【正文】 5 5 902 5 4 502 5 6 10 0 9 4 6 8 0322212322212?????????????????????????????????????XXXXXXXmXTkTj221232 XXX ??? （ c） 將（ c）代入（ b）中的第一和第二式得： ?????????????????????????????? ?221262222125 5 902 5 4 502 5 6 13 9 94 7 72 4 91 4 7 510XXXX ? （ d） 對（ d）式進行迭代，先假定一個接近第二振型的位移，令 ，經(jīng)兩輪迭 代后得： ?????????????? 1222 12XX???????????????? ? 62222 12 ?XX故，第二頻率為： s/2 r a 3 5 1 1 62 ??? ??再由式（ c）得： ? ? 9 6 0 1 9 4 ????????X這樣就可以求得第二主振型為 ???????????????????????322212XXX（ 4）第三振型：根據(jù)主振型的正交性，由上面得到的第一和第二主振型即可寫出 05590254502561332313???????????????????????????????XXXT05590254502561332313?????????????????????????????????XXXT將上兩式展開得： 05591 2 7 52 5 9 705592 4 1 01 7 5 9333231333231 ??? ??? XXX XXX解上述聯(lián)立方程組，得： 3331 0 7 4 XX ? 3332 XX ??令 ?X 則 ?X ??X求第三頻率，由式 (3112),得 ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????0 0 2 7 0 8 3 1 3 1 4 4100 0 2 8 0 7 5 5 902 5 4 502 5 6 110623623623332313???XXXr a d / 3 1 1 63 ??? ??不斷調(diào)整所假定的形狀 ,直到得到真 實的振動 ,然后計算振型頻率 二、能量法 在采用矩陣迭代法求解多自由體系的頻率和振型時，需要列出每一質(zhì)點的運動 方程，并對方程組進行運算。因此，這種方法當質(zhì)點較多時計算太繁。如果所求 的結(jié)構(gòu)是基本頻率，則采用能量法，或稱為瑞雷法。能量法是根據(jù)體系在振動過 程中的能量守恒原理推導(dǎo)出來的，即一個無阻尼的彈性體系在自由振動時，其任 一時刻的動能與變形位能之和不變。當體系在振動過程中的位移達到最大時，其 變形位能將達到最大值 Umax，而此時體系得動能為零；在經(jīng)過平衡位置時，體 系的動能有最大值 Tmax，而變形位能則等于零，故有 m a xm a x UT ?考慮一多質(zhì)點體系在自由振動時其任一質(zhì)點 i的位移為 )s in ()( ?? ?? tXtx ii則其速度為 )c o s ()( ??? ?? tXtx ii?動能為 最大動能為 212221)(c o s21)(21 iniiiniXmttxmT ??????? ????212m a x 21inii XmT ??? ? 一般地，結(jié)構(gòu)的基本振型可近似取當重力荷載作用于質(zhì)點上的結(jié)構(gòu)的彈性曲線。 因此，體系的最大變形位能為 inii gXmU ???1m a x 21將式（ 3115）、（ 3116）代入（ 3114）得 ?????niiiniiiXmXmg1211?而結(jié)構(gòu)的基本周期為 ???????? ???niiiniiiniiiniiiXGXGXmgXmT11211211 222???gmG ii ?例 318為三層框架結(jié)構(gòu)，假定其橫梁剛度無限大。各質(zhì)量為， ，各層剛度分別為 。試用能量法求解結(jié)構(gòu)的頻率和振型。 2 5 4 5 t2 5 6 1 t 21 ?? mm ，559t3 ?m K N / m108 . 2 3K N / N / 535251 ?????? kkk ， 圖 318 例 解：結(jié)構(gòu)在重力荷載作用下的彈性曲線如上圖（ b） 結(jié)構(gòu)的層間位移為： ? ? ? ?? ? ? ? 0 42 5 6 12 5 4 55 5 92 5 4 55 5 9m107 9 5 5 9451123145223245333???????????????????????????ggkgmmmXggkgmmXggkgmX各層位移為： ? ?? ? m101 4 5 . 4 9m107 9 3 8 . 7 0Xm101 3 8 . 7 0 4X 0 44432344212411?????????????????????????ggXXggXXgXX則體系的基本頻率為： ? ?? ?? ?s/8 9 r a 4 55 5 3 82 5 4 0 42 5 6 1 4 55 5 3 82 5 4 0 42 5 6 1242224121?????????????????????gXmXmgniiiniii?相應(yīng)的基本陣型為： ??????????????????????????????????10g4131211XXX例題 37 采用 能量法 求結(jié)構(gòu)的基本周期 解：各樓層的重力荷載為 3 1 9 . 8 9 . 8 k NG ? ? ?2 1 . 5 9 . 8 1 4 . 7 k NG ? ? ?1 2 9 . 8 1 9 . 6 k NG ? ? ?將各樓層的重力荷載當做水平力產(chǎn)生的樓層剪力 : 33 9 . 8 k NVG??2 3 2 2 4 . 5 k NV G G? ? ?1 3 2 1 4 4 . 1 k NV G G G? ? ? ?則將樓層重力荷載當做水平力所產(chǎn)生的樓層水平位移為： 111 ??? kVu0 4 4 2 4 2 0 222 ????? ukVu 333 ????? ukVu基本周期： 22 2 21111 9 .6 0 .0 2 4 5 1 4 .7 0 .0 4 4 9 9 .8 0 .0 6 1 32 2 0 .4 2 41 9 .6 0 .0 2 4 5 1 4 .7 0 .0 4 4 9 9 .8 0 .0 6 1 3niiiniiiGuTsGu??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ???與精確解 T1= 2％ 三、等效質(zhì)量法 在求多自由度體系的基本頻率時，為簡化計算，可根據(jù)頻率相等的原則，將全部質(zhì) 量集中在一點或幾個點上，該集中所得的質(zhì)量稱為等效質(zhì)量。 如圖 ，有兩單自由度體系頻率相等，則： 圖 等效質(zhì)量法 ejjiiimkmk ? 由上式可得等效質(zhì)量為： iiijje mkkm ?設(shè)體系原有 n個集中質(zhì)量，則可將每個質(zhì)量都按上式所示的轉(zhuǎn)換關(guān)系轉(zhuǎn)換到 j點， j點 的總的等效質(zhì)量之和，即： ???niiijjekmkm1i故體系的基本頻率為： ???????ni ini iiijjekmkm1 21211??例 320（ a）所示單層廠房排架結(jié)構(gòu)的基本頻率。已知屋蓋 質(zhì)量為 M，兩邊吊車質(zhì)量 ，作用于柱高 4/5處，設(shè)柱為等截面柱，兩柱沿單位長 度的質(zhì)量為 ，彎曲剛度為 EI。 39。Mm圖 320 例 解 （ 1）求吊車梁在柱頂?shù)牡刃з|(zhì)量： iiiijjeiijjjjiimlxmkkmlxkklEIkxEIk333333??????????????????????????則吊車量在柱頂?shù)牡刃з|(zhì)量為： MMMl lm e ????????????? 1 3（ 2）柱均布質(zhì)量在柱頂?shù)牡刃з|(zhì)量： lmdxmlxm le ? ?????????? 0 3 （ 3）作用于柱頂?shù)目偟刃з|(zhì)量： lmMMmmMm eee ??????????（ 4）該結(jié)構(gòu)的基本頻率： ? ? ? ?lmMMl EIllmMMl EIm k e 3 33 ??????????四、頂點法 頂點位移法是根據(jù)在重力荷載水平作用時算得的頂點位移來求解基本頻率的一種方法。 圖 321 結(jié)構(gòu)的頂點位移 考慮一等質(zhì)量均勻的懸臂直桿圖 321，若桿按彎曲振動，則基本周期可按下式計算 EImlT b ?若桿按剪切振動，則： GAmlTs?4?上述懸臂桿在均布荷載 作用下，由彎曲和剪切引起的頂點位移分別為： gmq?EIglmEIqlb8844 ???GAglmGAqls 2222 ?? ???得 bbT ?? ssT ?? 若體系按彎剪振動，則基本周期按下式計算： bsT ?? 167。 一、振型分解反應(yīng)譜法 多自由度彈性體系在地震時質(zhì)點所受到的慣性力就是質(zhì)點的地震作用。若不考 慮扭轉(zhuǎn)耦聯(lián)，質(zhì)點 i上的地震作用為： ? ?)()()( 0 txtxmtF iii ???? ???11???jinjj X?根據(jù)式 可以寫成 )(0 tx??jinjj Xtxtx ???100 )()( ???? ?又由式 得： ??????? njjijjnjjiji XtXtqtx11)()()( ?????njjijji Xttx1)()( ???? ?? ?)()()( 01ttxXmtF jnjjijii ???? ???????作用在第 j振型第 i質(zhì)點上的水平地震作用絕對最大標準值為 ? ? m ax0 )()()( ttxXmtF jjijiji ??? ?????令 ? ?gttx jj m a x0)()( ??? ????? gmG ii ?上式可寫為 ijijjji GXF ???njmi ,2,1。,2,1 ?? ?? 求出了 j振型 i質(zhì)點上的地震作用 Fji后，就可以計算結(jié)構(gòu)的地震效應(yīng) Sj，這里的 Sj也 是最大值，但任一時刻某一振型的地震作用達到最大值時，其他振型的地