輪專題輔導(dǎo)與練習(xí)專題四第一講-資料下載頁
2025-05-02 04:56本頁面
【正文】 b n 1 d }2? ? ? ? ? ? ? ?［ ］［ ］? ?1 2 1 2 1 1 1 21 2d d n a d b d d d ,2 ? ? ?? ?n 1 1 2 1 2 1 1 1 21S 2d d n a d b d d d ,2? ? ? ? ?函數(shù)與方程思想 —— 解決數(shù)列中的求值問題 【 思想詮釋 】 ： (1)求等差 (比 )數(shù)列中的某些量時 ,常根據(jù)條件構(gòu)建關(guān)于 a1,d(q)的方程組求解 ,如求等差 (比 )數(shù)列的通項公式 ,前 n項和公式等 .(2)求等差 (比 )數(shù)列中的某些量的取值范圍或最值時 ,常將待求量轉(zhuǎn)化為某一變量的函數(shù) ,將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值問題 ,如求等差數(shù)列前 n項和的最值問題 .(3)研究等差 (比 )數(shù)列單調(diào)性時 ,利用研究函數(shù)單調(diào)性的方法求解 . ：結(jié)合條件與所求的問題 ,通過列方程組或?qū)⒋髥栴}轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解 . ： (1)列方程組時 ,應(yīng)注意有幾個變量就列幾個方程 . (2)把所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題時 ,應(yīng)注意要確定自變量的取值范圍 . 【 典例 】 (14分 )(2022 煙臺模擬 )已知公差大于零的等差數(shù)列 {an}的前 n項和 Sn,且滿足 :a2a4=65,a1+a5=18. (1)若 1i21,a1,ai,a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項 ,求 i的值 . (2)設(shè) 是否存在一個最小的常數(shù) m使得 b1+b2+… +bnm對于任意的正整數(shù) n均成立，若存在，求出常數(shù) m；若不 存在，請說明理由 . ? ?n nnb 2n 1 S? ? ，【 審題 】 分析信息，形成思路 (1)切入點 :根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求出 a2和 a4,先求等差數(shù)列 {an}的通項公式 。 關(guān)注點 :判斷 a2,a4時注意公差大于零的條件的應(yīng)用 . (2)切入點 :先求 Sn,從而確定 bn。 關(guān)注點 :把 b1+b2+… +bn看作關(guān)于 n的函數(shù) ,求函數(shù)的值域 . 【 解題 】 規(guī)范步驟，水到渠成 (1)數(shù)列 {an}為等差數(shù)列 ,因為 a1+a5=a2+a4=18, 又 a2a4=65,所以 a2,a4是方程 x218x+65=0的兩個根 ,又公差 d0,所以 a2a4,所以 a2=5,a4=13.…………………………………………………… 3分 所以 ① 所以 a1=1,d= an=4n3.…………… 5分 由 1＜ i＜ 21， a1,ai,a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項 ,所以 a1a21=ai2, 即 1 81=(4i3)2,解得 i=3.………………………………… 7分 11a d 5 ,a 3d 13 ,???????(2)由 (1)知 , 所以 ② ,……………… 10分 所以 b1+b2+… +bn = 因為 ③ ,…………………………… 12分 所以存在 使 b1+b2+… +bn＜ m對于任意的正整數(shù) n均成立 . ………………………………………………………………… 14分 ? ? 2nn n 1S n 1 4 2 n n ,2?? ? ? ? ? ?? ? ? ?n 1 1 1()2 2n1b 2n 1 2 21n1 1n??? ????1 1 1 1 1 1 n( 1 ) ,2 3 3 5 2n 1 2n 1 2n 1? ? ? ? ? ? ?? ? ?…? ?n 1 1 12 n 1 2 2 2 n 1 2???? ＜1m2?【 點題 】 規(guī)避誤區(qū)， 失分 警示 失分點一 題中①處因列不出方程組而求不出或求錯 an 失分點二 題中②處對 bn不會正確裂項導(dǎo)致無法求解 失分點三 ③ 處不會利用函數(shù)的觀點求范圍 ,導(dǎo)致無法求得結(jié)果 【 變題 】 變式訓(xùn)練，能力遷移 (2022 北京模擬 )已知等比數(shù)列 {an}滿足 2a1+a3=3a2，且 a3+2 是 a2,a4的等差中項 . (1)求數(shù)列 {an}的通項公式 . (2)若 求使 Sn2n+1+47＜ 0成立的正整數(shù) n的最小值 . n n 2 n 1 2 nn1b a l o g S b b ba? ? ? ? ? ?， ，…【 解析 】 (1)設(shè)等比數(shù)列 {an}的首項為 a1，公比為 q， 依題意，有 即 由①得 q23q+2=0，解得 q=1或 q=2. 當(dāng) q=1時，不合題意 .舍去； 當(dāng) q=2時，代入②得 a1=2，所以 an=2 2n1=2n. (2) 所以 Sn=21+222+233+… +2nn =(2+22+23+… +2n)(1+2+3+… +n) ? ?1 3 22 4 32a a 3a ,a a 2 a 2 ,????? ? ??21132a ( 2 q ) 3 a q ,a ( q q ) 2 a q 4 .? ????? ? ???①②nnn n 2 2nn11b a l o g 2 l o g 2 n .a2? ? ? ? ? ?= 因為 Sn2n+1+47＜ 0, 所以 即 n2+n90＞ 0,解得 n＞ 9或 n＜ 10. 因為 n∈N *，故使 Sn2n+1+47＜ 0成立的正整數(shù) n的最小值為 10. ? ?n n 1 2n 1 n2 ( 1 2 ) 1 12 2 n n1 2 2 2 2??? ? ? ? ? ??n 1 2 n 1112 2 n n 2 47 0 ,22??? ? ? ? ? ＜
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