【正文】 ?????????????????????????????????????????dLdddLxpxxxLLLxpxxxLLxXxXxXP D FXXXXXXXxpxXPP D FXininininnnnn，或者具體解法為：令值。性最大的際觀測數(shù)據(jù)出現(xiàn)的可能也就是說，要找到使實。到最大值的估計量內(nèi)，找到令似然函數(shù)達(dá)取值范圍可能的在所謂極大似然法，就是稱為樣本的似然函數(shù)。發(fā)生的概率為：即事件，的聯(lián)合的樣本，那么是來自設(shè)。是待估參數(shù)，為的設(shè)總體?????? 極大似然法（ method of maximum likelihood） 點估計 ? 極大似然法：實例 ???? ???????????????????????????????????????????????xxnkkxnkxkdkdkxnkxkLkkkkkxpkLkXXXXxkkxXPP D FXiiiiixxxxniininxxiiii101)l n (0)1l n ()(ln)()(ln)1()1(),()(,1,0,)1()()1(111211解得：，即：其一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)為若要令上式取極大值，有：解：的極大似然估計值。的樣本，試求是來自，為的設(shè)總體?點估計的漸進(jìn)正態(tài)性（ asymptotic normality） ? 當(dāng)樣本容量無限增大時估計量趨向于正態(tài)分布 中心極限定理（ central limit theorem, CLT） ? 定理一（獨立同分布的中心極限定理）：當(dāng)樣本容量無限增大時，任何總體的隨機樣本的均值趨近于正態(tài)分布。 )1,0(N~nXZ)n,(N~)n(Xn1XXX,X,X2n1ii2n21???????????? ??，即：，那么：和均值和方差分別為，的樣本，它們相互獨立是若隨機變量 ?中心極限定理 ? 定理二：李雅普諾夫（ Liapunov）定理 )1,0(~),(~)(,2,1,)(,)(,1211211221NSZNnXSniXV a rXEXXXniiniiniiniiniiiiiin?????????????????????????即：，那么：差分別為：相互獨立，其均值和方若隨機變量??區(qū)間估計 ? 對于一個未知參數(shù)，除了估計其近似值（點估計）外，還希望知道這個值的精確程度，從而引出 區(qū)間估計（ interval estimation） 問題 置信區(qū)間（ confidence interval） ).1(),()(11),(1)(:)10(,21212121212121?????????????????????是的真值的概率含有。這意味著隨機區(qū)間置信度稱為置信系數(shù)信上限，分別稱為置信下限和置和的置信區(qū)間，的置信系數(shù)為是那么稱隨機區(qū)間，滿足、如果的函數(shù)，對于給定的都是樣本、估計量???????????????????? PXXXn?區(qū)間估計 ? 正態(tài)總體均值的區(qū)間估計：總體方差已知 。的置信區(qū)間為：的置信系數(shù)為因而即：有：，即：則已知。，的樣本，是隨機變量)znX,znX(11}znXznX{P1}zn/X{P)1,0(N~n/X)n,(N~X),(N~XXX,X,X2/2/2/2/2/222n21??????????????????????????????????????????? 實例：總體方差已知時正態(tài)總體均值的區(qū)間估計 的置信區(qū)間的一個是那么，如果根據(jù)某一樣本得到。的真值的概率為即：上述區(qū)間包含的置信區(qū)間為：的則，的樣本，是隨機變量%95),(),(,67095%),()100625,100625(%95,100,625),(~,2/2221?????????????????????xXXzXzXnNXXXXXn?? 正態(tài)總體均值的區(qū)間估計：總體方差未知 ) 0 7, 0 0())15(t162 0 2 0 3),15(t162 0 2 0 3(%95,16n,2 0 2 , 0 3x)XX(1n1S)),1n(tnSX),1n(tnSX(1)1n(t~n/SX),(N~XXX,X,X2/n1i2i2/2/22n21???????????????????????的置信區(qū)間為：的一個則，譬如，若。的置信區(qū)間為：的置信系數(shù)為，因而則未知。，的樣本，是隨機變量??????????? 假設(shè)檢驗 假設(shè)檢驗（ hypothesis testing） ? 在總體的 PDF未知或某些參數(shù)未知的情況下，對總體的分布或參數(shù)提出某些假設(shè)，然后根據(jù)樣本對提出的假設(shè)作出是拒絕還是接受的判斷。實例： ? Bush和 Kerry競選總統(tǒng)， Bush獲得 42%的選票而 Kerry獲得 58%的選票。 Bush懷疑大選中有作弊行為，雇傭一個咨詢機構(gòu)隨機抽取100個選民調(diào)查其選舉意愿，發(fā)現(xiàn)有 53人支持他， 47人支持 Kerry。由此 Bush提出兩個假設(shè)： a. H0(虛擬假設(shè) /原假設(shè)， null hypothesis)： v= （沒有作弊） b. H1(對立假設(shè) /備擇假設(shè)， alternative hypothesis)： v（有作弊） 第 Ⅰ 類錯誤（ type Ⅰ error） ? 拒絕了一個真實的虛擬假設(shè) 第 Ⅱ 類錯誤（ type Ⅱ error） ? 沒有拒絕一個錯誤的虛擬假設(shè) ? 理論上我們希望犯兩類錯誤的概率都盡可能小，但事實上不可能同時最小化兩類錯誤。為此，我們首先考慮減少犯第 Ⅰ 類錯誤的概率，并規(guī)定了一個可容忍的犯第 Ⅰ 類錯誤的概率 （譬如 , ），稱為 顯著性水平（ level of significance） 。 ? 在選定了顯著性水平之后，再考慮把犯第 Ⅱ 類錯誤的概率 ( )減到最小。并把不犯第 Ⅱ 類錯誤的概率 稱為 檢驗的功效（ power of the test） 。但一般來說我們不考慮檢驗的功效。 真實情況 H0真 H0假 檢驗結(jié)果 拒絕 Ⅰ 類錯誤 無錯 不拒絕 無錯 Ⅱ 類錯誤 ???1?討論 α與 β之間的關(guān)系 ?對于給定樣本，如果我們要減少第 Ⅰ 類錯誤，第 Ⅱ 類錯誤就要增加；反之亦然。 ?即如果我們企圖減少拒絕真實假設(shè)的概率，我們就同時增加了接受錯誤假設(shè)的概率。 ?如果錯誤的拒絕一個其實是真實的虛擬假設(shè)（第 Ⅰ 類錯誤）的 代價 ，比起錯誤的接受一個其實是錯誤的虛擬假設(shè)（第 Ⅱ 類錯誤）的代價相對昂貴 ，那么把第 Ⅰ 類錯誤的概率 α定得低些將是合理的。反之則反是。 假設(shè)檢驗的兩種方法： ? 置信區(qū)間法 ? 顯著性檢驗法 ? 假設(shè)檢驗的目的不是估計參數(shù)，而是對有關(guān)參數(shù)的假設(shè)做出檢驗，即拒絕或不拒絕提出的假設(shè)。 置信區(qū)間法 02/*02/*2/2/2221*1*0)(),(1)}({),(1),(~,:。:HznXHznXznXPznXNXXXXXHHn，則不能拒絕反之，若；就可以拒絕因此，假若給定的即：的置信區(qū)間為的置信系數(shù)為因此已知。，的樣本，是隨機變量??????????????????????????????????????置信區(qū)間法 ? 實例： 的假設(shè)于的概率拒絕總體均值等因此可以以不在上述區(qū)間內(nèi)，由于的置信區(qū)間為：的，已知，的樣本，是隨機變量6 8 09 5 %6 8 0) 7 4, 6 5()1 0 06 2 56 7 0,1 0 06 2 56 7 0(%956 8 0:。6 8 0:,1 0 0,6 7 0,6 2 5),(~,2/102221???????????zzHHnxNXXXXXn????????顯著性檢驗法 基本思想 .,//)1,0(~/),(~,:。:02/02/0222110顯著的，稱檢驗統(tǒng)計量是統(tǒng)計則拒絕若不顯著的；，稱檢驗統(tǒng)計量是統(tǒng)計則無法拒絕若對于選定的，其觀測值為為此定義檢驗統(tǒng)計量的偏差不應(yīng)太大。與，因而為真，則如果已知。，的樣本，是隨機變量HzzHzznxznXZNnXHNXXXXXHHaan????????????????????????????????顯著性檢驗法 拒絕域（ region of rejection） ? 拒絕原假設(shè)的檢驗統(tǒng)計量的值域（取值范圍）稱為拒絕域；拒絕域的邊界點稱為 臨界值（ critical value） 2/2/2/0222110),(~,:。:aaanzzzzzzHNXXXXXHH?????? ??和，臨界點為的拒絕域為：則已知。，的樣本，是隨機變量 ???????? 0 % % % % 顯著性檢驗法 ? 實例： 02/02/00222110 . 0,.50 . 0,.2100/25675670/675:。675:100,670,625),(~,HzzzzbHzzzzanxzHHnxNXXXXXn絕原假設(shè)的顯著性水平上無法拒即：在，所以由于若選定絕原假設(shè)的顯著性水平上可以拒即：在，所以由于若選定已知，的樣本，是隨機變量??????????????????????????????????顯著性檢驗法 0 ?z?0?z?? 雙尾檢驗（ twotailed test） ? 單尾檢驗（ onetailed test） ?? ?? ???? :。: 10 HHaanzzHHHbzzHHHaNXXXXX???????????的拒絕域為：。左尾檢驗：的拒絕域為：。右尾檢驗：已知。，的樣本，是隨機變量0100102221:。:.:。:.),(~,?????????????顯著性檢驗法 p值 /精確顯著性水平 (p value or exact level of significance) )|(|))30(|(||)||(|)1(~/:。:2/210的最低顯著性水平是也就是說，拒絕原假設(shè)。，所以查表可知，則要求，譬如，若，則的觀測值為若根據(jù)樣本計算出檢驗統(tǒng)計量為：未知）（對于值?？梢跃芙^原假設(shè)，稱為在多大的顯著性水平上算出計量的值后，精確地計根據(jù)樣本計算出檢驗統(tǒng)??????????????????pTPtTPpnttTPptTntnSXTHHp????????謝謝您的專注！