【正文】 =[1 3 2。0 2 0。0 1 3]。B=[2 1。1 1。1 1]。sctrb(A,B) 返回system is not pletely state controllable2）線性定常系統(tǒng)輸出能控性的判斷線性定常連續(xù)或離散系統(tǒng)輸出能控的充分必要條件是：矩陣的秩為m，其中r為系統(tǒng)的輸入個數，m為輸出個數。矩陣可以通過能控性矩陣得到，即例32 判斷系統(tǒng)的輸出能控性 在命令窗中運行下列命令 A=[4 5。1 0]。B=[5。1]。C=[1 1]。D=0。Uc=ctrb(A,B)。Uy=[C*Uc D]。rank(Uy)返回ans= 1因為rank(Uy)=1=m，故系統(tǒng)是輸出能控的。類似的，也可編制判斷輸出能控性的函數。2. 能觀測性n階線性定常連續(xù)或離散系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是：能觀測性矩陣的秩為n。能觀測性矩陣可以用MATLAB提供的函數obsv( )自動產生，其調用格式為: 其中A, C分別為系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣，為能觀測性矩陣。能觀測性矩陣的秩即稱為能觀測性指數，表示系統(tǒng)能觀測狀態(tài)變量的數目?？捎蒑ATLAB提供的函數rank( )求出。例33 判斷例1中系統(tǒng)的能觀測性在命令窗中運行下列命令 A=[1 3 2。0 2 0。0 1 3]。 C=[2 1 1。0 1 0]。 Vo=obsv(A,C)。 rank(Vo) 返回ans= 3因為rank(Vo)=3=n，故系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測。類似地，也可編制判斷狀態(tài)能觀測性的函數。3. 線性系統(tǒng)的結構分解1) 按能控性分解如果線性系統(tǒng)的狀態(tài)不完全能控，則可通過非奇異線性變換, 將系統(tǒng)(或狀態(tài))分解為 能控和不能控兩部分。MATLAB提供的函數ctrbf( ), 可將系統(tǒng)(或狀態(tài))分解為如下形式: （331）該函數的調用格式為：其中為給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，為分解后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。為相應線性變換矩陣，返回系統(tǒng)中能控狀態(tài)變量的數目。例34 按能控性分解 在命令窗中運行下列命令 A=[0 0 1。1 0 3。0 1 3]。 B=[1。1。0]。 C=[0 1 2]。 [Ac Bc Cc Tc Kc]=ctrbf(A,B,C)返回Ac = Bc = 0 0 Cc = Tc = 0Kc = 1 1 0另一種按能控性分解的形式為 （332）將由ctrbf( )函數得到的各系數矩陣均利用MATLAB提供的函數rot90（ ）旋轉就可得這種形式。函數rot90( )的調用格式為 將矩陣a逆時針旋轉.我們編制的函數cdes ( )能夠將系統(tǒng)分解為這種形式。該函數的調用格式為 其中為給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，為分解后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。為相應的線性變換矩陣。k表示能控狀態(tài)變量的數目。該函數的程序如下function [Ac,Bc,Cc,Tc,k]=cdes(A,B,C) %按能控性分解U=ctrb(A,B)。m=rank(U)。n=size(A,1)。if m~=n t1=U(:,1)。 for i=2:n*m t2=[t1,U(:,i)]。 if rank(t2)==i t1=t2。 else t1=t1。 end if rank(t1)==m break。 end end p=zeros(nm,n)。 for i=0:m p(1:nm,m+1i:ni)=eye(nm,nm)。 Tc=[t1,p39。]。 if rank(Tc)==n break。 end end Ac=inv(Tc)*A*Tc。 Bc=inv(Tc)*B。 Cc=C*Tc。 k=m。end在命令窗中運行下列命令 A=[0 0 1。1 0 3。0 1 3]。B=[1。1。0]。C=[0 1 2]。[Ac Bc Cc Tc]=cdes(A,B,C)返回Ac = 0 1 1 1 2 2 0 0 1Bc = 1 0 0Cc = 1 1 2Tc = 1 0 0 1 1 0 0 1 1k =22) 按能觀測性分解如果線性系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀測，則可通過非奇異線性變換將系統(tǒng)(或狀態(tài))分解為能觀測和不能觀測兩部分。MATLAB提供的函數obsvf( )可將系統(tǒng)(或狀態(tài))分解為如下形式: （333）該函數的調用格式為 其中為給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，為分解后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。為相應的線性變換矩陣，返回系統(tǒng)能控狀態(tài)變量的數目。例35 按能觀測分解例34中系統(tǒng)可在命令窗中運行下列命令進行分解 A=[0 0 1。1 0 3。0 1 3]。 B=[1。1。0]。 C=[0 1 2]。 [Ao Bo Co To Ko]=obsvf(A,B,C)另一種按能觀測性分解的形式為 （334）將由ctrbf( )函數得到的各系數矩陣均利用MATLAB提供的函數rot90（ ）旋轉就可得這種形式。我們編制的函數odes ( )能夠將系統(tǒng)分解為這種形式。該函數的調用格式為 其中為給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，()為分解后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。為相應的線性變換矩陣。k表示能觀測的狀態(tài)變量的數目。該函數的程序如下function [Ao, Bo, Co, To, k]=odes(A,B,C) %按能觀測性分解V=obsv(A,C)。m=rank(V)。n=size(A,1)。if m~=n t1=V(1,:)。 for i=2:n*m t2=[t1。V(i,:)]。 if rank(t2)==i t1=t2。 else t1=t1。 end if rank(t1)==m break。 end end p=zeros(nm,n)。 for i=0:m p(1:nm,m+1i:ni)=eye(nm,nm)。 To=[t1。p]。 if rank(To)==n break。 end end Ao=To*A*inv(To)。 Bo=To*B。 Co=C*inv(To)。 k=m。end在命令窗中運行下列命令 A=[0 0 1。1 0 3。0 1 3]。B=[1。1。0]。C=[0 1 2]。 [Ao Bo Co To k]=odes(A,B,C)返回Ao = 0 1 0 1 2 0 1 0 1Bo = 1 1 0Co = 1 0 0To = 0 1 2 1 2 3 0 0 1k = 23) 按能控性和能觀測性分解（Kalman分解）如果線性系統(tǒng)的狀態(tài)不完全能控和不完全能觀測，則可通過非奇異線性變換將系統(tǒng)(或狀態(tài))分解為能控能觀測、能控不能觀測、不能控能觀測和不能控不能觀測四部分。 （335）可利用函數ctrbf( )、obsvf( )編制按能控性和能觀測性分解函數kalmdec( )，該函數調用格式為: 其中為給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，為分解以后系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，為線性變換矩陣。該函數的程序如下function [Ak, Bk, Ck ,Tk]=kalmdec(A,B,C) %按能控能觀測性分解[Ac,Bc,Cc,Tc,Kc]=ctrbf(A,B,C)。nc=rank(ctrb(A,B))。n=length(A)。 ic=nnc+1:n。[Ao1,Bo1,Co1,To1,Ko1]=obsvf(Ac(ic,ic),Bc(ic),Cc(ic))。if ncn, inc=1:nnc。 [Ao2,Bo2,Co2,To2,Ko2]=obsvf(Ac(inc,inc),Bc(inc),Cc(inc))。end[m1,n1]=size(To1)。 [m2,n2]=size(To2)。To=[To2,zeros(m2,n1)。 zeros(m1,n2),To1]。T=To*Tc。n1=rank(obsv(Ac(ic,ic),Cc(ic)))。n2=rank(obsv(Ac(inc,inc),Cc(inc)))。K=[zeros(1,nncn2),ones(1,n2),2*ones(1,ncn1),3*ones(1,n1)]。Ak1=T*A*inv(T)。Bk1=T*B。Ck1=C*inv(T)。Ak=rot90(Ak1,2)。Bk=rot90(Bk1,2)。Ck=rot90(Ck1,2)。Tk=rot90(T,2)。例36 按能控性和能觀測性分解例34中系統(tǒng)在命令窗中運行下列命令: A=[0 0 1。1 0 3。0 1 3]。 B=[1。1。0]。 C=[0 1 2]。 [Ak Bk Ck Tk]=kalmdec(A,B,C)返回Ac = 0 Bc = 0Cc = Tc = 4. 最小實現MATLAB 提供的函數minreal( )可直接得出系統(tǒng)的最小實現，其調用格式為 其中G為系統(tǒng)的LTI對象，為系統(tǒng)的一個最小實現。例37 求例31中系統(tǒng)的最小實現。在命令窗中運行下列命令 A=[0 0 1。1 0 3。0 1 3]。 B=[1。1。0]。 C=[0 1 2]。G=ss(A,B,C,0)。Gm=minreal(G)返回2 states removed.a = x1 x1 1b = u1 x1 c = x1 y1 d = u1 y1 實驗四 穩(wěn)定性一、 實驗目的掌握系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念。學會使用MATLAB確定線性定常系統(tǒng)和非線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性。二、 實驗內容1. 已知線性系統(tǒng)(a) (b) (c) (d)（1）用函數eig( )，pole( )和zpkdata( )求出系統(tǒng)的特征值和極點。用函數pzmap( )繪制系統(tǒng)的零點和極點。確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）任意給定對稱正定矩陣Q，用函數lyap( )求解Lyaponov方程，確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。與（1）的結果進行比較。（3）令， ，任意給定初始狀態(tài)。用函數initial( )求出系統(tǒng)的零輸入響應，并繪制相應的狀態(tài)響應曲線。說明穩(wěn)定系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線與不穩(wěn)定系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線的區(qū)別。（4）令， ，初始狀態(tài)為零。 用函數step( )求出系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的狀態(tài)響應和輸出響應, 并繪制相應的曲線。分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定和輸出穩(wěn)定是否一致。2. 已知非線性系統(tǒng)（1） （2） 編制相應的程序，用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)在原點處的穩(wěn)定性。