【正文】 例2 試畫(huà)出單次抽樣方案（∞，80，1）的OC 曲線解（1）以Pi 為橫坐標(biāo)，取Pi=0，,, 等一系列值；（2）根據(jù)已知n＝80，C＝1，利用泊松分布求出上述Pi 值所對(duì)應(yīng)的L（Pi）值；查附表D 計(jì)算L（Pi）值十分方便， 所示 單次抽樣方案(∞,)的接收概率序號(hào)批產(chǎn)品不合格率PinPiL(Pi)12345670(80)(0)=0(80)()=(80)()=(80)()=(80)()=(80)()=(80)()=根據(jù)Pi 和L（Pi）對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)可以畫(huà)出該抽樣方案的OC 曲線?？梢哉f(shuō)，有一個(gè)抽樣方案(N,n,C)，就有一條OC 曲線，而且是唯一的一條OC 曲線與之對(duì)應(yīng)。抽樣方案的OC 曲線直觀地反映了采用該方案對(duì)不同質(zhì)量水平的批產(chǎn)品接收和拒收的概率。所以，一條OC 曲線代表了一個(gè)抽樣方案對(duì)所驗(yàn)收的產(chǎn)品質(zhì)量的判斷能力，也稱(chēng)為抽樣方案的特性。三、二次抽樣方案的操作特性曲線二次抽樣方案的OC 曲線比單次抽樣方案的OC 曲線要復(fù)雜得多。因?yàn)槭莾纱纬闃?，所以最后能?huà)出兩條曲線，第一條OC 曲線代表第一次抽樣時(shí)，接收概率和產(chǎn)品不合格率的函數(shù)變化關(guān)系。第二條OC 曲線代表經(jīng)過(guò)兩次抽樣， 接收概率和產(chǎn)品不合格率的函數(shù)變化關(guān)系例3 畫(huà)出雙次抽樣方案N ＝2400 ， n1=150，AC1=1，Re1=4； n2=200 ， AC2=4，Ee2=5 的OC 曲線解：確定雙次抽樣方案OC 曲線的基本思路和單次抽樣方案相同，關(guān)鍵是要計(jì)算接收概率，為此，可以做如下分析：（1） 如果第一次抽樣在樣本大小為n＝150 件中發(fā)現(xiàn)1 件或1 件以下（即0 件）不合格品，則該批產(chǎn)品判為合格予以接收，其接收概率為： L(Pi)=p1(r≤1) （2） 如果第一次抽樣在樣本大小為n＝150 件中發(fā)現(xiàn)4 件或4 件以上不合格品，則拒收該批產(chǎn)品，判為不合格（3） 如果在第一次抽樣的樣本n＝150 件中發(fā)現(xiàn)2 件或3 件不合格品， 則對(duì)該批產(chǎn)品合格與否不能作出判斷，那么就繼續(xù)抽取n＝200 件作為第二個(gè)樣本進(jìn)行檢驗(yàn)。在進(jìn)行第二次抽樣的條件下，接收批產(chǎn)品的情況為：1. 在第一次抽樣中發(fā)現(xiàn)2 件不合格品，而在第二次抽樣中發(fā)現(xiàn)2 件或2 件以下不合格品，即事件(ri+r2)≤4 發(fā)生；2. .在第一次抽樣中發(fā)現(xiàn)3 件不合格品，而在第二次抽樣中發(fā)現(xiàn)1 件或1 件以下（0 件）不合格品，即事件(ri+r2)≤4 發(fā)生綜上所述，根據(jù)概率的乘法定理和加法定理，經(jīng)第二次抽樣的接收概率為： L (Pi )Ⅱ =P1（r=2）P2（（r≤2）+P1(r=3)P2（r≤1） ，，， ，利用附表D 計(jì)算L（Pi）Ⅰ和L（Pi）Ⅱ以及L（Pi），即L（Pi）=L（Pi）Ⅰ+L（Pi）Ⅱ， 所示PinPiL(Pi)Ⅰp1(r=2)p2(r ≤ 2)+p1(r=3)p2(r ≤ 1)=L(Pi)ⅡL(Pi)(150)()=(200)()=()()+()()=(150)()=(200)()=()()+()()=(150)()=(200)()=()()+()()=(150)()=(200)(=()()+()()=(150)(=(200)()=()()+()()=(150)()=(200)()=()()+()()=(150)()=(200)()=()()+()()= 的第一列Pi 和相對(duì)應(yīng)的第三列L（Pi）Ⅰ的接收概率值可繪出該雙次抽樣方案第一次抽樣的OC 曲線；由第一列Pi 和第五列L（Pi）的接收概率值可繪出該雙次抽樣方案的OC 曲線。 四、OC 曲線的特點(diǎn)一個(gè)抽樣方案（N，n，C）唯一對(duì)應(yīng)著一條OC 曲線，當(dāng)方案中N，n，C 三個(gè)參數(shù)有任何一個(gè)改變時(shí)，OC 曲線的形狀也隨之改變，因而方案的性能也要發(fā)生變化。 和合格判定數(shù)C 一定時(shí)，批量N 對(duì)OC 曲線的影響很小。因此，常常只用（n，C）兩個(gè)參數(shù)來(lái)表示一個(gè)單次抽樣方案。事實(shí)上，如果將單次抽樣方案（∞，）的OC 曲線繪在圖中，會(huì)發(fā)現(xiàn)盡管N＝∞，但該抽樣方案的OC 曲線與抽樣方案（900，90， 0）的OC 曲線幾乎重合。 和樣本大小n 一定時(shí)，合格判定數(shù)C 對(duì)OC 曲線的影響：隨著C 變小，OC 曲線左移，而且曲線變陡，這說(shuō)明抽樣方案的性能發(fā)生了變化。對(duì)于同一批交驗(yàn)產(chǎn)品，其不合格率為Pi，不合格判定數(shù)C 越小的方案， 其接收概率也越低，說(shuō)明抽樣方案變得嚴(yán)格了。至于嚴(yán)格的程度和合理性， 應(yīng)該從實(shí)際出發(fā)，根據(jù)用戶（需方）的質(zhì)量要求和生產(chǎn)者的平均質(zhì)量水平， 對(duì)不同的抽樣方案的OC 曲線進(jìn)行比較分析，確定合理的樣本大小n 和合格判定數(shù)C。另一方面，隨C 的變大，接收概率在同一Pi 水平也增大，說(shuō)明抽樣方案變寬松了。 和合格判定數(shù)C 一定時(shí)，樣本大小n 對(duì)OC 曲線的影響：隨著n 變大，OC 曲線變陡，抽樣方案變嚴(yán)格了。反之，隨著n 變小，OC 曲線傾斜度逐漸變緩，方案變寬松?？梢?jiàn)，同一批交驗(yàn)產(chǎn)品，由于采用樣本大小不同的兩個(gè)抽樣方案，這是特別應(yīng)該引起注意的。由此， 我們可以通過(guò)樣本大小n 的變化研究采用合理的驗(yàn)收抽樣方案。＝0 的抽樣方案我們常常憑直覺(jué)認(rèn)為C＝0 的抽樣方案似乎用來(lái)驗(yàn)收批產(chǎn)品質(zhì)量最為可靠和合理，因?yàn)镃＝0 意味著樣本n 中的不合格品數(shù)為0，這是一個(gè)完全錯(cuò)誤的概念。首先，抽樣具有隨機(jī)性，樣本n 中不合格品數(shù)為0，不等于N 中不合格品數(shù)為0。此外， C＝0 的抽樣方案，它們有共同的特點(diǎn)，那就是在Pi 較小的時(shí)候，接收概率L（Pi）下降十分快，這樣的抽樣方案會(huì)拒收大量?jī)?yōu)質(zhì)批，對(duì)生產(chǎn)方和用戶都是不利的。因此，C＝0 的抽樣方案并不理想。恰恰相反，OC曲線告訴我們，相對(duì)n 和C 都大一些的抽樣方案一般比較合理。當(dāng)然，在確定n 和C 時(shí)，要從具體情況出發(fā)，綜合考慮各種因素的影響，特別是生產(chǎn)方的客觀條件和用戶的實(shí)際要求。：實(shí)際中常常應(yīng)用一種樣本大小n為批量N 百分比的驗(yàn)收抽樣方案，例如， 樣本大小n 是批量N 的10％，若批量N 分別為900，300 和90，則形成以下三個(gè)抽樣方案：（900，90，0）（300，30，0）（ 90，9，0 ）以上三個(gè)抽樣方案代表了對(duì)產(chǎn)品批質(zhì)量驗(yàn)收的不同特性。當(dāng)P＝ 時(shí)，根據(jù)二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式，抽樣方案方案2 和方案3 的接收概率定量比較如下： 可見(jiàn)，對(duì)相同質(zhì)量的交驗(yàn)批產(chǎn)品，三個(gè)抽樣方案驗(yàn)收判斷能力相差懸殊，這完全是由于批量N 的變化引起的。受批量N 大小的影響而導(dǎo)致對(duì)同批產(chǎn)品接收概率L（Pi）的很大差異，可以說(shuō)是“人為”造成的結(jié)果。所以，百分比抽樣是不合理的抽樣方案，一般有經(jīng)驗(yàn)的檢驗(yàn)員，為了從一定程度上抵消這種影響，往往對(duì)批量大的交驗(yàn)批采取減小樣本量，而對(duì)批量小的交驗(yàn)批則采用增大樣本量，顯然這樣做法也是不科學(xué)的。在采用統(tǒng)計(jì)抽樣方案以后，就使驗(yàn)收抽樣方案進(jìn)入了科學(xué)領(lǐng)地。五、消費(fèi)者和生產(chǎn)者的利益 曲線驗(yàn)收抽樣方案總是涉及到消費(fèi)者和生產(chǎn)者雙方的利益，對(duì)生產(chǎn)者來(lái)說(shuō)， 希望達(dá)到用戶質(zhì)量要求的產(chǎn)品批能夠高概率被接收，特別要防止優(yōu)質(zhì)的產(chǎn)品批被錯(cuò)判拒收；而對(duì)消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，則希望盡量避免或減少接收質(zhì)量差的產(chǎn)品批，一旦產(chǎn)品批質(zhì)量不合格，應(yīng)以高概率拒收。假設(shè)用戶認(rèn)為可接收質(zhì)量水平AQL ％，那么，理想的OC 曲線應(yīng)該是當(dāng)產(chǎn)品批的不合格率Pi≤％時(shí)，對(duì)交驗(yàn)的產(chǎn)品批100％接收，而當(dāng)批不合格率Pi＞％時(shí)，對(duì)交驗(yàn)的產(chǎn)品批100％拒收，即： 若 Pi≤%,則L(Pi)=1 若 Pi＞%,則L(Pi)=0 這種垂直線型OC 曲線只有在全檢情況下才能得到，所以，也稱(chēng)為全檢的OC 曲線。但如前所述，全檢往往是不現(xiàn)實(shí)或沒(méi)有必要的，那么，抽樣驗(yàn)收就成為必然。盡管全檢的OC 曲線是不現(xiàn)實(shí)的，但它為我們尋找現(xiàn)實(shí)的、合理的OC 曲線指出了方向，那就是消費(fèi)者和生產(chǎn)者的利益關(guān)系 曲線根據(jù)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理所設(shè)計(jì)的驗(yàn)收抽樣方案，其主要特點(diǎn)之一就是它的風(fēng)險(xiǎn)性。由于是用樣本推斷總體，所以就引起了產(chǎn)生風(fēng)險(xiǎn)的可能性風(fēng)險(xiǎn)可分為生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)和消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)兩類(lèi)： ，簡(jiǎn)稱(chēng)PR（producer’s risk） 是指因采用驗(yàn)收抽樣方案使生產(chǎn)者承擔(dān)將合格批產(chǎn)品錯(cuò)判為不合格而拒收的風(fēng)險(xiǎn)。生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)概率a 之間取值，實(shí)際中常取a ＝，其涵義是如果供需雙方認(rèn)可，那么在100 批合格的交驗(yàn)產(chǎn)品中，生產(chǎn)者要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)是平均有5 批被錯(cuò)判為不合格而拒收，這是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念。，簡(jiǎn)稱(chēng)CR（consumer’s risk） 是指在抽樣驗(yàn)收時(shí)，使消費(fèi)者（用戶）承擔(dān)將不合格批產(chǎn)品錯(cuò)判為合格批產(chǎn)品而接收的風(fēng)險(xiǎn)，一般消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)概率常取β＝，其涵義是如果供需雙方認(rèn)可，那么在100 批不合格的交驗(yàn)產(chǎn)品中，消費(fèi)者要承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)是平均有10 批被錯(cuò)判為合格而接收。例如：N＝4000，n＝300，C＝4 的抽樣方案的OC 曲線， 其中包含了四個(gè)重要參數(shù)，即：α= β= AQL=% LTPD=% 由此可作如下分析： 當(dāng)Pi＜%時(shí)，L(Pi)＞ 當(dāng)Pi＞%時(shí)，L(Pi)急劇減小當(dāng)Pi＞%時(shí)，L(Pi)＞ 通常，將與生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)α相關(guān)聯(lián)的不合格品率稱(chēng)為合格質(zhì)量水平或可接收質(zhì)量水平，如前所述，簡(jiǎn)稱(chēng)AQL。在此例中α＝，AQL＝％。在實(shí)際中，AQL 通常代表了生產(chǎn)者和消費(fèi)者協(xié)商后共同認(rèn)可的批產(chǎn)品不合格率，也是在正常情況下生產(chǎn)者能夠達(dá)到的過(guò)程平均不合格率，它代表了生產(chǎn)者的平均質(zhì)量水平。因此，AQL 成為抽樣方案的重要參數(shù)，這個(gè)思路的一般性描述為：當(dāng)Pi＜AQL 時(shí),L(Pi)＞1a 當(dāng)Pi＜AQL 時(shí),L(Pi)＜1a 通常，將與消費(fèi)者風(fēng)險(xiǎn)β相關(guān)聯(lián)的不合格品率稱(chēng)為批最大允許不合格率，如前所述，簡(jiǎn)稱(chēng)LTPD。在此例中β＝，LTpD＝％。在實(shí)際中， LTPD 代表了消費(fèi)者能夠接受的批不合格率的極限。因此，LTPD 也成為抽樣方案的重要參數(shù)，這個(gè)思路的一般性描述為：當(dāng)Pi＞LTPD 時(shí)，L（Pi）＜b 總之，AQL 和LTPD 是驗(yàn)收抽樣檢查理論中的兩個(gè)重要概念，也是設(shè)計(jì)抽樣方案的重要參數(shù)，它們代表了抽樣方案的特性，也代表了消費(fèi)者和生產(chǎn)者雙方的利益六、平均出廠質(zhì)量（average outging quality） 平均出廠質(zhì)量簡(jiǎn)稱(chēng)AOQ，是指在抽樣檢驗(yàn)完成后，企業(yè)最終交付甲戶的平均產(chǎn)品不合格率，其中包括兩類(lèi)內(nèi)容的產(chǎn)品批： 1. 抽樣驗(yàn)收時(shí)的合格批，直接被用戶接收，但不能誤解為合格批中全都是合格品，實(shí)際上合格批的平均不合格率約等于產(chǎn)品過(guò)程平均不合格率；2. 抽樣驗(yàn)收時(shí)的不合格批（拒收批），要進(jìn)行100％的檢查，將其中不合格品全部剔除，換成合格品，然后才交給用戶，顯然，由于對(duì)拒收批產(chǎn)品采用了挑選的操作方式，使AOQ 要比抽樣檢驗(yàn)前的企業(yè)實(shí)際過(guò)程平均不合格率低以上說(shuō)明了平均出廠質(zhì)量AOQ 的概念，除此之外，AOQ 還可以定量描述假設(shè)交驗(yàn)產(chǎn)品的批量為N，不合格率為Pi，抽樣方案的樣本大小為n，合格判定數(shù)為C，那么接收概率為L(zhǎng)（Pi），拒收概率為1—L（Pi）。根據(jù)驗(yàn)收制度，樣本中的不合格品必須換成合格品，則樣本經(jīng)檢驗(yàn)后所含不合格品數(shù)為0。所以，經(jīng)過(guò)單次抽樣檢查就被接收的產(chǎn)品批中還含有Pi（N—n）件不合格品；而拒收批的產(chǎn)品要經(jīng)過(guò)全檢，按規(guī)定，全檢后發(fā)現(xiàn)的不合格品必須全部換成合格品。所以，在拒收批中不合格品數(shù)為0。所以，采用上述驗(yàn)收抽樣方案之后，企業(yè)的產(chǎn)品平均出廠質(zhì)量為： AOQ=(L（Pi）Pi(Nn))/ N 若Nn,則(Nn) ≈N,故得AOQ≈L(Pi)Pi由于L(Pi)≤1,故AOQ≤Pi故在以AOQ 為縱坐標(biāo)并以Pi 為橫坐標(biāo)的直角坐標(biāo)系中，根據(jù)AOQ 和Pi 的函數(shù)變化關(guān)系，可以畫(huà)出AOQ 的特性曲線。當(dāng)交驗(yàn)產(chǎn)品的批不合格率Pi＝0 時(shí)，AOQ 也等于0。這是很容易理解的，交驗(yàn)產(chǎn)品中全是合格品，經(jīng)過(guò)抽樣驗(yàn)收以后，當(dāng)然也全部是合格品；當(dāng)產(chǎn)品的不合格率Pi 增大時(shí)，AOQ 也逐漸增大， 這是由于那些除樣本之外的接收批產(chǎn)品中的不合格品也在增加：當(dāng)Pi 增大到某一數(shù)值時(shí)，AOQ 達(dá)到極大值，AOQ 的極大值稱(chēng)為平均出廠質(zhì)量極限或平均出廠極限不合格率，簡(jiǎn)稱(chēng)AOQL（average outging quality limit）；Pi 再增大時(shí)，AOQ 反而減小，這是由于Pi 大到一定程度時(shí)，抽檢被拒收的概率增大， 而對(duì)拒收批總是進(jìn)行全數(shù)檢查，將其中的不合格品換成合格品，使AOQ 減小了，也就是說(shuō)平均出廠質(zhì)量高于抽檢之前的平均產(chǎn)品質(zhì)量。由此可見(jiàn)，采用某一方案按挑選型方式進(jìn)行抽樣驗(yàn)收時(shí)，無(wú)論產(chǎn)品不合格率Pi 如何變化，平均出廠不合格率總能保持在AOQL 以內(nèi)，而且，對(duì)于一定的抽樣方案，其AOQL 是預(yù)先確定的。AOQL 是為消費(fèi)者提供質(zhì)量保證的重要指標(biāo)，也是設(shè)計(jì)抽樣方案的重要依據(jù)。應(yīng)當(dāng)注意的是每一個(gè)抽樣方案都有其AOQL 值，但同樣的AOQL 值卻可以由不同的抽樣方案達(dá)到，其極大值A(chǔ)OQL 上所對(duì)應(yīng)的Pi 值也各不相同。一般情況下，n 越大的方案，與AOQL 值對(duì)應(yīng)的Pi 越小. 在驗(yàn)收抽樣方案的實(shí)踐和理論研究中，根據(jù)平均出廠質(zhì)量極限AOQL 的概念和內(nèi)在規(guī)律性，產(chǎn)生了以AOQL 為核心的驗(yàn)收抽樣方案，例如道奇羅米格（DodgeRomig）抽檢表，它的最大優(yōu)點(diǎn)是能在確定的檢驗(yàn)過(guò)程中使檢驗(yàn)工作量減至最少，特別適合企業(yè)內(nèi)部的檢驗(yàn)工作。有關(guān)詳細(xì)內(nèi)容參見(jiàn)美國(guó)貝爾電話研究所設(shè)計(jì)的道奇羅米格抽檢表和日本工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)JIZ9006 的參考文獻(xiàn)，它們是兩類(lèi)典型的挑選型抽樣方案。第六節(jié) 抽樣方案設(shè)計(jì)一、確定生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)的抽樣方案:如果生產(chǎn)者風(fēng)險(xiǎn)α和合格質(zhì)量水平AQL 已經(jīng)確定下來(lái)，就有一組抽樣方案產(chǎn)生。. Cameron 抽檢表，如下表，可以設(shè)計(jì)上述類(lèi)型的抽樣方案。如前所述，設(shè)計(jì)抽樣方案的關(guān)鍵是要確定樣本大小n 和合格判定數(shù)C 中的三個(gè)抽樣方案設(shè)計(jì)如下： 已知a=，即接收概率pa＝：AQL=％，＝ 表Ac(α=)(β=)比率p39。39。 01