拉格朗日中值定理在高考題中的妙用-資料下載頁
2025-04-17 01:29本頁面
【正文】 評注：對于不等式中含有的形式，我們往往可以把和，分別對和兩次運(yùn)用拉格朗日中值定理.例7：(2006年四川卷理第22題)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，對任意兩個不相等的正數(shù)，證明：（Ⅰ）當(dāng)時，證明：（Ⅰ）不妨設(shè)，即證．由拉格朗日中值定理知，存在，則且，又， .當(dāng)時，.所以是一個單調(diào)遞減函數(shù)，故從而成立，因此命題獲證．四：利用拉格朗日定理證明根的存在[4]證明方程根的存在性,所給根的范圍就是區(qū)間把所給方程設(shè)為函數(shù)就可用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性,一般用反證法.例1 設(shè)在可導(dǎo),且,又對于內(nèi)所有的點(diǎn)有證明方程在內(nèi)有唯一的實根.分析:要證明方程有唯一的實根,分兩步證明,先證明有根,再證明根是唯一的證明:先證方程有根,令,又因為,則,得到g(0)g(1) 0.所以,函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)至少有一個實根.再證唯一性；假設(shè)方程在(0,1)內(nèi)有兩個實根不妨設(shè)為,則有,對函數(shù))在上運(yùn)用拉格朗日中值定理有.因此(0,1)內(nèi)有唯一的實根.
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