【正文】 第谷在世時，從 1576年到 1599年在赫芬島上一共觀測了 20多年。這就是說，第谷大約一共能觀測到 12次火星“沖”。幸運的是開普勒在第谷的觀測資料中，恰好找到了 12次火星“沖”的記載。開普勒正好是利用這些記載來計算的。 ?180?49?769?49?409武際可 :科技史選講之四 72 開普勒計算地球軌道示意 武際可 :科技史選講之四 73 ? 開普勒從一次“沖”開始，當過了 687日時，火星繞太陽回到了原處，而地球走了差 43天不到 2周。如圖， 43天對應于角 ，這個角度可以在當時測太陽、火星的夾角得到 。令 S為太陽， E為地球， M為火星，在“沖”時地球為 ，過了 687日地球為 ，再過 687日地球為 ，再過 687日地球為為 ， … 。 SM同之間的角度是可以及時測得的，設 SM為 1，則可以通過計算得到 。這樣就得到一串地球的位置 ，從而將地球的軌道畫出來。開普勒發(fā)現(xiàn)地球的軌道是一個圓，而太陽卻不在圓心，據(jù)他計算，太陽距圓心大約為半徑的 1/59倍，即約為半徑的 。開普勒還注意到地球的運動速度不是均勻的，在近日點比遠日點要快。 1?0E 1E 2E),3,2,1( ??iSEi),3,2,1( ??iSEi3E武際可 :科技史選講之四 74 ? 有了地球的軌道，開普勒接著去推算火星的軌道。很自然地，他認為火星的軌道也是一個偏心圓，但是太陽的偏心在什么方向，偏心距多大，需要推算。為此，他從第谷的 12組火星“沖”的記錄中，選擇了 4組，即火星軌道圓上的 4點來推算太陽的位置。在當時，這是一項十分復雜的計算工作，他先假定一個太陽的位置，然后計算，反復調(diào)整，大約進行了 70次計算，費了 4年的時間。終于定下一個比較滿意的火星偏心圓軌道。 武際可 :科技史選講之四 75 ? 但是，這個軌道雖然與選定的 4次“沖”符合很好，對另外的 8次“沖”卻有誤差。這個誤差大約是角度 ，這是一個不大的誤差。 大約是一個圓周角的8/(360 60)=1/2700。不過開普勒心里很清楚，這仍然是一個不小的誤差，因為他相信第谷的觀測誤差絕不會超過。開普勒為追求更高的精度，終于不得不打破火星軌道是偏心圓的框框。他試驗了多種圓和類似卵圓的曲線，最后他才試驗橢圓軌道。結(jié)果 12次“沖”都符合很好。 8?8?武際可 :科技史選講之四 76 他最后推求火星實際軌道的方法可以表為如圖 8，令 … 分別代表火星“沖”的位置 … 是“沖”過后 687天的位置，這時火星仍在原來位置上。因為地球軌道上的 是已知的， 同 之間的夾角可以由實測得到，簡單的三角計算便可以得到的長度， 12次“沖”可以計算出火星軌道上的12個點。計算表明火星軌道是一個橢圓。這便是開普勒第一定律。 開普勒計算火星軌道示意圖 ， 1M231 2 3,M M M1 2 3, , ,E E E( 1, 2,3, )iSE i ?( 1, 2,3, )iSE i ?( 1, 2,3, )iSM i ?武際可 :科技史選講之四 77 ? 開普勒在計算地球與火星的軌道時，還發(fā)現(xiàn)了所謂開普勒第二定律，即從橢圓到行星的矢徑在相等的時間內(nèi)，掃過的面積相等。之后，他還發(fā)現(xiàn)了第三定律，即各個行星運動周期的平方與各自離太陽的平均距離的立方成正比。這三個定律合稱為開普勒關于行星運動的三定律，都收在他 1619年出版的專著 《 宇宙的和諧 》 一書中。 ? 開普勒三定律不僅對于天文學是十分重要的 ,開普勒因此被稱為“天空的立法者”的稱號，更為重要的是，它奏響了經(jīng)典力學誕生的序曲。有了開普勒三定律，再有了伽利略關于落體運動的研究，萬有引力定律與經(jīng)典力學系統(tǒng)的確立，便是呼之欲出的事了。 武際可 :科技史選講之四 78 開普勒第一定律 武際可 :科技史選講之四 79 開普勒第二定律 武際可 :科技史選講之四 80 3． 4 開普勒對他的 行星運動三定律的敘述 ? 開普勒在他的 《 宇宙的和諧 》 中對他發(fā)現(xiàn)的行星的運動三大定律是這樣介紹的：“談談和諧性得以確立的運動，我再次提請讀者銘記我在 《 火星評述 》 中根據(jù)第谷極其精確的觀測已經(jīng)闡明的下述事實：經(jīng)過同一偏心圓上同樣周日弧的速度是不等的，隨著與運動之源太陽的距離不同，經(jīng)過偏心圓上相等弧的時間也彼此不同；另一方面，若假定每一場合的時間都相等，比如說等于一自然日，那么同一偏心圓上與之對應的兩段周日弧與各自到太陽的距離成反比?！薄拔以?22年前由于尚未洞悉方法而暫時擱置的《 宇宙的神秘 》 的一部分，必須重新完成并在此引述。因為在黑暗中進行了長期探索之后，借助布拉赫的觀測，我先是發(fā)現(xiàn)了軌道的真實距離，然后終于豁然開朗，發(fā)現(xiàn)了軌道周期之間的真實關系，倘若問及確切的年月， …… 雖已遲了，仍在徘徊觀望，歷盡歲月，終歸光臨； 武際可 :科技史選講之四 81 ? 這一思想發(fā)軔于 1618年 3月 8日 ， 但當時試驗未獲成功 ， 又因此以為是假象遂擱置下來 。 最后 ， 5月 15日來臨 ， 一次新的沖擊開始了 。起先我以為自己處于夢幻之中正在為那個苛求已久的原理設想一種可行的方案 。 思想的風暴一舉掃蕩了我心中的陰霾 ， 并且在我以布拉赫的觀測為基礎進行了 17年的工作與我現(xiàn)今的潛心研究之間獲得了圓滿的一致 。 然而 ， 這條原理是千真萬確地真實而又極其精確的：任意兩個行星的周期正好與其距離平方根的立方成比例；但是 ， 應該看到 ， 橢圓軌道兩直徑的算術平均值較其半長徑稍小 。 因此 ， 舉例來說 ， 地球的周期為 1年 ， 土星的周期為 30年 ，如果取這兩個周期之比的立方根 ， 再平方之 ， 得到的數(shù)值剛好就是土星和地球到太陽的中距離之比 。 因為 1的立方根是 1， 再平方仍是 1；而 30的立方根大于 3， 平方之 ， 則大于 9， 因此土星與太陽的平均距離略大于日地平均距離的 9倍 。 ” 武際可 :科技史選講之四 8