【正文】 就越?。弧? 當(dāng)某一極點(diǎn)遠(yuǎn)離零點(diǎn)，越靠近其他極點(diǎn)和原點(diǎn)，則相應(yīng)系數(shù)越大，該瞬態(tài)分量的影響就越大； 一個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極點(diǎn)距離非常近，把這一對(duì)零極點(diǎn)稱為偶極子。 3)系統(tǒng)的零極點(diǎn)共同決定了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀。 根據(jù)上述，把系數(shù)很小的分量，遠(yuǎn)離虛軸衰減很快的分量常常忽略，高階系統(tǒng)就可用低階系統(tǒng)來近似估計(jì)。 4)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點(diǎn)，稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。 應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念，可以把一些高階系統(tǒng)近似為一階或二階系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的近似評(píng)估。 　 一般情況，高階系統(tǒng)具有振蕩性，所以主導(dǎo)極點(diǎn)常常是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)。找到了一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，高階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能就可以應(yīng)用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來近似估計(jì)。例33 已知閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試求階躍響應(yīng)。解：c(t) = 1 t + 10t ≈ 1 t主導(dǎo)極點(diǎn)是 s = 1 ，這時(shí)系統(tǒng)傳遞函數(shù)近似為例34 已知閉環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試求階躍響應(yīng)。解：c(t) = 1 t 10t （1）零點(diǎn)不影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分量的個(gè)數(shù)，也不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性； （2）零點(diǎn)改變了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的形狀； （3）過渡過程要快。零點(diǎn)起微分加快作用。 零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響: 1）極點(diǎn)決定系統(tǒng)固有運(yùn)動(dòng)屬性。 2）零點(diǎn)決定運(yùn)動(dòng)模態(tài)的比重。 3）若閉環(huán)零、極點(diǎn)離虛軸較遠(yuǎn)，則對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能影響不大。反之，則影響較大。 4）增加閉環(huán)零點(diǎn)，將會(huì)提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。閉環(huán)零點(diǎn)越靠近虛軸，這種作用將會(huì)越顯著。 5）增加閉環(huán)極點(diǎn)，將會(huì)延緩系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，也即響應(yīng)速度變慢。且離虛軸愈近，其作用愈顯著。167。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析　穩(wěn)定的概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件如果系統(tǒng)受到有界擾動(dòng)，不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都能以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則這種系統(tǒng)稱為大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)；如果系統(tǒng)受到有界擾動(dòng)，只有當(dāng)擾動(dòng)引起的初始偏差小于某一范圍時(shí)，系統(tǒng)才能在取消擾動(dòng)后恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，否則就不能恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則稱為小范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)?！? 對(duì)于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，它必然在大范圍內(nèi)和小范圍內(nèi)都能穩(wěn)定，只有非線性系統(tǒng)才可能有小范圍穩(wěn)定而大范圍不穩(wěn)定的情況。 線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動(dòng)d(t)的影響下，其過渡過程隨著時(shí)間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定。反之，則為不穩(wěn)定。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)自身固有特性，而與輸入信號(hào)無關(guān)。 根據(jù)定義輸入d(t)，其輸出為脈沖過渡函數(shù)g(t)。如果當(dāng) t→∞時(shí)， g(t)收斂到原來的平衡點(diǎn)，即有那么，線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。不失一般性，設(shè)n 階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均位于s左半平面（不包括虛軸）。 根據(jù)穩(wěn)定的充要條件決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須知道系統(tǒng)特征根的全部符號(hào)。如果能解出全部根，則立即可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。然而對(duì)于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，常常希望使用一種直接判斷根是否全在s左半平面的代替方法，下面就介紹勞斯代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)?！【€性系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 首先給出系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：設(shè)線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為式中，a0 0 , si（i =1,2 , 188。 , n）是系統(tǒng)的n個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。根據(jù)代數(shù)方程的基本理論，下列關(guān)系式成立：從上式可以導(dǎo)出，系統(tǒng)特征根都具有負(fù)實(shí)部的必要條件為： ai aj 0 ( i, j =1,2, 188。 , n)即閉環(huán)特征方程各項(xiàng)同號(hào)且不缺項(xiàng)。 如果特征方程不滿足上式的條件，系統(tǒng)必然非漸近穩(wěn)定。但滿足上式，還不能確定一定是穩(wěn)定的，因?yàn)樯鲜絻H是必要條件。下面給現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。 1. 勞斯判據(jù) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：該方程式的全部系數(shù)為正，且由該方程式作出的勞斯表中第一列全部元素都要是正的；勞斯表中第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)，等于相應(yīng)特征方程式位于右半s平面上根的個(gè)數(shù)。勞斯表見PPT。表中: (1)最左一列元素按s 的冪次排列，由高到低，只起標(biāo)識(shí)作用，不參與計(jì)算。(2)第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。(3)從第三行起各元素,是根據(jù)前二行的元素計(jì)算得到。(1)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性例35 設(shè)有下列特征方程D(s) = s4 +2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0試用勞斯判據(jù)判別該特征方程的正實(shí)部根的數(shù)目。解：勞斯表（見PPT）第一列元素 符號(hào)改變了2次，∴系統(tǒng)不穩(wěn)定，且s 右半平面有2個(gè)根。例36 系統(tǒng)的特征方程為 D(s) = s3 3s + 2 = 0試用勞斯判據(jù)確定正實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)。解：系統(tǒng)的勞斯表為（見PPT）第一種特殊情況：勞斯表中某行的第一列元素為零，而其余各項(xiàng)不為零，或不全為零。對(duì)此情況，可作如下處理：① 用一個(gè)很小的正數(shù)ε 來代替第一列為零的項(xiàng)，從而使勞斯表繼續(xù)下去。② 可用因子（s+a）乘以原特征方程，其中a可為任意正數(shù)，再對(duì)新的特征方程應(yīng)用勞斯判據(jù)?！擀拧?+時(shí)，b1 0，勞斯表中第一列元素符號(hào)改變了兩次∴系統(tǒng)有兩個(gè)正根，不穩(wěn)定。 （s+3）乘以原特征方程，得新的特征方程為： D1(s) = D(s)(s + 3 ) = s4 + 3s3 3s2 7s + 6 = 0例37 設(shè)某線性系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 D(s) = s4 + s3 3s2 s + 2 = 0試用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解:　該系統(tǒng)的勞斯表如下（見PPT）第二種特殊情況：勞斯表中某行元素全為零。此時(shí)，特征方程中存在對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱的根（實(shí)根，共軛虛根或共軛復(fù)數(shù)根）。對(duì)此情況，可作如下處理： 用全為零上一行的系數(shù)構(gòu)成一個(gè)輔助方程，對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行，繼續(xù)勞斯表。 由于勞斯表中第一列元素的符號(hào)改變了兩次， ∴系統(tǒng)有兩個(gè)正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。關(guān)于對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱的根，可解輔助方程求出。得 s1=1 和 s2= 1 。 對(duì)本例題，可用長除法求出另二個(gè)根，分別為 s3=1 和 s4= 2 。(2)分析參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響例38 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。 解：系統(tǒng)特征方程式 s3 + 3s2 + 2s + K = 0（勞斯表見PPT）要使系統(tǒng)穩(wěn)定，勞斯表中第一列元素均大于零。0 K 6(3)確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性例39 檢驗(yàn)多項(xiàng)式2s3 + 10s2 + 13s + 4 = 0是否有根在s 右半平面，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在垂直線 s = 1的右邊？解：1)（勞斯表見PPT）勞斯表中第一列元素均為正∴系統(tǒng)在s 右半平面沒有根，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 2) 令 s = s1 1 坐標(biāo)平移，得新特征方程為2 s13 + 4 s12 s1 1 = 0（勞斯表見PPT） 勞斯表中第一列元素不全為正，且第一列元素符號(hào)改變了一次，故系統(tǒng)在s1 右半平面有一個(gè)根。因此，系統(tǒng)在垂直線 s = 1的右邊有一個(gè)根。167。 　穩(wěn)態(tài)誤差的定義及一般計(jì)算公式　誤差的基本概念1. 誤差的定義 誤差的定義有兩種： ① 從系統(tǒng)輸入端定義，它等于系統(tǒng)的輸入信號(hào)與主反饋信號(hào)之差，即 E(s)=R(s) B(s) ② 從系統(tǒng)輸出端定義，它定義為系統(tǒng)輸出量的實(shí)際值與希望值之差。（性能指標(biāo)中經(jīng)常使用） 對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，兩種定義是一致的。 由圖可知，R39。 (s)表示等效單位反饋系統(tǒng)的輸入信號(hào)，也就是輸出的希望值。因而， E39。 (s)是從輸出端定義的非單位控制系統(tǒng)的誤差。 E(s) = R(s) B(s) = R(s) H(s)C(s) 由此可見，從系統(tǒng)輸入端定義的穩(wěn)態(tài)誤差，可以直接或間接地表示從系統(tǒng)輸出端定義的穩(wěn)態(tài)誤差。定義： 終值定理的條件例310 設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函為G(s)=1/TS ,試求當(dāng)輸入信號(hào)分別為r(t) = t2/2 ，r(t) = 1(t) ， r(t) = t ， r(t) = sinωt 時(shí)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：(1) 當(dāng) r(t) = t2/2 R(s) =1/s3解法一：解法二：e(t) = T(t－T) + T2 e－ t/T (2)　當(dāng) r(t) = 1(t) R(s) =1/s(3)　當(dāng) r(t) = t R(s) =1/s2(4)　當(dāng)r(t) = sinωt R(s) = ω/(s2 + ω2) 終值定理的條件不成立！ 控制系統(tǒng)的類型在一般情況下，系統(tǒng)誤差的拉氏變換為：不失一般性，開環(huán)傳函可寫為：N = 0 稱為 0 型系統(tǒng)；N = 1 稱為Ⅰ型系統(tǒng)；N = 2 稱為Ⅱ型系統(tǒng)。等等 給定信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分析1.　階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差令 系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù) 0 型系統(tǒng)： Kp = K ess = 1/ (1+ K)Ⅰ型及Ⅰ型以上系統(tǒng)： Kp = ∞ ess = 0令 靜態(tài)速度誤差系數(shù) 0 型系統(tǒng)： Kv = 0 ess = ∞ Ⅰ型系統(tǒng)： Kv = K ess = 1/ KⅡ型及Ⅱ型以上系統(tǒng)： Kv = ∞ ess = 0令 靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 0 型系統(tǒng)： Ka = 0 ess = ∞ Ⅰ型系統(tǒng)： Ka = 0 ess = ∞ Ⅱ型系統(tǒng)： Ka = K ess = 1/ K Ⅲ型及Ⅲ型以上系統(tǒng)： Ka = ∞ ess = 0例311 已知兩個(gè)系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)參考輸入r(t) = 4 + 6 t + 3t 2 ，試分別求出兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：圖（a），Ⅰ型系統(tǒng)Kp = ∞， Kv =10/4 ，Ka = 0圖（b），Ⅱ型系統(tǒng) Kp = ∞， Kv = ∞ ，Ka = 10/4 擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 所有的控制系統(tǒng)除承受輸入信號(hào)作用外，還經(jīng)常處于各種擾動(dòng)作用之下。因此，系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。計(jì)算系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，同樣可以采用拉氏變換終值定理。例312 控制系統(tǒng)如圖H(s) =1，G1(s)=K1，G2(s)=K2 / s(Ts+1) 試求系統(tǒng)在單位階躍給定和單位階躍擾動(dòng)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（1）單位階躍給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差:系統(tǒng)是Ⅰ型系統(tǒng)： Kp = ∞, ess = 0 （2）單位階躍擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差:系統(tǒng)誤差為 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，且滿足終值定理的使用條件。擾動(dòng)單獨(dú)作用時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為 （3）根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)在單位階躍給定和單位階躍擾動(dòng)共同作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為 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