【正文】 限元平衡方程的討論： ?????????????????????????????????????????????43214321344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkk????① 平衡方程左邊總剛度矩陣與位移列陣之積等于結(jié)構(gòu)中各節(jié)點的總節(jié)點力（各節(jié)點對相關(guān)單元作用力之疊加）；因此，總剛每行各子塊表征相應(yīng)節(jié)點位移對該行對應(yīng)總節(jié)點力的貢獻 —— 總剛子塊的物理意義。 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 簡單梁單元 ?????????????????????????????????????????????43214321344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkk????② 平衡方程右端是各節(jié)點外載荷，左端是由節(jié)點位移和單元剛度矩陣子塊疊加計算得到的總節(jié)點力。因此，有限元平衡方程表征了系統(tǒng)各節(jié)點所受外載荷與所受所有相關(guān)單元反作用總力（總節(jié)點力）之間的平衡。 ③ 結(jié)構(gòu)有限元平衡方程可以敘述為： 總節(jié)點力（內(nèi)力） = 節(jié)點外載荷。 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 簡單梁單元 ?????????????????????????????????????????????43214321344343334333233232223222122121112111000000kkkkkkkkkkkk????④ 對于特定結(jié)構(gòu)，方程中必存在已知位移和相應(yīng)的未知載荷（支反力），因此，平衡方程求解前必須進行約束處理，分離出關(guān)于未知位移的方程進行求解。然后再用求出的位移，通過剩余方程求出支反力。 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 拉伸、彎曲組合 單元變形特征 ? ????????????iiii vu??節(jié)點位移分量 節(jié)點載荷分量 平面梁單元 ? ????????????iiiiMYXQ整體節(jié)點位移 整體節(jié)點載荷 ?????Q節(jié)點自由度： 3 一、單元與節(jié)點 平面剛架 模擬 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 ? 單元有 2個節(jié)點： i， j ? 局部坐標系下節(jié)點位移分量： 軸向位移： 橫向撓度： 轉(zhuǎn)角： ? 局部坐標系下節(jié)點力分量： 軸向力： 橫向剪力： 彎矩： 167。 平面內(nèi)一般梁單元 ?f?Tqm? 單元描述： 二、局部坐標系下平面梁單元剛度方程 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 ? 單元有 6個位移分量 6個自由度 ? 單元節(jié)點位移列陣： ? 單元節(jié)點力列陣： 167。 平面內(nèi)一般梁單元 ? 單元描述： 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 ? 建立單元特性方程 ? 在小變形假設(shè)下，梁的軸向變形和彎曲變形互不偶合?？梢苑謩e研究兩種變形模式下的剛度特性。 ? ?jjjiii ff ?? ??? 因此，組合變形下的平面梁單元剛度方程可以由該局部坐標系下的軸向變形剛度方程（相當于一維桿單元）和彎曲變形剛度方程（相當于簡單梁單元）疊加而成： 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 ? 上面剛度方程簡寫為： 分塊形式： 其中： 剛度矩陣一個子塊： 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 三、整體坐標系下剛度矩陣：坐標變換 ? 局部坐標系下節(jié)點位移： ? 整體坐標系下節(jié)點位移： ? 節(jié)點位移矢量坐標變換： 考慮到節(jié)點轉(zhuǎn)角 不變 i? 簡寫 ? ?????????????1000c o ss in0s inc o s?????節(jié)點向量變換矩陣： 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 ? 單元節(jié)點位移列陣的變換： 簡寫 ? ? ? ?Tjjjiiie vuvu ??? ?單元坐標變換矩陣 ? 單元節(jié)點力列陣的變換： ? ? ? ?Tjyjxjiyixie mPPmPPp ?節(jié)點力矢量與節(jié)點位移矢量滿足相同的坐標變換關(guān)系。 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 ? 單元剛度矩陣的坐標變換： ? 將節(jié)點位移和節(jié)點力矢量坐標變換式代入局部坐標系下單元剛度方程： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? eeeTee TkTp ???? ? ? ? ? ? eee kp ??? ? ? ? ? ? ? ?eeTee TkTk ??第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 平面內(nèi)一般梁單元 四、平面剛架的有限元整體分析 ? 平面剛架整體分析的原理與彈簧系統(tǒng)、桁架、直梁的整體分析相同。 ? 根據(jù)每個節(jié)點外載荷與結(jié)構(gòu)的總節(jié)點力平衡得到系統(tǒng)的有限元平衡方程，再引入約束條件后求解。 ? 總剛度矩陣由總體坐標下各單元剛度矩陣疊加得到： ? ? ? ?emekK ???1? 系統(tǒng)平衡方程： ? ?? ? ? ?QK ??第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 三維空間梁單元簡介 一、單元功能：模擬三維剛架 二、單元特性分析 ? 基本思路與平面梁單元相同： 先在局部坐標系下建立單元特性方程，再變換到總體坐標系下。 ? 局部坐標系下節(jié)點位移： 單元有 12個自由度 ? 總體坐標系下節(jié)點位移： ? ? ? ?ziyixiiiii wvu ???? ?? ? ? ?zjyjxjjjjj wvu ???? ? ? ? ???????jie???第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 三維空間梁單元簡介 ? 局部坐標系下單元剛度矩陣 ? 三維梁單元的變形模式為：軸向拉伸、 2個主平面內(nèi)彎曲、扭轉(zhuǎn)變形的組合。 ? 前面已經(jīng)建立了局部坐標系下桿、簡單梁的單元特性方程。利用材料力學中的扭轉(zhuǎn)理論，按同樣原理得到下列局部坐標系下單元的扭轉(zhuǎn)剛度方程： ? 由于在小變形條件下上述變形互不偶合，分別建立這三種變形的 剛度特性后進行拼裝就可得到局部坐標系下三維梁單元的組合剛度特性。包括：一個拉壓剛度矩陣、 2個簡單梁剛度矩陣、 1個扭轉(zhuǎn)剛度矩陣 。 第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 三維空間梁單元簡介 ? 把上述 3類剛度矩陣拼裝后可得到三維梁單元在局部坐標系下的單元剛度矩陣： ? ? ?ek39。第二章 桿和梁結(jié)構(gòu)的有限元法 167。 三維空間梁單元簡介 ? 通過單元節(jié)點上位移矢量、轉(zhuǎn)動矢量、節(jié)點力矢量、節(jié)點力矩矢量的三維坐標變換矩陣，導(dǎo)出總體坐標系下梁剛度矩陣。 ? 原理與步驟同平面梁單元。 ? 總體坐標系下三維梁單元剛度矩陣 ? ??????????????????????iiiiiiwvuwvu?39。39。39。? ??????????????????????ziyixiziyixi???????39。39。39。?小變形下節(jié)點線位移矢量和角位移矢量的變換： ? ????????????)co s ()co s ()co s ()co s ()co s ()co s ()co s ()co s ()co s (39。39。39。39。39。39。39。39。39。zzyzxzzyyyxyzxyxxx?其中： —— 局部坐標系對總體坐標系 的方向余弦矩陣。 ? ? ? ?? ?eee T ?? ?39。 ? ??????????????????eT? ? ? ? ? ? ? ?eeTee TkTk 39。?? 則單元節(jié)點位移列陣的變換為： 單元坐標 變換矩陣 ?單元剛度矩陣變換：