【正文】 以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．（1）若拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)，求拋物線的解析式，并判斷點(diǎn)是否在該拋物線上．（2）在（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)，使得的周長最小．（3）設(shè)為（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．178。 第五講 平移、旋轉(zhuǎn)和翻折平移、旋轉(zhuǎn)和翻折是幾何變換中的三種基本變換。所謂幾何變換就是根據(jù)確定的法則，對(duì)給定的圖形(或其一部分)施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系．這類實(shí)體的特點(diǎn)是：結(jié)論開放，注重考查學(xué)生的猜想、探索能力；便于與其它知識(shí)相聯(lián)系，解題靈活多變，能夠考察學(xué)生分析問題和解決問題的能力．在這一理念的引導(dǎo)下，近幾年中考加大了這方面的考察力度，特別是2006年中考，這一部分的分值比前兩年大幅度提高。為幫助廣大考生把握好平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的特征，巧妙利用平移，旋轉(zhuǎn)和翻折的知識(shí)來解決相關(guān)的問題，下面以近幾年中考題為例說明其解法，供大家參考。平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移．“一定的方向”稱為平移方向，“一定的距離”稱為平移距離。平移特征：圖形平移時(shí)，圖形中的每一點(diǎn)的平移方向都相同，平移距離都相等。旋轉(zhuǎn)：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度成為與原來相等的圖形，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角．旋轉(zhuǎn)特征：圖形旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角都相等，都等于圖形的旋轉(zhuǎn)角翻折：翻折是指把一個(gè)圖形按某一直線翻折180186。后所形成的新的圖形的變化。翻折特征：平面上的兩個(gè)圖形，將其中一個(gè)圖形沿著一條直線翻折過去，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸。解這類題抓住翻折前后兩個(gè)圖形是全等的，弄清翻折后不變的要素。 翻折在三大圖形運(yùn)動(dòng)中是比較重要的，考查得較多．另外，從運(yùn)動(dòng)變化得圖形得特殊位置探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對(duì)我們解決運(yùn)動(dòng)變化問題是極為重要的，值得大家留意。圖形沿某條線折疊，這條線就是對(duì)稱軸，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)并借助方程的的知識(shí)就能較快得到計(jì)算結(jié)果。 由此看出，近幾年中考，重點(diǎn)突出，試題貼近考生，貼近初中數(shù)學(xué)教學(xué)，圖形運(yùn)動(dòng)的思想(圖形的旋轉(zhuǎn)、翻折、平移三大運(yùn)動(dòng))都一一考查到了．因此在平時(shí)抓住這三種運(yùn)動(dòng)的特征和基本解題思路來指導(dǎo)我們的復(fù)習(xí)，將是一種事半功倍的好方法。平移與旋轉(zhuǎn)實(shí)際上是一種全等變換，由于具有可操作性，因而是考查同學(xué)們動(dòng)手能力、觀察能力的好素材，也就成了近幾年中考試題中頻繁出現(xiàn)的內(nèi)容。題型多以填空題、計(jì)算題呈現(xiàn)。在解答此類問題時(shí)，我們通常將其轉(zhuǎn)換成全等求解。根據(jù)變換的特征，找到對(duì)應(yīng)的全等形，通過線段、角的轉(zhuǎn)換達(dá)到求解的目的。旋轉(zhuǎn)具有以下特征：（1）圖形中的每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（3）對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段相等；（4）圖形的形狀和大小都不變。 利用旋轉(zhuǎn)的特征，可巧妙解決很多數(shù)學(xué)問題，如數(shù)學(xué)思想是解數(shù)學(xué)題的精髓和重要的指導(dǎo)方法，在平移和旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用也相當(dāng)?shù)膹V泛，一般可以歸結(jié)為兩種思想——對(duì)稱的思想和旋轉(zhuǎn)的思想，具體的分析如下：1 、對(duì)稱的思想：在平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱這些概念中，、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、在解題的應(yīng)用非常廣泛.旋轉(zhuǎn)的思想：旋轉(zhuǎn)也是圖形的一種基本變換，通過圖形旋轉(zhuǎn)變換，從而將一些簡單的平面圖形按要求旋轉(zhuǎn)到適當(dāng)?shù)奈恢茫箚栴}獲得簡單的解決，它是一種要的解題方法。考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四邊形的性質(zhì)與判定等。旋轉(zhuǎn)性質(zhì)對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角的大小不變，對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。注意旋轉(zhuǎn)過程中三角形與整個(gè)圖形的特殊位置。MNOⅠ.考點(diǎn)透視一、生活中的平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱(平移的概念與性質(zhì))(旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì))(1)軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形(概念與性質(zhì))例已知∠MON=40176。，P為∠MON內(nèi)一定點(diǎn)，OM上有一點(diǎn)A，ON上有一點(diǎn)B，當(dāng)△PAB的周長取最小值時(shí)，求∠APB的度數(shù).(2)中心對(duì)稱(概念與性質(zhì))例下列圖形中，一定不是中心對(duì)稱圖形的是（ ）176。后才與自身重合 176。后才與自身重合176。后才與自身重合 D.、至少旋轉(zhuǎn)120176。后才與自身重合二、圖形的相似(概念、判定與性質(zhì))例如果正方形的一邊落在三角形的一邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的另外兩條邊上，則這樣的正方形叫做三角形的內(nèi)接正方形。如圖，在△ABC中，BC= a，BC邊上的高AD= ha，EFGH是△ABC的內(nèi)接正方形。設(shè)正方形EFGH的邊長是x .求證：AECFBD圖1圖3ADFECBADBCE圖2F例1已知中，為邊的中點(diǎn)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）于、當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到于時(shí)（如圖1），易證當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，、又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明．分析：此類題的特點(diǎn)是提供問題的一個(gè)特殊的情況（給出命題的題設(shè)、結(jié)論），讓你探索使結(jié)論成立的證明過程，然后通過運(yùn)動(dòng)變換,使題設(shè)條件改變，圖形隨之發(fā)生變化產(chǎn)生新的問題情景，再去探究新情景中原來的結(jié)論是否成立，還是又有新的關(guān)系。 解題方法思路一般是先探究特殊情景下的解題方法，再內(nèi)化感悟、類比、猜想與探究。（針對(duì)特殊情景解題方法需添加什么輔助線，用到什么定理，是什么方法思想，能否直接模仿，還是要?jiǎng)?chuàng)新）提示：圖圖3按退還到圖1位置作輔助線，證明方法思路一樣。例2 圖9 圖10 圖11圖8如圖9，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形．（1）當(dāng)把△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖10的位置時(shí)，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；（2）當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖11的位置時(shí)，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當(dāng)AB=2AD時(shí)，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；若不是，請說明理由．提示：（1）抓住不變量易解， （2）能證得△ADC 與 △AEB是直角三角形，再用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求解。FBADCEG圖②FBADCEG圖①例3 已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG．（1）求證：EG=CG；（2）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45186。，如圖②所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG．問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由． （3）將圖①中△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）提示：考查三角形的中線、三角形全等、矩形的性質(zhì)等。（2）作適當(dāng)輔助線，構(gòu)造全等三角形。也可連接GA,得GC=GA,過點(diǎn)G作AB的垂線，證GE=GA.DFBACE圖③圖形與變換是新課程標(biāo)準(zhǔn)明確規(guī)定的重要內(nèi)容之一,有利于培養(yǎng)實(shí)踐與操作能力,。關(guān)于旋轉(zhuǎn)變換知識(shí)歸納：1．定義:在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度形成新的圖形，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，圖形轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)變換分為全等變換和相似變換。2．旋轉(zhuǎn)的三個(gè)基本要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角.3．基本特征：（1）圖形上的每個(gè)點(diǎn)同時(shí)都按相同方式轉(zhuǎn)動(dòng)相同的角度，即任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的夾角都是旋轉(zhuǎn)角，圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度；（2）旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持不動(dòng)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（3）旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀（即旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形是全等圖形），只是位置發(fā)生了變化.★應(yīng)用情況常見的題型有填空、選擇、作圖、綜合題等。常結(jié)合平移、軸對(duì)稱、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函數(shù)等知識(shí)進(jìn)行綜合應(yīng)用。解這類題要求考生具備扎實(shí)數(shù)學(xué)的基本功,較強(qiáng)的觀察力,豐富的想象力及綜合分析問題的能力,解題時(shí)要切實(shí)把握幾何圖形運(yùn)動(dòng)過程,并注意運(yùn)動(dòng)過程中特殊位置,在動(dòng)中求靜,在靜中探求動(dòng)，哪些是變化的量。現(xiàn)就07年全國各省市中考試題中出現(xiàn)的一些典型試題加以說明。命題意圖:，重視對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的考查:平移與旋轉(zhuǎn)(既是新增又是重點(diǎn)) 。較好地體現(xiàn)了接受與創(chuàng)新同途的新課程理念，突出了課改的導(dǎo)向。，把方程、特殊四邊形、相似三角形、一次函數(shù)、二次函數(shù)、圖形的面積等知識(shí)與操作探究融合為一體，既考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，又突出了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程性，體現(xiàn)了一定的區(qū)分度?？忌痤}情況及失誤分析:（1）題求邊長用直觀方法去判斷，沒有求解過程；（2）對(duì)不規(guī)則圖形的面積求法，不能用分割或補(bǔ)差法求解；（3）對(duì)數(shù)學(xué)思想方法（運(yùn)動(dòng)思想、分類思想）缺乏，“動(dòng)”中求“靜”的思維方法不能掌握。在求解時(shí)不能很好地利用操作的過程去完成解答。感受不到工具作用 一、四邊形作旋轉(zhuǎn)（一）正方形作旋轉(zhuǎn)例1．如圖21，已知P為正方形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F.(1) 求證：BP=DP；(2) 如圖22，若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；(3) 試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論 .分析：⑴在△ABP與△ADP中，利用全等可得BP=DP..⑵當(dāng)四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時(shí)，DP DCBP，此時(shí)BP=DP不成立. 不是總成立 .⑶連接BE、DF，則BE與DF始終相等. 在圖21中，可證四邊形PECF為正方形，同時(shí)可證△PEC≌△PFC . 從而有BE=DF . 略解：⑴ 解法一：在△ABP與△ADP中，利用全等可得BP=DP. 　　解法二：利用正方形的軸對(duì)稱性，可得BP=DP. ⑵ 不是總成立 . 　當(dāng)四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到BC邊上時(shí)，DP DCBP，此時(shí)BP=DP不成立. ⑶ 連接BE、DF，可證四邊形PECF為正方形， 　在△BEC與△DFC中，可證△BEC≌△DFC . 從而有BE=DF . （二）梯形作旋轉(zhuǎn)例3．如圖3－1，在平面直角坐標(biāo)系中，先把梯形ABCD向左平移6個(gè)單位長度得到梯形 .（1）請你在平面直角坐標(biāo)系中畫出梯形 ；（2）以點(diǎn)C1為旋轉(zhuǎn)中心，把（1）中畫出的梯形繞點(diǎn)C1順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90176。得到梯形 ，請你畫出梯形 ．分析：根據(jù)平移的兩要素（方向、距離）、旋轉(zhuǎn)三要素準(zhǔn)確畫圖即可?！　D3－1　　　　　　　　　　　　圖3－2二、三角形作旋轉(zhuǎn)（一）直接運(yùn)用旋轉(zhuǎn)知識(shí)解題例題4．如圖4，在中，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4）．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求過，三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中的拋物線上是否存在點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．分析：（1）本題平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出線段A’B’、OB’的長；繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至，所以A`B`＝AB、OB`=OB。而中，，所以可求。（2）由，三點(diǎn)坐標(biāo)可直接求出拋物線解析式。（3）因?yàn)槿c(diǎn)皆可能為直角頂點(diǎn)，所以應(yīng)分三種情況討論。解：（1）過點(diǎn)作垂直于軸，垂足為則四邊形為矩形在中，點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）∵C（0,4）在拋物線上，A（4,0），在拋物線上解之得所求解析式為．（3）①若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，由于，點(diǎn)在拋物線上，則點(diǎn)為滿足條件的點(diǎn)．②若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則使為等腰直角三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為或，經(jīng)計(jì)算知；此兩點(diǎn)不在拋物線上．③若以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則使為等腰直角三角形的點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為或，經(jīng)計(jì)算知；此兩點(diǎn)也不在拋物線上．綜上述在拋物線上只有一點(diǎn)使為等腰直角三角形．例題5．如圖6－1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90176。，把一塊含30176。角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上(直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF)，將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。(1)在圖6－1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①證明DM＝DN；②在這一旋轉(zhuǎn)過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積；(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖6－2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖6－3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？請寫出結(jié)論，不用證明。分析：本題三個(gè)問題只要證明△BMD≌△CND即可。解：⑴①證明:△ABC中，AB＝BC,AD＝DC.　　　∴DB＝DC＝AD,∠BDC＝90176。，方法一:∴∠ABD＝∠C＝45176。.　　　∵∠MDB＋∠BDN＝∠CDN＋∠BDN＝90176。,　　　∴∠MDB＝∠N