【正文】 第谷在世時(shí)，從 1576年到 1599年在赫芬島上一共觀測(cè)了 20多年。這就是說(shuō)，第谷大約一共能觀測(cè)到 12次火星“沖”。幸運(yùn)的是開(kāi)普勒在第谷的觀測(cè)資料中，恰好找到了 12次火星“沖”的記載。開(kāi)普勒正好是利用這些記載來(lái)計(jì)算的。 ?180?49?769?49?409武際可 :科技史選講之四 72 開(kāi)普勒計(jì)算地球軌道示意 武際可 :科技史選講之四 73 ? 開(kāi)普勒從一次“沖”開(kāi)始，當(dāng)過(guò)了 687日時(shí)，火星繞太陽(yáng)回到了原處，而地球走了差 43天不到 2周。如圖， 43天對(duì)應(yīng)于角 ，這個(gè)角度可以在當(dāng)時(shí)測(cè)太陽(yáng)、火星的夾角得到 。令 S為太陽(yáng)， E為地球， M為火星，在“沖”時(shí)地球?yàn)? ，過(guò)了 687日地球?yàn)? ，再過(guò) 687日地球?yàn)? ，再過(guò) 687日地球?yàn)闉? ， … 。 SM同之間的角度是可以及時(shí)測(cè)得的，設(shè) SM為 1，則可以通過(guò)計(jì)算得到 。這樣就得到一串地球的位置 ，從而將地球的軌道畫(huà)出來(lái)。開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)地球的軌道是一個(gè)圓，而太陽(yáng)卻不在圓心，據(jù)他計(jì)算，太陽(yáng)距圓心大約為半徑的 1/59倍，即約為半徑的 。開(kāi)普勒還注意到地球的運(yùn)動(dòng)速度不是均勻的，在近日點(diǎn)比遠(yuǎn)日點(diǎn)要快。 1?0E 1E 2E),3,2,1( ??iSEi),3,2,1( ??iSEi3E武際可 :科技史選講之四 74 ? 有了地球的軌道，開(kāi)普勒接著去推算火星的軌道。很自然地，他認(rèn)為火星的軌道也是一個(gè)偏心圓，但是太陽(yáng)的偏心在什么方向，偏心距多大，需要推算。為此，他從第谷的 12組火星“沖”的記錄中，選擇了 4組，即火星軌道圓上的 4點(diǎn)來(lái)推算太陽(yáng)的位置。在當(dāng)時(shí)，這是一項(xiàng)十分復(fù)雜的計(jì)算工作，他先假定一個(gè)太陽(yáng)的位置，然后計(jì)算，反復(fù)調(diào)整，大約進(jìn)行了 70次計(jì)算，費(fèi)了 4年的時(shí)間。終于定下一個(gè)比較滿意的火星偏心圓軌道。 武際可 :科技史選講之四 75 ? 但是，這個(gè)軌道雖然與選定的 4次“沖”符合很好，對(duì)另外的 8次“沖”卻有誤差。這個(gè)誤差大約是角度 ，這是一個(gè)不大的誤差。 大約是一個(gè)圓周角的8/(360 60)=1/2700。不過(guò)開(kāi)普勒心里很清楚，這仍然是一個(gè)不小的誤差，因?yàn)樗嘈诺诠鹊挠^測(cè)誤差絕不會(huì)超過(guò)。開(kāi)普勒為追求更高的精度，終于不得不打破火星軌道是偏心圓的框框。他試驗(yàn)了多種圓和類似卵圓的曲線，最后他才試驗(yàn)橢圓軌道。結(jié)果 12次“沖”都符合很好。 8?8?武際可 :科技史選講之四 76 他最后推求火星實(shí)際軌道的方法可以表為如圖 8，令 … 分別代表火星“沖”的位置 … 是“沖”過(guò)后 687天的位置，這時(shí)火星仍在原來(lái)位置上。因?yàn)榈厍蜍壍郎系? 是已知的， 同 之間的夾角可以由實(shí)測(cè)得到，簡(jiǎn)單的三角計(jì)算便可以得到的長(zhǎng)度， 12次“沖”可以計(jì)算出火星軌道上的12個(gè)點(diǎn)。計(jì)算表明火星軌道是一個(gè)橢圓。這便是開(kāi)普勒第一定律。 開(kāi)普勒計(jì)算火星軌道示意圖 ， 1M231 2 3,M M M1 2 3, , ,E E E( 1, 2,3, )iSE i ?( 1, 2,3, )iSE i ?( 1, 2,3, )iSM i ?武際可 :科技史選講之四 77 ? 開(kāi)普勒在計(jì)算地球與火星的軌道時(shí)，還發(fā)現(xiàn)了所謂開(kāi)普勒第二定律，即從橢圓到行星的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)，掃過(guò)的面積相等。之后，他還發(fā)現(xiàn)了第三定律，即各個(gè)行星運(yùn)動(dòng)周期的平方與各自離太陽(yáng)的平均距離的立方成正比。這三個(gè)定律合稱為開(kāi)普勒關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的三定律，都收在他 1619年出版的專著 《 宇宙的和諧 》 一書(shū)中。 ? 開(kāi)普勒三定律不僅對(duì)于天文學(xué)是十分重要的 ,開(kāi)普勒因此被稱為“天空的立法者”的稱號(hào)，更為重要的是，它奏響了經(jīng)典力學(xué)誕生的序曲。有了開(kāi)普勒三定律，再有了伽利略關(guān)于落體運(yùn)動(dòng)的研究，萬(wàn)有引力定律與經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng)的確立，便是呼之欲出的事了。 武際可 :科技史選講之四 78 開(kāi)普勒第一定律 武際可 :科技史選講之四 79 開(kāi)普勒第二定律 武際可 :科技史選講之四 80 3． 4 開(kāi)普勒對(duì)他的 行星運(yùn)動(dòng)三定律的敘述 ? 開(kāi)普勒在他的 《 宇宙的和諧 》 中對(duì)他發(fā)現(xiàn)的行星的運(yùn)動(dòng)三大定律是這樣介紹的：“談?wù)労椭C性得以確立的運(yùn)動(dòng)，我再次提請(qǐng)讀者銘記我在 《 火星評(píng)述 》 中根據(jù)第谷極其精確的觀測(cè)已經(jīng)闡明的下述事實(shí)：經(jīng)過(guò)同一偏心圓上同樣周日弧的速度是不等的，隨著與運(yùn)動(dòng)之源太陽(yáng)的距離不同，經(jīng)過(guò)偏心圓上相等弧的時(shí)間也彼此不同；另一方面，若假定每一場(chǎng)合的時(shí)間都相等，比如說(shuō)等于一自然日，那么同一偏心圓上與之對(duì)應(yīng)的兩段周日弧與各自到太陽(yáng)的距離成反比?！薄拔以?22年前由于尚未洞悉方法而暫時(shí)擱置的《 宇宙的神秘 》 的一部分，必須重新完成并在此引述。因?yàn)樵诤诎抵羞M(jìn)行了長(zhǎng)期探索之后，借助布拉赫的觀測(cè)，我先是發(fā)現(xiàn)了軌道的真實(shí)距離，然后終于豁然開(kāi)朗，發(fā)現(xiàn)了軌道周期之間的真實(shí)關(guān)系，倘若問(wèn)及確切的年月， …… 雖已遲了，仍在徘徊觀望，歷盡歲月，終歸光臨； 武際可 :科技史選講之四 81 ? 這一思想發(fā)軔于 1618年 3月 8日 ， 但當(dāng)時(shí)試驗(yàn)未獲成功 ， 又因此以為是假象遂擱置下來(lái) 。 最后 ， 5月 15日來(lái)臨 ， 一次新的沖擊開(kāi)始了 。起先我以為自己處于夢(mèng)幻之中正在為那個(gè)苛求已久的原理設(shè)想一種可行的方案 。 思想的風(fēng)暴一舉掃蕩了我心中的陰霾 ， 并且在我以布拉赫的觀測(cè)為基礎(chǔ)進(jìn)行了 17年的工作與我現(xiàn)今的潛心研究之間獲得了圓滿的一致 。 然而 ， 這條原理是千真萬(wàn)確地真實(shí)而又極其精確的：任意兩個(gè)行星的周期正好與其距離平方根的立方成比例；但是 ， 應(yīng)該看到 ， 橢圓軌道兩直徑的算術(shù)平均值較其半長(zhǎng)徑稍小 。 因此 ， 舉例來(lái)說(shuō) ， 地球的周期為 1年 ， 土星的周期為 30年 ，如果取這兩個(gè)周期之比的立方根 ， 再平方之 ， 得到的數(shù)值剛好就是土星和地球到太陽(yáng)的中距離之比 。 因?yàn)?1的立方根是 1， 再平方仍是 1；而 30的立方根大于 3， 平方之 ， 則大于 9， 因此土星與太陽(yáng)的平均距離略大于日地平均距離的 9倍 。 ” 武際可 :科技史選講之四 8