【正文】 課程 54 2022/6/23 極小值原理 非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ),( uxfx ??ft初始時(shí)刻 ，初始狀態(tài) ，末值時(shí)刻 ，末端狀態(tài) 自由 0t )( 0tx )( ftxUu ?)(t性能指標(biāo)為末值型性能指標(biāo) ]),([ ff ttJ x??)( ftx要求在狀態(tài)方程約束下，尋求最優(yōu)控制 及 使系統(tǒng)從 轉(zhuǎn)移到 ，并使 J 取極小值。 Uu ?* ft )( 0tx華中科技大學(xué) 研究生課程 55 2022/6/23 以下就是用極小值原理解前面的問題： 設(shè) 為容許控制， 為對(duì)應(yīng)的狀態(tài)軌線。為了使它們分別成為最優(yōu)控制 和最優(yōu)軌線 ，存在一個(gè)向量函數(shù) ，使得 )(tu )(tx)(t*u )(t*x )(t*λλx ??? H*?xλ ??? H*?其中哈密頓函數(shù)： ),(),( uxfλλux TtH ?)(* tλ 和 滿足邊界條件 )()( 0*0tt tt xx ??)()(*ff tt xλ ??? ?)(* tx華中科技大學(xué) 研究生課程 56 2022/6/23 則哈密頓函數(shù) H 相對(duì)最優(yōu)控制取極小值，即 ],[m in),( ***** tHtH λuxλux Uu ??或者 ),( *** tH λux ],[ ** tH λux≤ c o n s ttHtH f ?? )()( **在末值時(shí)刻 是自由的情況 ft哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線隨時(shí)間的變化規(guī)律： 在末值時(shí)刻 是固定的情況 ft0)()( ** ?? ftHtH幾點(diǎn)說明： 1）極小值原理給出的只是最優(yōu)控制應(yīng)該滿足的 必要條件。 2）極小值原理的結(jié)果與用變分法求解最優(yōu)問題的結(jié)果相比，差別僅在于 極值條件。 4） 非線性時(shí)變系統(tǒng) 也有極小值原理。 3）這里給出了極小值原理，而在龐德里亞金著作論述的是 極大值原理。 因?yàn)榍笮阅苤笜?biāo) J的極小值與求 － J的極大值等價(jià)。 華中科技大學(xué) 研究生課程 57 2022/6/23 4 用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法求解最優(yōu)控制問題 右圖為某小城鎮(zhèn)交通路線圖。起點(diǎn)站為 S，終點(diǎn)站為 F， )1(1x )2(1x )3(1x)1(2x )2(2x )3(2x 站與站之間的里程標(biāo)在圖上，要求選擇一條路線走法，使里程最短。這是一個(gè)最優(yōu)控制問題。 一種辦法是將從 S 到 F 所有可能走法都列出來，并且把每種走法的里程標(biāo)在各條路線上，找出最短的。 動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的基本思想 華中科技大學(xué) 研究生課程 58 2022/6/23 華中科技大學(xué) 研究生課程 59 2022/6/23 第二個(gè)辦法：從最后一段開始，向前倒推。當(dāng)?shù)雇频侥骋徽緯r(shí)，計(jì)算該站到終點(diǎn)站的總里程，并選擇里程最少的走法。 華中科技大學(xué) 研究生課程 60 2022/6/23 從該例看出，這種解法有兩個(gè)特點(diǎn) : 第一，它把一個(gè)復(fù)雜的問題（即：決定一條路線的選擇問題）變成許多個(gè)簡單的問題（即：每次只決定向上走（ p）還是向下走（ q）的問題），因此問題的求解變得簡單容易了。 不變嵌入原理的含義是：為了解決一個(gè)特定的最優(yōu)控制問題，而把原問題嵌入到一系列相似的但易于求解的問題中去。對(duì)于一個(gè)多級(jí)最優(yōu)控制過程來說，就是把原來的多級(jí)最優(yōu)控制問題代換成一系列單級(jí)最優(yōu)控制問題。 華中科技大學(xué) 研究生課程 61 2022/6/23 5 線性狀態(tài)調(diào)節(jié)器 引言 線性系統(tǒng)以二次型為性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題，已經(jīng)在國內(nèi)、外的工程實(shí)踐中得到應(yīng)用。原因如下： 1）被控對(duì)象是線性的，最優(yōu)控制問題容易求得解析解。 2）線性系統(tǒng)最優(yōu)控制的結(jié)果，可以在小信號(hào)條件下，應(yīng)用于非線性系統(tǒng)。 3）最優(yōu)控制器是線性的，易于實(shí)現(xiàn)。 4）線性、二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題除了得到最優(yōu)解外，還可以導(dǎo)出經(jīng)典控制理論的一些特性。 華中科技大學(xué) 研究生課程 62 2022/6/23 有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器 線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 uBxAx )()( tt ???)()( 00 tt tt xx ??尋找一個(gè)最優(yōu)控制 ，使 *u? ? tttttJ fttTTffT d)()(21)()(210???? uRuxQxFxx為極小。 其中， x 為 n 維狀態(tài)向量； u 為 r 維控制向量，且 u 不受限制。 其中， F為 對(duì)稱半正定常數(shù)陣； 為 對(duì)稱半正定時(shí)變陣。 為 對(duì)稱正定時(shí)變陣。 nn? nn?)(tQnn?)(tR華中科技大學(xué) 研究生課程 63 2022/6/23 求解這個(gè)最優(yōu)控制問題，可以用極小值原理，也可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。這里用極小值原理來求解。 1）哈密頓函數(shù)為 ? ?uBxAλuRuxQxλux )()()(21)(21),( tttttH TTT ????2）伴隨方程為 λAxQxλ )()( ttH T????????)()( ff tt Fxλ ?3）控制方程為 0)()( ????? λBuRu ttH TλBRu )()()( 1* ttt T???0)(22 ???? tH Ru 故 J 取極小值 華中科技大學(xué) 研究生課程 64 2022/6/23 4）將 代入狀態(tài)方程得 *uλBRBxAx )()()()( 1 tttt ????初始狀態(tài)為 )(0tx可求解這個(gè)最優(yōu)控制問題。 另外一種求解方式： 設(shè) xPλ )()( tt ?其中， 為待定的 時(shí)變陣 )(tP nn?對(duì) t 求導(dǎo)，并且 xPBRBPAPPλ 1 )]()()()()()()()([ tttttttt T???? ??華中科技大學(xué) 研究生課程 65 2022/6/23 寫成 xQPAxQxPAλ )]()()([)()()( tttttt TT ???????可以得到 0)()()()()()()()()()()( ????? ? ttttttttttt TT QPBRBPPAAPP 1?FP ?)( ft上式稱為 Riccati微分方程。其邊界條件為 )()()()( ffff tttt FxxPλ ??得到 xPBRu )()()(* 1 ttt T???華中科技大學(xué) 研究生課程 66 2022/6/23 狀態(tài)反饋的閉環(huán)方程為 xGx )(t??其中 )()()()()()(1 tttttt T PBRBAG ???)()( tt TPP ?兩點(diǎn)說明： 1）由于矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠痰慕鉃閷?duì)稱 因此有 個(gè)獨(dú)立的非線性標(biāo)量微分方程。 )1(21 ?nn2）最優(yōu)性能指標(biāo)為 )()()(21 000* tttJ T xPx?華中科技大學(xué) 研究生課程 67 2022/6/23 6 線性伺服機(jī)問題 要求系統(tǒng)輸出跟蹤某個(gè)指定的輸入函數(shù)問題，稱為伺服機(jī)問題。 有限時(shí)間伺服機(jī)問題 )()( 00 tt tt xx ??uBxAx )()( tt ???xCy )(t?線性時(shí)變系統(tǒng)方程 )(tη要求系統(tǒng)的輸出跟蹤指定的輸入函數(shù) 。 與輸出向量 y 有相同維數(shù)。尋求最優(yōu)控制 ，使以下性能指標(biāo)取極小值。 )(tη)(* tu 性能指標(biāo) J 中的加權(quán)陣 F 和 Q(t) 為半正定， R(t) 為正定。 ? ? ? ?? ? ? ?? ? tttttttttttJfttTffTffffTffduRuηyQηyηyFηy? ?????????0)()()()()()(21)()()()(21華中科技大學(xué) 研究生課程 68 2022/6/23 哈密頓函數(shù)為 ?),( tH λux ? ? ? ?? ?? ?uBxAλuRuηxCQηxC)()()()()()()()(21ttttttttTTT?????由控制方程 0)()( ????? λBuRu ttH T得到 λBRu )()(1 tt T* ???? ? λAηxCQCxλ )()()()()( tttttH TT ?????????由伴隨方程 邊界條件為 ? ?)()()()()( ffffTf ttttt ηxCFCλ ??可以得到 )()()()()( 1 ttttt T λBRBxAx ????華中科技大學(xué) 研究生課程 69 2022/6/23 可見，伺服機(jī)問題變成兩點(diǎn)邊界值問題。 對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得 )()()()( tttt ξxPxPλ ???? ???，有 )()()()()()()]()()()()()()()([)(11tttttttttttttttTTξξBRBPxPBRBPAPPλ??????????得 )()()()()()]()()()()([)( ttttttttttt TTTT ηQCξAxPACQCλ ??????)()()( ttt ξxPλ ??另外一種方法：這時(shí)不能像線性調(diào)節(jié)器那樣，僅認(rèn)為 和 有關(guān)系。為此，設(shè) )(t? )(tx華中科技大學(xué) 研究生課程 70 2022/6/23 可以得到 ??? ? )()()()()()()()( 1 tttttttt T PBRBPAPP?0)()()()()( ??? ttttt TT PACQC)()()( ffTf ttt FCCP ?)()()( ffTf ttt F ηCξ ?)()()()()()( 1 tttttt T ξBRBPξ ???0)()()()()( ??? ttttt TT ηQCξA解出 和 后，就求得最優(yōu)控制 )(tP )(tξ)()()()()()()( 11* ttttttt TT ξBRxPBRu ?? ???可見， 包括兩項(xiàng)：一項(xiàng)是狀態(tài) x 反饋；另一項(xiàng)代表跟蹤 所必須的控制信號(hào)。 *u )(tη