【正文】 限元平衡方程的討論： ?????????????????????????????????????????????43214321344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkk????① 平衡方程左邊總剛度矩陣與位移列陣之積等于結(jié)構(gòu)中各節(jié)點(diǎn)的總節(jié)點(diǎn)力（各節(jié)點(diǎn)對(duì)相關(guān)單元作用力之疊加）；因此，總剛每行各子塊表征相應(yīng)節(jié)點(diǎn)位移對(duì)該行對(duì)應(yīng)總節(jié)點(diǎn)力的貢獻(xiàn) —— 總剛子塊的物理意義。 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 簡單梁單元 ?????????????????????????????????????????????43214321344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkk????② 平衡方程右端是各節(jié)點(diǎn)外載荷，左端是由節(jié)點(diǎn)位移和單元?jiǎng)偠染仃囎訅K疊加計(jì)算得到的總節(jié)點(diǎn)力。因此，有限元平衡方程表征了系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)所受外載荷與所受所有相關(guān)單元反作用總力（總節(jié)點(diǎn)力）之間的平衡。 ③ 結(jié)構(gòu)有限元平衡方程可以敘述為： 總節(jié)點(diǎn)力（內(nèi)力） = 節(jié)點(diǎn)外載荷。 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 簡單梁單元 ?????????????????????????????????????????????43214321344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkk????④ 對(duì)于特定結(jié)構(gòu)，方程中必存在已知位移和相應(yīng)的未知載荷（支反力），因此，平衡方程求解前必須進(jìn)行約束處理，分離出關(guān)于未知位移的方程進(jìn)行求解。然后再用求出的位移，通過剩余方程求出支反力。 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 拉伸、彎曲組合 單元變形特征 ? ????????????iiii vu??節(jié)點(diǎn)位移分量 節(jié)點(diǎn)載荷分量 平面梁單元 ? ????????????iiiiMYXQ整體節(jié)點(diǎn)位移 整體節(jié)點(diǎn)載荷 ?????Q節(jié)點(diǎn)自由度： 3 一、單元與節(jié)點(diǎn) 平面剛架 模擬 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 ? 單元有 2個(gè)節(jié)點(diǎn)： i， j ? 局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移分量： 軸向位移： 橫向撓度： 轉(zhuǎn)角： ? 局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)力分量： 軸向力： 橫向剪力： 彎矩： 167。 平面內(nèi)一般梁單元 ?f?Tqm? 單元描述： 二、局部坐標(biāo)系下平面梁單元?jiǎng)偠确匠? 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 ? 單元有 6個(gè)位移分量 6個(gè)自由度 ? 單元節(jié)點(diǎn)位移列陣： ? 單元節(jié)點(diǎn)力列陣： 167。 平面內(nèi)一般梁單元 ? 單元描述： 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 ? 建立單元特性方程 ? 在小變形假設(shè)下，梁的軸向變形和彎曲變形互不偶合?？梢苑謩e研究兩種變形模式下的剛度特性。 ? ?jjjiii ff ?? ??? 因此，組合變形下的平面梁單元?jiǎng)偠确匠炭梢杂稍摼植孔鴺?biāo)系下的軸向變形剛度方程（相當(dāng)于一維桿單元）和彎曲變形剛度方程（相當(dāng)于簡單梁單元）疊加而成： 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 ? 上面剛度方程簡寫為： 分塊形式： 其中： 剛度矩陣一個(gè)子塊： 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 三、整體坐標(biāo)系下剛度矩陣：坐標(biāo)變換 ? 局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移： ? 整體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移： ? 節(jié)點(diǎn)位移矢量坐標(biāo)變換： 考慮到節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角 不變 i? 簡寫 ? ?????????????1000c o ss in0s inc o s?????節(jié)點(diǎn)向量變換矩陣： 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 ? 單元節(jié)點(diǎn)位移列陣的變換： 簡寫 ? ? ? ?Tjjjiiie vuvu ??? ?單元坐標(biāo)變換矩陣 ? 單元節(jié)點(diǎn)力列陣的變換： ? ? ? ?Tjyjxjiyixie mPPmPPp ?節(jié)點(diǎn)力矢量與節(jié)點(diǎn)位移矢量滿足相同的坐標(biāo)變換關(guān)系。 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 ? 單元?jiǎng)偠染仃嚨淖鴺?biāo)變換： ? 將節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力矢量坐標(biāo)變換式代入局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠确匠蹋? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? eeeTee TkTp ???? ? ? ? ? ? eee kp ??? ? ? ? ? ? ? ?eeTee TkTk ??第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 四、平面剛架的有限元整體分析 ? 平面剛架整體分析的原理與彈簧系統(tǒng)、桁架、直梁的整體分析相同。 ? 根據(jù)每個(gè)節(jié)點(diǎn)外載荷與結(jié)構(gòu)的總節(jié)點(diǎn)力平衡得到系統(tǒng)的有限元平衡方程，再引入約束條件后求解。 ? 總剛度矩陣由總體坐標(biāo)下各單元?jiǎng)偠染仃嚡B加得到： ? ? ? ?emekK ???1? 系統(tǒng)平衡方程： ? ?? ? ? ?QK ??第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 三維空間梁單元簡介 一、單元功能：模擬三維剛架 二、單元特性分析 ? 基本思路與平面梁單元相同： 先在局部坐標(biāo)系下建立單元特性方程，再變換到總體坐標(biāo)系下。 ? 局部坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移： 單元有 12個(gè)自由度 ? 總體坐標(biāo)系下節(jié)點(diǎn)位移： ? ? ? ?ziyixiiiii wvu ???? ?? ? ? ?zjyjxjjjjj wvu ???? ? ? ? ???????jie???第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 三維空間梁單元簡介 ? 局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃? ? 三維梁單元的變形模式為：軸向拉伸、 2個(gè)主平面內(nèi)彎曲、扭轉(zhuǎn)變形的組合。 ? 前面已經(jīng)建立了局部坐標(biāo)系下桿、簡單梁的單元特性方程。利用材料力學(xué)中的扭轉(zhuǎn)理論，按同樣原理得到下列局部坐標(biāo)系下單元的扭轉(zhuǎn)剛度方程： ? 由于在小變形條件下上述變形互不偶合，分別建立這三種變形的 剛度特性后進(jìn)行拼裝就可得到局部坐標(biāo)系下三維梁單元的組合剛度特性。包括：一個(gè)拉壓剛度矩陣、 2個(gè)簡單梁剛度矩陣、 1個(gè)扭轉(zhuǎn)剛度矩陣 。 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 三維空間梁單元簡介 ? 把上述 3類剛度矩陣拼裝后可得到三維梁單元在局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕? ? ? ?ek39。第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 三維空間梁單元簡介 ? 通過單元節(jié)點(diǎn)上位移矢量、轉(zhuǎn)動(dòng)矢量、節(jié)點(diǎn)力矢量、節(jié)點(diǎn)力矩矢量的三維坐標(biāo)變換矩陣，導(dǎo)出總體坐標(biāo)系下梁剛度矩陣。 ? 原理與步驟同平面梁單元。 ? 總體坐標(biāo)系下三維梁單元?jiǎng)偠染仃? ? ??????????????????????iiiiiiwvuwvu?39。39。39。? ??????????????????????ziyixiziyixi???????39。39。39。?小變形下節(jié)點(diǎn)線位移矢量和角位移矢量的變換： ? ????????????)co s ()co s ()co s ()co s ()co s ()co s ()co s ()co s ()co s (39。39。39。39。39。39。39。39。39。zzyzxzzyyyxyzxyxxx?其中： —— 局部坐標(biāo)系對(duì)總體坐標(biāo)系 的方向余弦矩陣。 ? ? ? ?? ?eee T ?? ?39。 ? ??????????????????eT? ? ? ? ? ? ? ?eeTee TkTk 39。?? 則單元節(jié)點(diǎn)位移列陣的變換為： 單元坐標(biāo) 變換矩陣 ?單元?jiǎng)偠染仃囎儞Q：