【正文】 強，從而方差減少效果顯著，而當K很大時情況相反。若待定價的是亞式期權(quán)，N為一年中交易的總天數(shù)，那么可將作為控制變量，由于相應(yīng)的控制變量估計值為（2）定價己解決的期權(quán)如果兩種期權(quán)的回報函數(shù)具有相似性，并且其中一種期權(quán)的定價公式已知，那么可將此期權(quán)作為控制變量為另一種期權(quán)定價。最著名的例子是Kemna和Vorst使用幾何平均亞式期權(quán)作為控制變量為算術(shù)平均亞式期權(quán)定價，顯然這兩種期權(quán)的回報具有很強的相關(guān)性，從而方差減少效果顯著。再比如仍是對算術(shù)平均資產(chǎn)價亞式期權(quán)定價，由于與其具有相同到期日與敲定價格的標準歐式看漲期權(quán)的價格可以由BS公式得到，故可將作為控制變量。（3）正態(tài)隨機變量模擬標的資產(chǎn)價格路徑要用到正態(tài)隨機變量，因此可考慮將正態(tài)隨機變量(或其線性組合)作為控制變量。比如為算術(shù)平均執(zhí)行價亞式期權(quán)定價，模擬的過程需要獨立的、均值為、方差為的正態(tài)隨機變量，從而將作為多元控制變量可得相應(yīng)的控制變量估計值為?！艟仄ヅ?Moment Matching)技術(shù)為了模擬標的資產(chǎn)樣本路徑需要從正態(tài)分布中抽樣，考慮最簡單的情形，標準歐式看漲股票期權(quán)的蒙特卡洛估計值需要m個獨立且服從標準正態(tài)分布的抽樣。由于的樣本矩不一定與總體矩匹配，故而矩匹配技術(shù)的思想就是對這些樣本進行調(diào)整，使其一階矩、二階矩乃至高階矩與總體矩匹配，再利用調(diào)整后的樣本得到蒙特卡洛估計值。定義是樣本均值，通過如下調(diào)整可達到一階矩匹配，由生成的股票價格終值為，從而期權(quán)到期回報貼現(xiàn)的一次模擬值為，利用矩匹配技術(shù)得到的蒙特卡洛估計量為。和對偶變量技術(shù)一樣，應(yīng)用矩匹配技術(shù)會給置信區(qū)間的估計帶來變化，因為并不獨立，導致也不獨立，所以不能直接應(yīng)用中心極限定理估計誤差。一個解決方案是將抽樣分隔為不同批次，對每個批次分別應(yīng)用矩匹配技術(shù)得到彼此獨立的期權(quán)價格估計，再將批均值作為蒙特卡羅估計值，由批方差得到誤差估計。例如可采用10000個相互獨立的批次，每個批次對100個標準正態(tài)分布抽樣應(yīng)用矩匹配技術(shù)，即總共采用100萬個標準正態(tài)分布抽樣。如果定義為樣本標準，通過如下的調(diào)整可達到前兩階矩匹配：。需注意由上式得到的不再服從標準正態(tài)分布，故相應(yīng)的將是期權(quán)價格的有偏估計。這個偏差在極端情況下可能會很大，由此致的復(fù)雜性使得矩匹配技術(shù)的效率改進沒有一個通用的量化標準。如果待匹配的抽樣其總體均值，總體方差，作如下變換可分別達到一階矩匹配和前兩階矩匹配：其中與的定義同上。仍以標準歐式看漲股票期權(quán)為例，若股價服從風險中性的幾何布朗運動，則股價終值的均值與方差已知，故可采用上式對運用矩匹配技術(shù)?！舴謱映闃?Stratified Sampling)技術(shù)分層抽樣技術(shù)使樣本的經(jīng)驗概率與理論概率相一致，其本質(zhì)是為了使輸入變量分布得更為均勻，這一點與對偶變量技術(shù)相同。考慮簡單情形下分層樣本的獲取。在計算標準歐式看漲期權(quán)的價格時，需要標準正態(tài)分布中m個相互獨立的抽樣，其經(jīng)驗分布不會完全與總體分布相吻合，尤其是尾部表現(xiàn)可能較差。通過下述分層抽樣方法可以對樣本的經(jīng)驗分布加以改進。是在[0，1]上均勻分布的隨機數(shù)，以的長度對區(qū)間進行分層，可以得到n個分層區(qū)間段，令。顯然，落在第j層上，從而落在標準正態(tài)分布的上分位數(shù)與上分位數(shù)之間，故由可得標準正態(tài)分布的一個分層抽樣。需要注意的是的高度相關(guān)性使得標準誤差的估計復(fù)雜化，為此用批處理的方法對其進行估計，具體過程同上一節(jié)介紹。在高維情形下，采用拉丁超立方抽樣技術(shù)(Latin Hypercube Sampling)較為簡便。假設(shè)是上均勻分布隨機向量序列，是d個獨立抽取的上的隨機排列。令其中是第k個排列的第j個元素。那么由得到的仍然是上服勻分布的隨機向量，并且的第k個坐標落入第k個[0，l]區(qū)間的m個不同分層內(nèi)，從而也是一種分層抽樣樣本。同樣地，由于不獨立，故而要改變誤差估計的方法?！糁匾猿闃?Importance Sampling)技術(shù)重要性抽樣技術(shù)的思想是用一種概率測度下的期望值代替另一種概率測度下的期望值，這種概率測度的轉(zhuǎn)換是通過似然比(LikelihoodRatio)或RadonNikodym導數(shù)實現(xiàn)的。金融工程中的風險中性定價即為此思想的一個應(yīng)用。在期權(quán)定價中，這種方法被用來對小概率事件進行模擬以獲得更有效的估計。首先介紹這種技術(shù)的一般化理論：假設(shè)X是概率密度為f的d維隨機向量，h是到R上的函數(shù)，待求值為若均為服從f的獨立隨機向量，那么的蒙特卡洛估計值是。令g是另一個上的概率密度，并且滿足條件，則有將上述積分寫成關(guān)于密度g的期望形式，可以得到若是服從g的獨立隨機向量，那么基于測度g的重要性抽樣蒙特卡洛估計值即為。舊的概率密度與新的概率密度的比值稱為似然比或RadonNikodym導數(shù)，并且，是的無偏估計量。重要性抽樣技術(shù)的方差減少效果：由于，所以選擇合適的重要性抽樣密度g可以獲得方差減少，g的選擇是重要性抽樣技術(shù)成功與否的關(guān)鍵。當重要性抽樣技術(shù)應(yīng)用于期權(quán)定價時，X可被視為標的資產(chǎn)價格，也可以被視為正態(tài)隨機變量(向量)。比如，定價對象是深度虛值的歐式看漲期權(quán)，直接采用標準蒙特卡羅方法得到的到期回報單次模擬值大多為0，從而為得到一個估計值需要次數(shù)龐大的模擬。應(yīng)用重要性抽樣技術(shù)可以使單次模擬所得回報大于0的概率增大，從而減小了模擬次數(shù)，提高了估計效率?？紤]標的資產(chǎn)服從風險中性幾何布朗運動的下敲入看漲障礙期權(quán)，假設(shè)障礙在離散時間點監(jiān)測，障礙，敲定價格。那么由下式可得到期權(quán)價格的標準蒙特卡洛估計：其中，示性函數(shù)的定義為已知，是獨立同分布且均值為，方差為的正態(tài)隨機變量。若b,c的值很大，那么由標準蒙特卡洛方法模擬得到的情形居多。應(yīng)采用重要性抽樣技術(shù)，使從均值為，方差仍為的正態(tài)分布中抽樣，那么令似然比，在新的概率測度g下得到標的資產(chǎn)價格的重要性抽樣路徑模擬，若在某次模擬中障礙被跨越，那么由此次模擬得到的回報就是，反之，模擬回報值為0。多次模擬得到的回報平均值貼現(xiàn)即為期權(quán)價格的重要性抽樣蒙特卡洛估計量。研究證明，一個有效的p值為◆條件蒙特卡洛技術(shù)條件蒙特卡羅技術(shù)的理論依據(jù)是概率論中的著名等式，由此式知條件期望是的無偏估計。由條件方差公式，可知，故由條件期望估計量可以帶來方差減少效應(yīng)。值得注意的是，使用這種技術(shù)模擬的是變量Y而非X。仍以上一節(jié)的下敲入障礙期權(quán)為例，期權(quán)價格的標準蒙特卡洛估計由得到。如果在第個時刻障礙首次被跨越，那么由障礙期權(quán)的定義，自此時起期權(quán)可被視為標準歐式看漲期權(quán)，應(yīng)用BS公式，有其中，是由BS公式給出的初始價格為，敲定價格為K，到日為的標準歐式看漲期權(quán)價格。由于，故對于給定的標的資產(chǎn)價格的一條模擬路徑，期權(quán)到期回貼現(xiàn)的條件蒙特卡洛模擬值為。在此例中，應(yīng)用條件蒙特卡洛技術(shù)模擬的量是，而非期權(quán)的到期回報。與標準蒙特卡洛方法相比，我們只需模擬到停止即可，而不必模擬出標的資產(chǎn)價格的全部路徑，故減少了模擬工作量，提高了效率。如果對此期權(quán)綜合應(yīng)用條件蒙特卡洛與重要性抽樣兩種方差減少技術(shù)，則有那么結(jié)合了重要性抽樣的標的資產(chǎn)服從風險中性幾何布朗運動的下敲入看漲期權(quán)的到期回報貼現(xiàn)的條件蒙特卡洛模擬值即為