必學(xué)四三角函數(shù)復(fù)習(xí)題-資料下載頁(yè)
2025-04-16 23:30本頁(yè)面
【正文】 時(shí)，y取得最大值，即，當(dāng)時(shí)，y取得最小值，即，所以函數(shù)y=f（2x），x∈[0，]的值域?yàn)椋?4．（2017?紅橋區(qū)一模）已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由三角函數(shù)化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）由x∈結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)逐步計(jì)算可得2sin（2x+）+3∈[2，5]，可得最值．【解答】解：（Ⅰ）化簡(jiǎn)可得=?2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，∴函數(shù)f（x）的最小正周期T==π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）+3∈[2，5]，∴函數(shù)的最大值和最小值分別為5，2． 15．（2017?海淀區(qū)校級(jí)模擬）已知．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）首先根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出函數(shù)的解析式，進(jìn)一步變函數(shù)為正弦型函數(shù)，最后求出單調(diào)區(qū)間．（2）根據(jù)函數(shù)與的定義域求出函數(shù)的值域，進(jìn)一步利用恒成立問(wèn)題，利用分類(lèi)討論的思想求出m的取值范圍．【解答】解：（1）∵，∴f（x）=2sinxcosx+（cosx+sinx）（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x═2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，所以：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．單調(diào)遞減區(qū)間為[+kπ，+kπ]（k∈Z）．（2）當(dāng)時(shí)，≤2x﹣≤，對(duì)任意t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立．只需滿足：mt2+mt+3≥f（x）max成立即可．即mt2+mt+1≥0即可．①當(dāng)m=0時(shí)，恒成立②當(dāng)m≠0時(shí)，只需滿足解得：0＜m≤4綜合所得：0≤m≤4． 16．（2017?安徽二模）已知．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）若，畫(huà)出函數(shù)y=g（x）的圖象，討論y=g（x）﹣m（m∈R）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)f（x）=2，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則求解f（x）并化簡(jiǎn)，即可求得f（x）的最小正周期和最大值（Ⅱ），利用“5點(diǎn)畫(huà)法”畫(huà)出函數(shù)y=g（x）的圖象．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2=2sinxcosx+2sin2x=sin2x﹣cos2x+1=∴f（x）的最小正周期T=π；函數(shù)f（x）的最大值為：；（Ⅱ），利用“5點(diǎn)畫(huà)法”，函數(shù)y=g（x）在區(qū)間上列表為x﹣π00﹣1012112描點(diǎn)作圖那么：y=g（x）﹣m（m∈R）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)y=g（x）與直線y=m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m=2時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)． 第17頁(yè)（共17頁(yè)）
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