全國優(yōu)秀教學設計：二次函數圖像和性質-資料下載頁
2025-04-16 22:12本頁面
【正文】 當x=1時函數有最大值0，所以y4的頂點坐標為(1,0)，可以得知坐標系的建立方法如圖. 可以看出，對于形如y=ax2+bx+c的二次函數，用配方的方法同樣可以幫助我們求出函數的最值，從而確定頂點坐標和對稱軸. 〖預案3〗從解析式上分析，拋物線y4=2x2+4x2可以看做由拋物線y3=2x2+4x向下平移2個單位得到，所以其頂點A的坐標為(1,0). 〖預案4〗設B(a,b)，則A(a+1,b+2)，C(a+2,b)，代入拋物線的解析式，解得a=2，b=2，所以B(2,2)，由此可確定原點的位置. 小結：從大家的解法中不難發(fā)現，對形如y=ax2+bx+c的二次函數，同樣可以通過繪制圖象或者對解析式配方來確定它的頂點坐標. 事實上，還有同學發(fā)現，這一類二次函數可以由二次函數y=ax2+bx向上或向下平移得到，只要研究清楚二次函數y=ax2+bx的性質，就容易研究出二次函數y=ax2+bx+c的性質，所以我們在問題1中使用的配方的方法在這里仍然可以適用. 【小試身手】試研究二次函數y=2x23x1的性質. 解：（1）繪制圖象：列表、描點，畫出函數的圖象x…210123…y…1341218…描點后發(fā)現這些點能夠反映出圖象的大致走勢，且開口向上，但還不足以準確確定對稱軸和頂點坐標. 〖預案〗可以再增加一些點（紅色），匯總如下表：x…210123…y…13841122114813…加入新的點并連線后，能夠看出拋物線開口向上，并且關于一條平行于y軸的直線對稱，由一組對稱點 (0,1)、(,1)，容易找到圖象的對稱軸是直線x=. 當時，所以頂點坐標是. （2）最值：由于對任意實數x，因此. 只有當時. 所以圖象的頂點坐標為，是圖象的最低點. （2）對稱性：圖象的對稱軸是直線. 對任意m0，當自變量x分別取和時，對應的函數值相等. 事實上，通過配方確定了拋物線的對稱軸后，若利用對稱性進行描點會更加的方便. （3）增減性：在對稱軸左側圖象從左到右上升，即當時 y隨x的增大而減??；在對稱軸右側圖象從左到右下降，即當時， y隨x的增大而增大. 歸納：二次函數y=2x23x1的圖象與性質函數性質圖象特征最值當時.向上開口方向頂點坐標對稱性對任意m0，當自變量x分別取和時，對應的函數值相等.直線對稱軸增減性當時y隨x的增大而減??；當時y隨x的增大而增大. 在對稱軸左側圖象從左到右下降。在對稱軸右側圖象從左到右上升. 曲線趨勢【設計說明】在問題2中，讓學生將前面用到的方法運用到形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函數中，體會知識之間的聯系. 然后，再通過一個具體的數字系數的二次函數，結合圖象和解析式梳理研究二次函數性質的一般過程和方法. 4. 總結提升這節(jié)課我們主要研究了形如y=ax2+bx(a≠0)和y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函數的圖象與性質. 【想一想】（1）對于函數性質的研究，你有什么心得？（2）我們還能從哪些方面繼續(xù)研究二次函數的性質呢？從研究思路來看，在研究某一類函數的性質時，通常先從形式較簡單的特殊情形開始研究，比如在二次函數中我們先研究形如y=ax2的一類二次函數，再逐漸過渡到一般形式的二次函數. 從研究方法來看，圖象能幫助我們直觀把握函數的一些特征，而通過分析解析式能讓研究的過程更嚴謹、結論更可靠. 就像著名數學家華羅庚先生所說：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微. 數形結合百般好，隔離分家萬事非. ”今天我們主要對二次函數圖象的對稱性、頂點是最值點兩方面的圖象特征進行了說理論證. 其實，圖象的升降趨勢、開口方向等特征也同樣可以從解析式中找到依據，今后同學們在學習了其它相關知識后就可以對它們加以論證了. 【課后作業(yè)】（1）試研究下列二次函數的性質，并作出圖象：①； ②. （2）試用含a、b、c的式子表示二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點坐標，并確定其開口方向. （3）（選做）問題3：在拱橋的問題中，①你發(fā)現yyyy4的圖象之間有什么聯系？②如果以C為原點，直線BC為x軸，你能直接寫出橋拱所在拋物線的解析式嗎？和同學交流一下，看看誰的方法又快又好. ③在②的條件下，橋拱在水中的倒影y′也是拋物線，你能直接寫出它的解析式嗎？想一想，你的依據是什么. 【設計說明】在總結提升環(huán)節(jié)，通過課堂小結讓學生再次梳理研究的思路和方法，進一步體會函數“數形結合”的特點. 課后作業(yè)的層次鮮明：第（1）題鞏固本課的研究過程和方法；第（2）題讓學生試著將方法推廣到一般情形，找出一般性規(guī)律；第（3）題給學有余力的學生更高的思維空間，讓他們體會拋物線進行平移或對稱變化時解析式的變化規(guī)律，加深對二次函數圖象與性質的理解. 北京市三帆中學 陳立雪
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