計(jì)算流體力學(xué)中有限差分法、有限體積法和有限元法的區(qū)別-資料下載頁
2025-07-24 00:31本頁面
【正文】 也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優(yōu)點(diǎn)。有一些離散方法， 例如有限差分法，僅當(dāng)網(wǎng)格極其細(xì)密時(shí)，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使 在粗網(wǎng)格情況下，也顯示出準(zhǔn)確的積分守恒。 就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必 須假定 值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律（既插值函數(shù)），并將其作為近似解。有限差分法只 考慮網(wǎng)格點(diǎn)上 的數(shù)值而不考慮 值在網(wǎng)格點(diǎn)之間如何變化。有限體積法只尋求 的結(jié)點(diǎn)值 ，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時(shí)，必須假定 值在網(wǎng)格 點(diǎn)之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數(shù)只用于計(jì)算控制 體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數(shù)；如果需要的話，可以對(duì)微分方程 中不同的項(xiàng)采取不同的插值函數(shù)。4 多重網(wǎng)格方法通過在疏密不同的網(wǎng)格層上進(jìn)行迭代,，一類是頻率變化較緩慢的低頻分量；另一類是頻率高，擺動(dòng)快的高頻分量。一般的迭代方法可以迅速地將擺動(dòng)誤差衰減，但對(duì)那些低頻分量，迭代法的效果不是很顯著。高頻分量和低頻分量是相對(duì)的，與網(wǎng)格尺度有關(guān)，在細(xì)網(wǎng)格上被視為低頻的分量，在粗網(wǎng)格上可能為高頻分量。多重網(wǎng)格方法作為一種快速計(jì)算方法，迭代求解由偏微分方程組離散以后組成的代數(shù)方程組，其基本原理在于一定的網(wǎng)格最容易消除波長與網(wǎng)格步長相對(duì)應(yīng)的誤差分量。該方法采用不同尺度的網(wǎng)格，不同疏密的網(wǎng)格消除不同波長的誤差分量，首先在細(xì)網(wǎng)格上采用迭代法，當(dāng)收斂速度變緩慢時(shí)暗示誤差已經(jīng)光滑，則轉(zhuǎn)移到較粗的網(wǎng)格上消除與該層網(wǎng)格上相對(duì)應(yīng)的較易消除的那些誤差分量，這樣逐層進(jìn)行下去直到消除各種誤差分量，再逐層返回到細(xì)網(wǎng)格上。目前兩層網(wǎng)格方法從理論上已證明是收斂的，并且其收斂速度與網(wǎng)格尺度無關(guān)[哈克?跡?988]。 多重網(wǎng)格法是迭代法與粗網(wǎng)格修正的組合，經(jīng)過證明迭代法可迅速地將那些高頻分量去掉，粗網(wǎng)格修正則可以幫助消除那些光滑了的低頻分量，而對(duì)那些高頻分量基本不起作用。 在多重網(wǎng)格計(jì)算中，需要一些媒介把細(xì)網(wǎng)格上的信息傳遞到粗網(wǎng)格上去，同時(shí)還需要一些媒介把粗網(wǎng)格上的信息傳遞到細(xì)網(wǎng)格上去。限制算子Iih(i1)h是把細(xì)網(wǎng)格i1層上的殘余限制到粗網(wǎng)格i層上的算子，最簡單的算子是平凡單射，另外還有特殊加權(quán)限制；插值算子Iih(i1)h是把粗網(wǎng)格i層上的結(jié)果插值到細(xì)網(wǎng)格i1層上的算子，一般采用線性插值或完全加權(quán)限制算子。5 近似求解的誤差估計(jì)辦法共有三大類:單元余量法,它主要是估計(jì)精確算子的余量,該方法能夠有效處理局部的殘余量,:精確求解偏微分方程不可能有不連續(xù)的微分,而近似求解卻可以存在微分的不連續(xù),這樣產(chǎn)生的誤差即來自微分本身,對(duì)節(jié)點(diǎn)誤差采用能量范數(shù),(采用能量范數(shù)),(指誤差估計(jì)方程的計(jì)算時(shí)間應(yīng)小于近似求解計(jì)算時(shí)間)不能在這兩種方法中體現(xiàn),因?yàn)楂@得的誤差方程數(shù)量,可以利用在不同疏密網(wǎng)格上得出的結(jié)果估計(jì)相應(yīng)的收斂解,可以估計(jì)所用離散方法截?cái)嗾`差的階數(shù),不能簡單地用于復(fù)雜湍流流動(dòng)。,在采用有限元法FEM,有限容積法FVM時(shí)均有應(yīng)用,并且還用于網(wǎng)格優(yōu)化程序,但該方法也不能用于復(fù)雜湍流流動(dòng)的數(shù)值分析.6 近年來發(fā)展的多尺度計(jì)算方法包括均勻化方法[911]、非均勻化多尺度方法[1215]、以及小波數(shù)值均勻化方法[16]、多尺度有限體積法[17]、多尺度有限元法[1]等。均勻化方法是一種多尺度分析的方法。該方法通過對(duì)單胞問題的求解，把細(xì)觀尺度的信息映射到宏觀尺度上，從而推導(dǎo)出宏觀尺度上的均勻化等式，即可在宏觀尺度上求解原問題。均勻化方法在很多科學(xué)和工程應(yīng)用中取得了巨大成功，但這種方法建立在系數(shù)細(xì)觀結(jié)構(gòu)周期性假設(shè)的基礎(chǔ)上，因此應(yīng)用范圍受到了很大限制。鄂維南等[1214]提出的非均勻化多尺度方法，是構(gòu)造多尺度計(jì)算方法的一般框架。該方法有兩個(gè)重要的組成部分：基于宏觀變量的整體宏觀格式和由微觀模型來估計(jì)缺少的宏觀數(shù)據(jù)，多尺度問題的解通過這兩部分共同得到。小波數(shù)值均勻化方法是由Dorbonuat、Enguqist提出的求解橢圓型方程的新型方法。該方法基于多分辨分析，在細(xì)尺度上建立原方程的離散算子，然后對(duì)離散算子進(jìn)行小波變換，得到了大尺度上的數(shù)值均勻化算子。此方法在大尺度上解方程，大大地減小了計(jì)算時(shí)間。多尺度有限元方法是由Babuska[1]等提出的。該法在宏觀尺度上進(jìn)行網(wǎng)格剖分，然后通過在每個(gè)單元里求解細(xì)觀尺度的方程(構(gòu)造線性或者振蕩的邊界條件)來獲得基函數(shù)。從而把細(xì)觀尺度的信息反應(yīng)到有限元法的基函數(shù)里，使宏觀尺度的解包含了細(xì)觀尺度的信息。但多尺度有限元方法在構(gòu)造基函數(shù)時(shí)需要較大的計(jì)算量。
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