【正文】 5 5 902 5 4 502 5 6 10 0 9 4 6 8 0322212322212?????????????????????????????????????XXXXXXXmXTkTj221232 XXX ??? （ c） 將（ c）代入（ b）中的第一和第二式得： ?????????????????????????????? ?221262222125 5 902 5 4 502 5 6 13 9 94 7 72 4 91 4 7 510XXXX ? （ d） 對（ d）式進行迭代，先假定一個接近第二振型的位移，令 ，經兩輪迭 代后得： ?????????????? 1222 12XX???????????????? ? 62222 12 ?XX故，第二頻率為： s/2 r a 3 5 1 1 62 ??? ??再由式（ c）得： ? ? 9 6 0 1 9 4 ????????X這樣就可以求得第二主振型為 ???????????????????????322212XXX（ 4）第三振型：根據(jù)主振型的正交性，由上面得到的第一和第二主振型即可寫出 05590254502561332313???????????????????????????????XXXT05590254502561332313?????????????????????????????????XXXT將上兩式展開得： 05591 2 7 52 5 9 705592 4 1 01 7 5 9333231333231 ??? ??? XXX XXX解上述聯(lián)立方程組，得： 3331 0 7 4 XX ? 3332 XX ??令 ?X 則 ?X ??X求第三頻率，由式 (3112),得 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????0 0 2 7 0 8 3 1 3 1 4 4100 0 2 8 0 7 5 5 902 5 4 502 5 6 110623623623332313???XXXr a d / 3 1 1 63 ??? ??不斷調整所假定的形狀 ,直到得到真 實的振動 ,然后計算振型頻率 二、能量法 在采用矩陣迭代法求解多自由體系的頻率和振型時，需要列出每一質點的運動 方程，并對方程組進行運算。因此，這種方法當質點較多時計算太繁。如果所求 的結構是基本頻率，則采用能量法，或稱為瑞雷法。能量法是根據(jù)體系在振動過 程中的能量守恒原理推導出來的，即一個無阻尼的彈性體系在自由振動時，其任 一時刻的動能與變形位能之和不變。當體系在振動過程中的位移達到最大時，其 變形位能將達到最大值 Umax，而此時體系得動能為零；在經過平衡位置時，體 系的動能有最大值 Tmax，而變形位能則等于零，故有 m a xm a x UT ?考慮一多質點體系在自由振動時其任一質點 i的位移為 )s in ()( ?? ?? tXtx ii則其速度為 )c o s ()( ??? ?? tXtx ii?動能為 最大動能為 212221)(c o s21)(21 iniiiniXmttxmT ??????? ????212m a x 21inii XmT ??? ? 一般地，結構的基本振型可近似取當重力荷載作用于質點上的結構的彈性曲線。 因此，體系的最大變形位能為 inii gXmU ???1m a x 21將式（ 3115）、（ 3116）代入（ 3114）得 ?????niiiniiiXmXmg1211?而結構的基本周期為 ???????? ???niiiniiiniiiniiiXGXGXmgXmT11211211 222???gmG ii ?例 318為三層框架結構，假定其橫梁剛度無限大。各質量為， ，各層剛度分別為 。試用能量法求解結構的頻率和振型。 2 5 4 5 t2 5 6 1 t 21 ?? mm ，559t3 ?m K N / m108 . 2 3K N / N / 535251 ?????? kkk ， 圖 318 例 解：結構在重力荷載作用下的彈性曲線如上圖（ b） 結構的層間位移為： ? ? ? ?? ? ? ? 0 42 5 6 12 5 4 55 5 92 5 4 55 5 9m107 9 5 5 9451123145223245333???????????????????????????ggkgmmmXggkgmmXggkgmX各層位移為： ? ?? ? m101 4 5 . 4 9m107 9 3 8 . 7 0Xm101 3 8 . 7 0 4X 0 44432344212411?????????????????????????ggXXggXXgXX則體系的基本頻率為： ? ?? ?? ?s/8 9 r a 4 55 5 3 82 5 4 0 42 5 6 1 4 55 5 3 82 5 4 0 42 5 6 1242224121?????????????????????gXmXmgniiiniii?相應的基本陣型為： ??????????????????????????????????10g4131211XXX例題 37 采用 能量法 求結構的基本周期 解：各樓層的重力荷載為 3 1 9 . 8 9 . 8 k NG ? ? ?2 1 . 5 9 . 8 1 4 . 7 k NG ? ? ?1 2 9 . 8 1 9 . 6 k NG ? ? ?將各樓層的重力荷載當做水平力產生的樓層剪力 : 33 9 . 8 k NVG??2 3 2 2 4 . 5 k NV G G? ? ?1 3 2 1 4 4 . 1 k NV G G G? ? ? ?則將樓層重力荷載當做水平力所產生的樓層水平位移為： 111 ??? kVu0 4 4 2 4 2 0 222 ????? ukVu 333 ????? ukVu基本周期： 22 2 21111 9 .6 0 .0 2 4 5 1 4 .7 0 .0 4 4 9 9 .8 0 .0 6 1 32 2 0 .4 2 41 9 .6 0 .0 2 4 5 1 4 .7 0 .0 4 4 9 9 .8 0 .0 6 1 3niiiniiiGuTsGu??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ???與精確解 T1= 2％ 三、等效質量法 在求多自由度體系的基本頻率時，為簡化計算，可根據(jù)頻率相等的原則，將全部質 量集中在一點或幾個點上，該集中所得的質量稱為等效質量。 如圖 ，有兩單自由度體系頻率相等，則： 圖 等效質量法 ejjiiimkmk ? 由上式可得等效質量為： iiijje mkkm ?設體系原有 n個集中質量，則可將每個質量都按上式所示的轉換關系轉換到 j點， j點 的總的等效質量之和，即： ???niiijjekmkm1i故體系的基本頻率為： ???????ni ini iiijjekmkm1 21211??例 320（ a）所示單層廠房排架結構的基本頻率。已知屋蓋 質量為 M，兩邊吊車質量 ，作用于柱高 4/5處，設柱為等截面柱，兩柱沿單位長 度的質量為 ，彎曲剛度為 EI。 39。Mm圖 320 例 解 （ 1）求吊車梁在柱頂?shù)牡刃з|量： iiiijjeiijjjjiimlxmkkmlxkklEIkxEIk333333??????????????????????????則吊車量在柱頂?shù)牡刃з|量為： MMMl lm e ????????????? 1 3（ 2）柱均布質量在柱頂?shù)牡刃з|量： lmdxmlxm le ? ?????????? 0 3 （ 3）作用于柱頂?shù)目偟刃з|量： lmMMmmMm eee ??????????（ 4）該結構的基本頻率： ? ? ? ?lmMMl EIllmMMl EIm k e 3 33 ??????????四、頂點法 頂點位移法是根據(jù)在重力荷載水平作用時算得的頂點位移來求解基本頻率的一種方法。 圖 321 結構的頂點位移 考慮一等質量均勻的懸臂直桿圖 321，若桿按彎曲振動，則基本周期可按下式計算 EImlT b ?若桿按剪切振動，則： GAmlTs?4?上述懸臂桿在均布荷載 作用下，由彎曲和剪切引起的頂點位移分別為： gmq?EIglmEIqlb8844 ???GAglmGAqls 2222 ?? ???得 bbT ?? ssT ?? 若體系按彎剪振動，則基本周期按下式計算： bsT ?? 167。 一、振型分解反應譜法 多自由度彈性體系在地震時質點所受到的慣性力就是質點的地震作用。若不考 慮扭轉耦聯(lián)，質點 i上的地震作用為： ? ?)()()( 0 txtxmtF iii ???? ???11???jinjj X?根據(jù)式 可以寫成 )(0 tx??jinjj Xtxtx ???100 )()( ???? ?又由式 得： ??????? njjijjnjjiji XtXtqtx11)()()( ?????njjijji Xttx1)()( ???? ?? ?)()()( 01ttxXmtF jnjjijii ???? ???????作用在第 j振型第 i質點上的水平地震作用絕對最大標準值為 ? ? m ax0 )()()( ttxXmtF jjijiji ??? ?????令 ? ?gttx jj m a x0)()( ??? ????? gmG ii ?上式可寫為 ijijjji GXF ???njmi ,2,1。,2,1 ?? ?? 求出了 j振型 i質點上的地震作用 Fji后，就可以計算結構的地震效應 Sj，這里的 Sj也 是最大值，但任一時刻某一振型的地震作用達到最大值時，其他振型的地