【正文】 ( 1 ) 1( ) ( 1 ) ( 1 ) 1D D D D D Dg D D D D D D Dg D D D D D D D D? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?或( ) 1g D D??3 2 3( ) ( 1 ) ( 1 )g D D D D D? ? ? ? ?91 循環(huán)碼的編碼器 ? 原理：按系統(tǒng)碼的生成方式 以 (7,4)碼為例 ( ) ( ) ( )nkA D M D D r D?? ? ?32( ) 1g D D D? ? ?( ) ( )()( ) ( )nkD M D r DqDg D g D? ???D1 D2 + D3 +輸入校驗位碼字輸出92 循環(huán)碼的譯碼器 ? 譯碼比編碼復(fù)雜得多 ? 譯碼三步 ?伴隨式 S的計算 ?由 S得到錯誤圖樣 ?糾正 93 伴隨式的計算 ? 發(fā)送碼組 ? 接收碼組 ? 誤差碼組 ?校正子只與 E 有關(guān)，根本是計算校正子 1 2 0[]nnA a a a???1 2 0[]nnb b b b???B A E??1 2 0[]nnE l l l???0,1,i i ii i il a bl a b????如 果 則則B A E??T T T T T()S B H A E H A H E H E H? ? ? ? ? ? ? ?94 BCH碼 ? 即約多項式 ?一個 m 次多項式不能被二元域上任何二次數(shù)小于的，但大于 0的多項式除盡，如 是即約的。 ? 本原多項式 ?若 m次多項式 P(x)除盡的 的最小正整數(shù) n 滿足 ，就稱為本原的。 ?如 能除盡 ，但除不盡 的 。 ?如 ： 是即約的，但不是本原的，因它能除盡 。 52 1DD??1nx ?21mn ??4( ) 1p x x x? ? ? 15 1x ? 1 15n??1nx ?432 1x x x x? ? ? ?5 1x ?95 本原循環(huán)碼 ? 由本原多項式構(gòu)成的碼稱為本原碼。 ? 特點 ?碼長為 ?它的生成多項式是由若干 m階或以 m的因子為最高階的多項式相乘而構(gòu)成。 ?要判定 (n,k) 的循環(huán)碼是否存在，只需要判斷 nk 階的生成多項式是否能由 Dn+1的因式構(gòu)成。 2 1 ,m m? 為 正 整 數(shù)96 循環(huán)碼例子 ? 生成多項式的階次為 r, 該生成多項式是否是 的因此。 ? 一個 m階即約多項式一定能除盡 ? 如， m＝ 5，共有 6個 5階即約多項式。 ? 再加上 因子， 是以上 7個多項式的乘積。 ( , ) , 2 1 , 2 1mmn k n r n k k? ? ? ? ? ? ?1nD ?2111mnDD ?? ? ?5 2 5 4 3 2 5 4 25 3 5 3 2 1 5 4 31 1 11 1 1D D D D D D D D D DD D D D D D D D D D? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 1)D? 31 1D ?97 BCH 碼的生成多項式 ? 如果循環(huán)碼形式的形式為 ? 為糾錯個數(shù) ， 為最小多項式， 為最小公倍數(shù) 最小碼距 碼長為 的 BCH碼稱為 本 BCH碼（俠義） 碼長為 則稱為非本原 BCH碼 ? ?1 3 2 1( ) L C M ( ) , ( ) , ( ) ,tg D m D m D m D??()imDLCMt21mn ??21mn ??21dt??98 BCH 碼 ? 由于 g(D)有 t個因式，且每個因式的最高次為 m，因此監(jiān)督碼元最多有 mt位。 ? 對于糾 t 個錯誤的本原 BCH碼，其生成多項式 ? 糾單個錯誤的本原 BCH碼字為漢明碼。 ?表 11－ 13給出了 n5的本原 BCH碼。 11－ 14給出了部分非本原 BCH碼。 1 3 2 1( ) ( ) ( ) ( )tg D m D m D m D??99 BCH 碼例子 ? 糾正 3 個錯誤，碼長為 15的 BCH碼 解： n=15, m=5 查表 1112得， 23 37 07 這是 (15,5)碼。 1 3 54 4 3 2 21 0 8 5 4 2( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1g D m D m D m DD D D D D D D DD D D D D D?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?100 重要的 BCH碼 (23,12) ? 表 11－ 14中最重要的 BCH碼是 (23,12) 稱為格雷碼，碼間為 7，能糾正 3個錯誤。 生成多項式 ? 在實際通信系統(tǒng)中，所要求的 n、 k并不是碼表中所推薦的值，在這時我們可以采用縮短或擴(kuò)展的方式加以修正，也就是通過增加信息符號或校驗符號來增加碼組長度，或減少信息和校驗位來減少碼組長度。 1 1 9 7 6 5( ) 1g D D D D D D D? ? ? ? ? ? ?101 BCH碼 ? 如 BCH碼的碼長為奇數(shù)，而有時需要偶數(shù)碼長，這時可以在原 BCH碼生成多項式中乘以（ D+1)因子，從而得到（ n+1,k）擴(kuò)展 BCH碼，這時相當(dāng)于在原 BCH碼上加一個全校驗位，從而將碼距增加 1，這時的碼字不具有循環(huán)性。 ? 如果 BCH碼不是 2m1或它的因式，這時可以采用縮短的方式，去掉 s位信息， (ns , ks) 102 RS碼 ReedSolomon ? 非二進(jìn)制 BCH碼，輸入以符號來考慮 ? 假定每組有 K 個符號，每個符號用 m比特，輸入信息將是 K m 比特。 103 RS碼 ? RS碼適合于糾正突發(fā)錯誤，糾正的錯誤圖樣有 ? 對于一個長度為 符號的 RS碼，每個符號都可以看成是有限域 中的一個元素，如RS碼的最小碼距為 d符號，則生成多項式 111( 1 ) 1( 3 ) 1 3( 2 1 ) 2 1b t mb t mb t i m i i? ? ?? ? ?? ? ? ? ?總 長 度 為 比 特 的 單 個 突 發(fā)總 長 度 為 比 特 的 個 突 發(fā)總 長 度 為 比 特 的 個 突 發(fā)21m ?(2 )mGR s2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )dg D D D D D? ? ? ? ?? ? ? ? ?()imGR??是 中 的 一 個 元 素104 糾正和檢測突發(fā)錯誤的分組碼 －交織碼 interleaved ? 在水平垂直監(jiān)督碼中將信息碼排列成方陣，然后對行和列分別進(jìn)行檢驗，可以達(dá)到檢測突發(fā)錯誤的目的。 ? 如果方陣中行碼是能糾 t 個隨機(jī)錯誤，交織后能糾 t個長度為 i的突發(fā)錯誤。 i稱為交織深度。 ?it105 循環(huán)碼構(gòu)成交織碼 ? 采用循環(huán)碼構(gòu)成交織碼時，可以不采用方陣就能實現(xiàn)編碼。 ? 假設(shè)交織碼每行為 循環(huán)碼，其生成多項式為 ， 可以除盡 ，如交織深度為 其交織碼為 ,其生成多項式為 可以除盡 ，所以 也是循環(huán)碼。 1nD ?( , )iink ( ) ( )iig D g D?( ) 1 1i n n iDD? ? ?i( , )nk()gD ()gD()igD ( , )iink106 循環(huán)碼構(gòu)成交織碼 (續(xù) ) ? 如，循環(huán)碼 (7,4)， 其生成多項式為 構(gòu)成交織深度為 3 的 (21,12)交織碼。 交織碼的生成多項式為 它也是循環(huán)碼，可以用循環(huán)碼的方式構(gòu)成。在發(fā)送端可以不排成方陣，但是在譯碼時，必須將碼字排列成 陣列，然后分別獨立的對每行碼字進(jìn)行譯碼。 3 3 3 3 2 3 0 9 6( ) ( ) ( ) ( ) 1g D D D D D D? ? ? ? ? ?ni?32( ) 1g D D D? ? ?107 交織碼 之小結(jié) ? 為了進(jìn)一步提高糾錯能力，可以在交織陣列中不僅對每行進(jìn)行糾錯編碼，而且也對每列進(jìn)行糾錯編碼，這種形式的交織碼稱為乘積碼。 ? 若乘積碼的行碼和列碼 分別能糾長度超過 的突發(fā)錯誤，則乘積碼能糾正長度為 的突發(fā)錯誤。 ? 交織一般都帶固有延時，在語音中交織的延時不要超過 40ms。 12( , )nn長 為12bb和1 1 2 2m a x ( , )b b n b n?