【正文】 為 優(yōu)于 ； 為 不劣于 ； 為 與 無差異 。 對集體選擇規(guī)則若不施加條件，則這類集體選擇規(guī)則的數(shù)量可能是驚人的： 例：一群有兩個成員甲、乙；兩個方案 、 ， 甲、乙都有三種偏好 于是有 9個群偏好斷面： {U,U}。{U,V}。{U,W}。 {V,U}。 {V,V}。{V,W}。{W,U}。{W,V}。{W,W}。 M每個斷面 Pk均可對應(yīng)三種偏好 (U,V,W)之一，于是 Gc共有 39=19683個。 ji xx ? ix jx ixixjxjxji xx ~1x 2x21 xx ?21 ~ xx12 xx ?UVWji xx ?? 兩條公理：個人 (或群 )對一集方案 公理 1(連通性 )：任兩方案的偏好，或 或 ， 或二者都成立。 公理 2 (傳遞性 )： 對 ，若 ， ， 則 。 ? ?mxxx , 21 ?kji xxx ,ji xx ? ij xx ?ki xx ?kj xx ?ji xx ?全序 除了兩個公理，阿羅指出社會函數(shù)還必須滿足 5個條件： 條件 1 完備域 群體所包括的個體至少有 2個，待選擇的方案至少有 3個，并允許存在任何邏輯上可能出現(xiàn)的個體選擇順序。 該條件說明集結(jié)函數(shù)所描述問題的范圍。如果群體中只有一個個體，則群體優(yōu)先順序即等同個體優(yōu)先順序，不值得討論。如只有一個方案，情況類似。如是 2個方案，問題要復(fù)雜得多，但仍比較好處理，問題域表示個人有足夠的選擇余地，這種余地被規(guī)定不少于 3個方案，可充分地反映出群決策和社會選擇所面臨問題的特點。 條件 2 群體優(yōu)先順序和個體優(yōu)先順序正相關(guān) 阿羅指出：必須要求社會福利函數(shù)能使社會選擇順序相對個人價值觀的改變作出正向反應(yīng)，至少不能是逆向反應(yīng)的。因此，如果某一備選社會狀態(tài)在每一個體排序中的地位都有所增高或保持不動，而其他備選狀態(tài)在排序中不變，那么要求在社會排序中，該備選社會狀態(tài)的地位也有所升高，至少不應(yīng)下降。 條件 3 無關(guān)備選方案的獨立性 如果備選方案集合中的某個方案被排除，則剩下方案的群體優(yōu)先順序應(yīng)保持原先這些方案之間的群體優(yōu)先順序。例如選舉，每個選民對若干候選人投票，實際上是填寫一張優(yōu)先順序表，而這時一位候選人突然退出選舉，雖然此候選人已從名單中劃去，但新候選人的群體優(yōu)先順序應(yīng)和原來群體優(yōu)先順序表一致。這個條件系強調(diào)獨立性，任何兩個選擇方案的社會選擇順序僅僅依賴個人對此兩方案的優(yōu)先順序判斷，與其他備選方案無關(guān)。這個條件的提出是合理的，否則選擇的結(jié)果會受到不相關(guān)方案的影響。然而，實際上獨立性條件是難以滿足和做到的。正因為如此，這個條件一直引起爭議。 條件 4 個人自主性條件 群體中各成員都能按各自的價值觀，自主地選擇備選方案，社會選擇順序必定是建立在個人選擇順序的基礎(chǔ)上，而不是強加的。所謂強加，指社會選擇無視成員們的優(yōu)先選擇順序。如宗教群體中教義規(guī)定了社會優(yōu)先順序，成年人給青年群體規(guī)定群體優(yōu)先順序。又如學(xué)生會內(nèi)部無論怎樣投票也改變不了課程考試評分的辦法。 條件 5 非獨斷性 不存在一個個體 ，當(dāng)其優(yōu)先順序為 時，群體優(yōu)先順序就會有 而不顧其他成員的優(yōu)先順序如何。 ji xx ?ji xx ?上述五項條件中，條件 1給出問題所涉及的范圍，這是社會選擇的必需條件。條件 2和條件 4表明群體選擇應(yīng)建立在群體中各成員選擇的基礎(chǔ)上，而不是和成員選擇背道而馳。條件 5否定個人獨斷獨行。這 3條都是現(xiàn)代社會理應(yīng)普遍接受的價值判斷。只是條件 3，不涉及基本價值，是一種對現(xiàn)行社會選擇程序（投票等）特征的抽象肯定。 可能性定理表述 阿羅在 1951年最初發(fā)表的著作中稱他的定理為一般可能性定理。他證明了在兩個備選方案的情形下，他的理性條件是能多少在社會選擇中得到滿足的。然而，在 3個或 3個以上方案的情況下答案都是否定的。 Arrow集結(jié)個人偏好時避開了兩重要問題： ⅰ ）個人對各方案的偏好程度； ⅱ ）偏好程度的人與人之間的比較。 阿羅從高度概括的角度來處理群體決策問題，它只需要備選對象的優(yōu)先排序信息或者說來自“序數(shù)比較”（ ordinal parision）的信息，而不著眼于以優(yōu)先強度信息為基礎(chǔ)的“基數(shù)比較”（ cardinal parision）。 可以證明：沒有一個社會福利函數(shù)能同時 滿足兩個公理和五個條件。 群效用函數(shù) 把 Arrow集結(jié)個人排隊的概念修改為集結(jié)個人的基數(shù)效用函數(shù)，則 Arrow的不可能定理成為可能定理，即存在一集結(jié)個人效用的群效用函數(shù)：包含更多的個人效用的信息和人與人之間的效用的比較。 ? 群效用函數(shù)： 在一定條件下的加法模型為： 式中， U：群效用函數(shù)； Ui(i=1, …,n) 為各成員的效用函數(shù)； U， Ui ∈ [0,1]； ))(,),(()( 1 xUxUUxU nD ????? niii xUxU1)()( ? Xxts ?.. 假設(shè)： ①群中各成員對選擇權(quán)都負(fù)有責(zé)任； ②群中各成員對對選擇權(quán)的值各有各的意見； ? 委托過程包含三點公設(shè)： 公設(shè) 1（委托）：群中每一成員有一委托小組，這個小組是由群中其余 n1個成員組成。成員 i對委托小組每個成員 j指定一個權(quán) pij，且 公設(shè) 2（決策規(guī)則）：每個委托小組都有一形式為 的群效用函數(shù)對方案進行排隊，式中權(quán) pij按公設(shè) 1確定。 1,0,1 ,01?????????? ??njijijij ppijijip?????? njjijiniii xUpxUxUxU11)()(,)()( ?公設(shè) 3（代替）：用聯(lián)系到成員 i的委托小組的群效用函數(shù)去代替成員 i的效用函數(shù)，每次這種代替成員委托的第一步。 ? 委托過程： 假設(shè)成員 i知道其他每個成員的效用函數(shù)，不知道其他成員設(shè)定的權(quán)。成員 i能夠根據(jù)其他成員的效用函數(shù)選擇權(quán) pij(j=1, …,n ) ，使這些效用函數(shù)的組合幾乎能夠反映成員 i的偏好。 開始：成員 i對他委托的小組中各成員的效用 ， 設(shè)定 ，用得到的線性組合的效用函數(shù)代替原來的效用函數(shù) ，即 nj ,1 ??0ju),1(0 njp ij ??0iuniupunjjiji ,2,1,1001 ??? ??重復(fù)迭代： 記 則 如果收斂，則 的每個分量均收斂于相同的函數(shù)（馬爾可夫鏈特性），得到 ?? ,1,0,),( 21 ?? kuuuu Tknkkknnkijk pP ?? )(1,11 ?? ?? kuPu kkkkijkj p??? lim?nn uuuu ??? ???? ?2211ku然后可以根據(jù)求得的權(quán)重對每個人的效用加權(quán)平均，排除每個方案的優(yōu)劣序。 ???????? 1??? PTT也可以按齊次馬爾可夫鏈的遍歷性，按下列方程求解： 參閱 P257