變換。2．旋轉(zhuǎn)的三個基本要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角.3．基本特征：（1）圖形上的每個點同時都按相同方式轉(zhuǎn)動相同的角度，即任意一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的夾角都是旋轉(zhuǎn)角，圖形中每一點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；（2）旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持不動，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等；（3）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀（即旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形是全等圖形），只是位置發(fā)生了變化.★應(yīng)用情況常見的題型有填空、選擇、作圖、綜合題等。常結(jié)合平移、軸對稱、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函數(shù)等知識進行綜合應(yīng)用。解這類題要求考生具備扎實數(shù)學的基本功,較強的觀察力,豐富的想象力及綜合分析問題的能力,解題時要切實把握幾何圖形運動過程,并注意運動過程中特殊位置,在動中求靜,在靜中探求動，哪些是變化的量?，F(xiàn)就07年全國各省市中考試題中出現(xiàn)的一些典型試題加以說明。命題意圖:，重視對重點內(nèi)容的考查:平移與旋轉(zhuǎn)(既是新增又是重點) 。較好地體現(xiàn)了接受與創(chuàng)新同途的新課程理念，突出了課改的導向。，把方程、特殊四邊形、相似三角形、一次函數(shù)、二次函數(shù)、圖形的面積等知識與操作探究融合為一體，既考查了學生綜合運用知識解決問題的能力，又突出了學習數(shù)學活動的過程性，體現(xiàn)了一定的區(qū)分度。考生答題情況及失誤分析:（1）題求邊長用直觀方法去判斷，沒有求解過程；（2）對不規(guī)則圖形的面積求法，不能用分割或補差法求解；（3）對數(shù)學思想方法（運動思想、分類思想）缺乏，“動”中求“靜”的思維方法不能掌握。在求解時不能很好地利用操作的過程去完成解答。感受不到工具作用 一、四邊形作旋轉(zhuǎn)（一）正方形作旋轉(zhuǎn)例1．如圖21，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點(不與A、C重合)，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F.(1) 求證：BP=DP；(2) 如圖22，若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；(3) 試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論 .分析：⑴在△ABP與△ADP中，利用全等可得BP=DP..⑵當四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時，DP DCBP，此時BP=DP不成立. 不是總成立 .⑶連接BE、DF，則BE與DF始終相等. 在圖21中，可證四邊形PECF為正方形，同時可證△PEC≌△PFC . 從而有BE=DF . 略解：⑴ 解法一：在△ABP與△ADP中，利用全等可得BP=DP. 　　解法二：利用正方形的軸對稱性，可得BP=DP. ⑵ 不是總成立 . 　當四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，點P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時，DP DCBP，此時BP=DP不成立. ⑶ 連接BE、DF，可證四邊形PECF為正方形， 　在△BEC與△DFC中，可證△BEC≌△DFC . 從而有BE=DF . （二）梯形作旋轉(zhuǎn)例3．如圖3－1，在平面直角坐標系中，先把梯形ABCD向左平移6個單位長度得到梯形 .（1）請你在平面直角坐標系中畫出梯形 ；（2）以點C1為旋轉(zhuǎn)中心，把（1）中畫出的梯形繞點C1順時針方向旋轉(zhuǎn)90176。得到梯形 ，請你畫出梯形 ．分析：根據(jù)平移的兩要素（方向、距離）、旋轉(zhuǎn)三要素準確畫圖即可。　　圖3－1　　　　　　　　　　　　圖3－2二、三角形作旋轉(zhuǎn)（一）直接運用旋轉(zhuǎn)知識解題例題4．如圖4，在中，，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至，點的坐標為（0，4）．（1）求點的坐標；（2）求過，三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中的拋物線上是否存在點，使以為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由．分析：（1）本題平面直角坐標系中求點的坐標可以求出線段A’B’、OB’的長；繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至，所以A`B`＝AB、OB`=OB。而中，，所以可求。（2）由，三點坐標可直接求出拋物線解析式。（3）因為三點皆可能為直角頂點，所以應(yīng)分三種情況討論。解：（1）過點作垂直于軸，垂足為則四邊形為矩形在中，點的坐標為（2）∵C（0,4）在拋物線上，A（4,0），在拋物線上解之得所求解析式為．（3）①若以點為直角頂點，由于，點在拋物線上，則點為滿足條件的點．②若以點為直角頂點，則使為等腰直角三角形的點的坐標應(yīng)為或，經(jīng)計算知；此兩點不在拋物線上．③若以點為直角頂點，則使為等腰直角三角形的點的坐標應(yīng)為或，經(jīng)計算知；此兩點也不在拋物線上．綜上述在拋物線上只有一點使為等腰直角三角形．例題5．如圖6－1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90176。，把一塊含30176。角的直角三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上(直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。(1)在圖6－1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①證明DM＝DN；②在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖6－2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖6－3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明。分析：本題三個問題只要證明△BMD≌△CND即可。解：⑴①證明:△ABC中，AB＝BC,AD＝DC.　　　∴DB＝DC＝AD,∠BDC＝90176。，方法一:∴∠ABD＝∠C＝45176。.　　　∵∠MDB＋∠BDN＝∠CDN＋∠BDN＝90176。,　　　∴∠MDB＝∠N