【正文】 大學 研究生課程 60 2022/6/23 )(δ ftx應當注意，末值時刻 自由時， 不等于 ftftt?xδffttf ttt f δ)(δ)(δ xxx ??? ?或 ffftt tttf δ)()(δδ xxx ????上式代入（ 35）式 fffTTttfTffttHttHHtttJfδ)(dδδ)(δ)()(δ0??????????????????????????????????????????????????? ???uuxλxxλx?華中科技大學 研究生課程 61 2022/6/23 性能指標取極值時，必有 0δ ?J0δ)(dδδ)(δ)()(δ0???????????????????????????????????????????????????? ?fffTTttfTffttHttHHtttJf??uuxλxxλx?（ 36） 選擇 使其滿足 )(tλxλ ???? H? （ 37） )()( ff tt xλ ???? ? （ 38） 由于 、 是任意的，可得 uδftδ0???uH （ 39） 華中科技大學 研究生課程 62 2022/6/23 （ 40） ff ttH ???? ?)(（ 41） 而 ),( tH uxfλx ?????例 3 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ux??1)0( ?x 0)( ?ftx性能指標 tutJ ftf d022 ???求最優(yōu)控制 和末值時刻 ，使性能指標泛函取極小值。 )(* tuft解 經判斷系統(tǒng)是能控的 1） 構造哈密頓函數(shù) uutx, uH ??? 2),(華中科技大學 研究生課程 63 2022/6/23 2）由控制方程 ，得 0???uH02 * ?? ?u 或 ?21* ??u3）由伴隨方程 0????? xH?? 1cc o ns t ??? 1* 21 cu ??4）將 代入狀態(tài)方程 *u121 cx ??? 解為 ftc 21 ?2121 ctcx ???2c其中， 、 為積分常數(shù)，由 ， 確定，得 1c )0(x )( ftx1)0(2 ?? xc華中科技大學 研究生課程 64 2022/6/23 5）由于 自由， ，得到 ft 0)( ?????ff ttH?fff ttutu 2)()(2 ??? ? 02)()(2 ??? fff ttutu ?或 解得 31 16?c312??ft31* 2??u12 31* ??? tx華中科技大學 研究生課程 65 2022/6/23 3 極小值原理及其在快速控制中的應用 問題的提出 用變分法求解最優(yōu)控制時，認 為控制向量 不受限制。但是 實際的系統(tǒng)，控制信號都是受到 某種限制的。 )(turRUt ??)(u 因此，應用控制方程 來確定最優(yōu)控制，可能出錯。 0???uHa)圖中所示， H 最小值出現(xiàn)在左側，不滿足控制方程。 b)圖中不存在 0???uH華中科技大學 研究生課程 66 2022/6/23 極小值原理 非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 （ 42） ),( uxfx ??ft初始時刻 ，初始狀態(tài) ，末值時刻 ，末端狀態(tài) 自由 0t )( 0tx )( ftxUu ?)(t （ 43） 性能指標為末值型性能指標 ]),([ ff ttJ x??（ 44） )( ftx要求在狀態(tài)方程約束下，尋求最優(yōu)控制 及 使系統(tǒng)從 轉移到 ，并使 J 取極小值。 Uu ?* ft )( 0tx華中科技大學 研究生課程 67 2022/6/23 以下就是用極小值原理解前面的問題： 設 為容許控制， 為對應的狀態(tài)軌線。為了使它們分別成為最優(yōu)控制 和最優(yōu)軌線 ，存在一個向量函數(shù) ，使得 )(tu )(tx)(t*u )(t*x )(t*λλx ??? H*? （ 45） xλ ??? H*?（ 46） 其中哈密頓函數(shù)： ),(),( uxfλλux TtH ? （ 47） )(* tλ（ 49） （ 48） 和 滿足邊界條件 )()( 0*0tt tt xx ??)()(*ff tt xλ ??? ?)(* tx華中科技大學 研究生課程 68 2022/6/23 則哈密頓函數(shù) H 相對最優(yōu)控制取極小值，即 （ 50） ],[m in),( ***** tHtH λuxλux Uu ??或者 ),( *** tH λux ],[ ** tH λux≤ （ 51） c o n s ttHtH f ?? )()( **在末值時刻 是自由的情況 ft哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線隨時間的變化規(guī)律： 在末值時刻 是固定的情況 ft（ 52） （ 53） 0)()( ** ??ftHtH幾點說明： 1）極小值原理給出的只是最優(yōu)控制應該滿足的必要條件。 2）極小值原理的結果與用變分法求解最優(yōu)問題的結果相比，差別僅在于極值條件。 4）非線性時變系統(tǒng)也有極小值原理。 3）這里給出了極小值原理，而在龐德里亞金著作論述的是極大值原理。因為求性能指標 J的極小值與求 － J的極大值等價。 華中科技大學 研究生課程 69 2022/6/23 二次積分模型的快速控制 在問題 2中，若 ， ，令 。就是二次積分模型。 0?FT 1/ ?Dm JK )()( tutI D ?其狀態(tài)方程模型 ux ?2?21 xx ???（ 54） u ≤ 1 （ 55） 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 )0(1x )0(2x （ 56） 末值狀態(tài)為 0)(1 ?ftx 0)(2 ?ftx（ 57） 性能指標為 ft ttJ f ?? ?0d（ 58） 華中科技大學 研究生課程 70 2022/6/23 )( ftx 要求在狀態(tài)方程約束下，尋求滿足（ 55）式的最優(yōu)控制 ，使系統(tǒng)從 轉移到 ，同時使 J 取極小值。 )(* tu)0(x因為在這個最優(yōu)控制問題中，控制信號 受限制，因此用極小值原理來求解。系統(tǒng)是能控的，其解存在且唯一。 )(tu1）哈密頓函數(shù)為 uxtuxH221),( ??? ?? （ 59） 2）根據極值條件（ 50），來確定最優(yōu)控制。 只能用分析的方法確定 u(t)，使哈密頓函數(shù)取極小值。顯然，在 u的限制條件下，選擇 u 使H 取得極小。有 ???????0)(10)(122*ttu?? （ 60） 或 )(s ig n 2* tu ??? （ 61） 華中科技大學 研究生課程 71 2022/6/23 3）伴隨方程為 011 ?????xH??122 ?? ??????xH?如果 的初始值為 ， ，則 )(tλ11 )0( d?? 22 )0( d??11 d??tdd 122 ???（ 62） （ 63） 在 [0， ]內最多變號一次，最優(yōu)控制函數(shù)有以下可能的 4種情況 )(2 t? ft華中科技大學 研究生課程 72 2022/6/23 4）由狀態(tài)方程可知，當 時，求得 1* ??u txtx ?? )0()(222211 21)0()0()( ttxxtx ???消去 t 得 )(21)]0(21)0([)( 222211 txxxtx ?? ?或寫成 222211 21)]0(21)0([ xxxx ?? ?為了形象地表示系統(tǒng)的運動形態(tài)，引用相平面方法，畫出相軌跡如下圖所示。相軌跡為兩族拋物線。 華中科技大學 研究生課程 73 2022/6/23 從 到達 的相軌跡只有兩條 、 。 0?)0(x 0?)(ftx ?r ?r1* ??u ? 22121 21),( xxxxr ???2x ≤ 0 1* ??u ? 22121 21),( xxxxr ????2x ≥ 0 ?r將 和 合起來， ?r ? ??????? ?????? 22121 21, xxxxxrrr ?曲線 r 將相平面分成兩個區(qū)域 和 ?R ?R? ??????? ???? 22121 21, xxxxxR? ??????? ???? 22121 21, xxxxxR華中科技大學 研究生課程 74 2022/6/23 當初始狀態(tài) 位于 ： 為 （ +1， － 1） )0(x?R *u最優(yōu)軌線：當初始狀態(tài) 位于 ： 為 （ － 1， +1） )0(x ?R *u 0??? CBA0?? ED曲線 r 常稱為轉移曲線或開關曲線。 開關曲線方程式為 021),( 22121 ??? xxxxxh也稱為開關函數(shù)。最優(yōu)控制為 ),(21 xxh??????11)(* tu0),( 21 ?xxh當 及 ， 0),( 21 ?xxh 2x ≤ 0 0),( 21 ?xxh當 及 ， 0),( 21 ?xxh 2x ≥ 0 最優(yōu)控制系統(tǒng)的結構圖，如下圖所示 華中科技大學 研究生課程 75 2022/6/23 5）最優(yōu)性能指標 初始狀態(tài)在 A點： COACf ttt ??*)0(21)0()0( 2212 xxxt AC ??? )0(21)( 221 xxt CO ??COACf ttt ??* )0(2)0(4)0(2212 xxx ???)()(* tItu D?說明：通過這個最優(yōu)控制問題的求解發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)控制與問題 61不同。在問題 61中， 為時間的三角函數(shù)。 而在這里， 為時間方波函數(shù)。原因在于性能指標不同，因此 也不同。因此，在說到最優(yōu)控制問題時，一定要指明性能指標，即求解在什么性能指標下的最優(yōu)。 )()(* tItu D?)(* tu華中科技大學 研究生課程 76 2022/6/23 4 用動態(tài)規(guī)劃法求解最優(yōu)控制問題 右圖為某小城鎮(zhèn)交通路線圖。起點站為 S，終點站為 F， )1(1x )2(1x )3(1x)1(2x )2(2x )3(2x 站與站之間的里程標在圖上，要求選擇一條路線走法，使里程最短。這是一個最優(yōu)控制問題。 一種辦法是將從 S 到 F 所有可能走法都列出來，并且把每種走法的里程標在各條路線上，找出最短的。 動態(tài)規(guī)劃法的基本思想 華中科技大學 研究生課程 77 2022/6/23 華中科技大學 研究生課程 78 2022/6/23 第二個辦法：從最后一段開始，向前倒推。當?shù)雇频侥骋徽緯r，