【正文】 2 2 212簡寫為 ? ? ? ?? ?? ????y M y135 多自由度體系的自由振動 令 ? ? ? ? ? ?si n ????y Y tb 振型方程和頻率方程 將位移表達式代入振動方程 振型方程 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?????I M Y2 0令 ? ?? 21 ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ??I M Y 0頻率方程或 特征方程 ? ? ? ?? ?????IM 0135 多自由度體系的自由振動 例題 試求結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型 .EI=常數(shù) m m l/4 l/4 l/4 l/4 m 1 3l/16 1 l/4 1M圖 2M圖 1 3l/16 3M圖 311 33322312 21 23 32313 31976816768117687768lEIlEIlEIlEI???? ? ? ??????? ? ? ???解 (1)求柔度系數(shù) 135 多自由度體系的自由振動 (2)求頻率 ? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??m m mD m m mm m m1 1 1 1 2 2 1 3 322 1 1 2 2 2 2 3 323 1 1 3 3 1 3 3 3 211011 2 33 3 34 . 9 3 3 1 9 . 5 6 9 4 1 . 5 9E I E I E Im l m l m l? ? ?? ? ?135 多自由度體系的自由振動 (3)求振型 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?????????M I Y21 0令每個振型的第一個元素 為 1，得 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?TTT..?????1231 1 4 1 4 11 0 11 1 4 1 4 1YYY1 1 第三振型 (正對稱 ) 第二振型 (反對稱 ) 1 1 第一振型 (正對稱 ) 1 1 136 多自由度體系振型的正交性和振型矩陣 1振型的正交性 第一振型 Y11 Y21 Y31 ? mY21 1 11 ? mY21 2 21 ? mY21 3 31若體系按第一振型振動，則 1 112 21 13 31si nyYy Y tyY?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?21 1 1 1 1 122 2 1 2 2 1 123 3 1 3 3 1sinm y m Ym y m Y tm y m Y???????????????? ? ? ?? ? ? ???? ??第三振型 Y13 Y23 Y33 ? mY23 1 13 ? mY23 3 33? mY23 2 23136 多自由度體系振型的正交性和振型矩陣 第一振型 Y11 Y21 Y31 ? mY21 1 11 ? mY21 2 21 ? mY21 3 31第三振型 Y13 Y23 Y33 ? mY23 1 13 ? mY23 3 33? mY23 2 23功的互等定理 ? ? ?? ? ? ? ? ?Y Y Ym Y m Y m Y2 2 21 1 11 1 2 21 1 3 3113 23 33? ? ?? ? ???mm YYYY Y mY2 2 23 1 13 3 2 23 3 3 321 311 31? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?m Y m Y m YY Y Y1 3 2 3 3 221 1 1 2 2 1 3 3 1 1 33 0136 多自由度體系振型的正交性和振型矩陣 ? ? ? ? ? ?m Y mY Y YY m Y13 21 11 2 21 3 313 33 0? ?? ? ? ????? ????????? ? ? ?mYYYYY Y mm132111 21 31 33323000 0 000? ? ? ? ? ?? ? ? ?T ?31 0YM Y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?T ??0jiY YM i j? ?????2213 0因為 ,故 寫成矩陣形式 簡寫 一般地 同理 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?T ??0jiY YK i j★ 振型對質(zhì)量矩陣正交 ★ 振型對剛度矩陣正交 ★ 利用正交性判斷各振型的形狀特點和所求振型是否正確 136 多自由度體系振型的正交性和振型矩陣 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? k T kkM Y M Y??i j k當 時，定義 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? k T kkK Y K Yk振型的廣義質(zhì)量 k振型的廣義剛度 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? kkK M Y2 0由第 k振型方程 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?TT???2 0k k kkY K M Y Y? ?? ?TkY左乘 得 136 多自由度體系振型的正交性和振型矩陣 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????k T k k T kkY K Y Y M Y2 0? ?k k kKM2???k k kKM2 0★ 利用廣義剛度和廣義質(zhì)量求自振頻率 136 多自由度體系振型的正交性和振型矩陣 1剛度法 P2F12my11myPF1y1 y2 FR2≡0 FR1≡0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 P2 2 2 1 1 2 2 2 2 Pm y k y k y Fm y k y k y F? ? ?? ? ? 在荷載、慣性力和質(zhì)點位移的作用下，附加約束上的反力為零。 a 振動方程 只有 動荷載 P2FPF1P2?FP?F11 k12 k22 質(zhì)體 2 單位位移 ?y21 k11 k21 質(zhì)體 1 單位位移 ?y1my22my11只有 慣性力 22my11my136 多自由度體系振型的正交性和振型矩陣 若荷載為簡諧荷載，即 F F tF F tP 1 1P 2 2sinsin????則穩(wěn)態(tài)振動的解為 y Y ty Y t1122sinsin????? ?? ?k m Y k Y Fk Y k m Y F211 1 1 12 2 1221 1 22 2 2 2??? ? ?? ? ?代入振動方程，得 位移幅值為 DDYY121200??k m FDkF21 1 1 122 1 2???k m kDk k m21 1 1 1 20 22 1 2 2 2?????FkDF k m1 1 21 22 2 2 2?? ?136 多自由度體系振型的正交性和振型矩陣 位移幅值為 DDYY121200?? k m kDk k m21 1 1 1 20 22 1 2 2 2?????0????若 k m kDk k m21 1 1 1 20 22 1 2 2 2?????則 ★ n個自由度體系有 n個共振區(qū) 頻率方程 （ 1）共振問題 136 多自由度體系振型的正交性和振型矩陣 FFFtF tP 1 1P 2 2sinsin????荷載 ? ?? ?y t YyttY t1122sinsin????位移 tm y mm y m tYY21 1 1 122 2 2 2s ins in????????慣性力 ★ 荷載、位移、慣性力同時達到幅值。 ★ 可以直接列幅值方程，求動位移和動內(nèi)力幅值。 （ 2）荷載、位移、慣性力同步 137 多自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動 例題 解 k k k??11 1 2(1)求剛度系數(shù) k k k? ? ?2 1 1 2 2kk?22 2EI1=∞ m1 EI1=∞ m2 k1 k2 sin?Ft(2)求位移幅值 試求圖示體系的動位移幅值。已知： ??km 222k m kDk k m21 1 1 1 20 22 1 2 2 2?????k m kk k m21 1 1 222 2 2???????k m k kk221 1 1 222 0???? ? ??137 多自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動 FkDF k m1 1 21 22 2 2 2?? ? Fkkm12 2220 ????Fk12 000???k m FDkF21 1 1 122 1 2??? k m F Fkk21 1 1 1122 0?????1100DY D??D F k FYD k k2 1 2 12 20 2 2? ? ? ?22 12 2 2 2 2 12s i n s i n s i nFm y m Y t m t F tk? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?動力吸振 器原理 sin?Ft1sin?Ft10 137 多自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動 例題 m1 EI1=∞ m2 k1 k2 sin?FtEI1=∞ h h 解 (1)求剛度系數(shù) (2)求位移幅值 已知 EI m h m m m3124,? ? ? ?。求：一、二層樓 面的位移幅值、慣性力幅值及柱底截面彎矩值。 k k k??11 1 2k k k? ? ?2 1 1 2 2 kk?22 2k k E I h 312 24??k m kDk k m21 1 1 1 20 22 1 2 2 2?????EIh23320???? ????2316m EI h? ?由已知條件知 : 137 多自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動 Fk EIDFF k m h1 1 21 2 32 2 2 224??? ?k m F EIDFhkF21 1 1 12 32 1 232????32200 .1D hYFD EI? ? ?31100 . 0 7 5D hYFD E I? ? ?（ 3）計算慣性力幅值 ? ?? ?EI Fhm Y Fh EIEI Fhm Y Fh EI3211 33222 31 6 0 .0 7 5 1 .21 6 0 .1 1 .6??? ? ? ? ?? ? ? ? ?（ 4）計算內(nèi)力：將荷載幅值和慣性力幅值作用在結(jié)構(gòu)上， 按靜力進行計算 137 多自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動 F. F12. F16. F12. F06. F12. F06. F03 . F03. F09 . F09. Fh0 15. Fh0 45. Fh0 15. Fh0 45137 多自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動 1剛度法 :多自由度 1 1 11 1 12 2 1 1 P2 2 21 1 22 2 2 2 P1 1 2 2 Pnnnnn n n n n n n nm y k y k y k y Fm y k y k y k y Fm y k y k y k y F? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?a 振動方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?PM y K y F??137 多自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動 ? ?12PsinnFFFtF???????? ????????? ?12si nnYYYtY???????? ????????? ? ? ?? ? ? ? ? ?2M K Y F?? ? ?137 多自由度體