北京市門頭溝區(qū)20xx年3月高三年級綜合練習數(shù)學試卷理解析版-資料下載頁
2025-04-04 03:52本頁面
【正文】 為y=kx+1，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，然后利用向量證明．(ii)由(i)可知Q，A，B1三點共線，即|QA||QB|=|QA||QB1|=|x1||x2|=|PA||PB|，問題得以證明本題考查橢圓的標準方程與幾何性質、直線方程、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結合、化歸與轉化、特殊與一般、分類與整合等數(shù)學思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．19. 已知f(x)=axex在點(0,0)處的切線與直線y=x2平行．(Ⅰ)求實數(shù)a的值；(Ⅱ)設g(x)=f(x)b(x22+x)(i)若函數(shù)g(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，求實數(shù)b的最大值；(ii)當b≤0時，判斷函數(shù)g(x)有幾個零點，并給出證明．【答案】解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)=axex，則f39。(x)=aex(x+1)，由題意知x=0時，f39。(0)=a=1，即a的值為1；(Ⅱ)(i)g(x)=f(x)b(x22+x)=xexb(x22+x)，所以g39。(x)=(x+1)(exb)，當x∈[0,+∞)時，若b≤1，則exb≥0，g39。(x)≥0，g(x)單調遞增，所以g(x)≥g(0)≥0；當x∈[0,+∞)時，若b1，令g39。(x)=0，解得x1=1(舍去)，x2=lnb0，所以g(x)在(0,lnb)內單調遞減，g(lnb)g(0)，所以g(x)≥0不恒成立，所以b的最大值為1；(ii)g(x)=xexb(x22+x)=x[exb(x2+1)]，顯然g(x)有一個零點為0，設h(x)=exb(x2+1)，則h39。(x)=exb2；當b=0時，h(x)無零點，所以g(x)只有一個零點0；當b0時，h39。(x)0，所以h(x)在R上單調遞增，又h(0)=1b0，h(2b2)=e2b210，由零點存在性定理可知，h(x)在(∞,0)上有唯一一個零點x0，所以g(x)有2個零點；綜上所述，b=0時，g(x)只有一個零點，b0時，g(x)有2個零點．【解析】(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的導數(shù)f39。(x)，計算x=0時的導數(shù)即可求出a的值；(Ⅱ)(i)求g(x)的導數(shù)g39。(x)，討論b≤1時g(x)單調遞增，b1時g(x)在(0,+∞)內不單調遞增，由此求得b的最大值；(ii)化簡g(x)知0是g(x)的一個零點，利用構造函數(shù)法討論b=0和b0時，函數(shù)g(x)是否有零點，從而確定函數(shù)g(x)的零點情況．本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性問題，也考查了利用導數(shù)研究函數(shù)在某一點處的切線問題，以及判斷函數(shù)零點的應用問題，是中檔題．20. 給定數(shù)列{an}，若滿足a1=a(a0且a≠1)，對于任意的n，m∈N*，都有an+m=an?am，則稱數(shù)列{an}為“指數(shù)型數(shù)列”．(Ⅰ)已知數(shù)列{an}，{bn}的通項公式分別為an=53n1，bn=4n，試判斷{an}，{bn}是不是“指數(shù)型數(shù)列”；(Ⅱ)若數(shù)列{an}滿足：a1=12，an=2anan+1+3an+1(n∈N*)，判斷數(shù)列{1an+1}是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；(Ⅲ)若數(shù)列{an}是“指數(shù)型數(shù)列”，且a1=a+1a+2(a∈N*)，證明：數(shù)列{an}中任意三項都不能構成等差數(shù)列．【答案】(Ⅰ)解：對于數(shù)列{an}，an+m=an?am=53(53n+m1)≠an，所以{an}不是指數(shù)型數(shù)列．對于數(shù)列{bn}，對任意n，m∈N*，因為bn+m=4n+m=4n?4m=bn?bm，所以{bn}是指數(shù)型數(shù)列．(Ⅱ)證明：由題意，{1an+1}，是“指數(shù)型數(shù)列”，an=2anan+1+3an+1，?1an+1=3an+2?1an+1+1=3(1an+1)，所以數(shù)列{1an+1}是等比數(shù)列，1an+1=(1an+1)3n1=3n，(1an+1)(1am+1)=3n?3m=3m+n=(1an+m+1)，數(shù)列{1an+1}是“指數(shù)型數(shù)列”．(Ⅲ)證明：因為數(shù)列{an}是指數(shù)數(shù)列，故對于任意的n，m∈N*，有an+m=an?am，?an+1=an?a1?an=a1n=(a+1a+2)n，假設數(shù)列{an}中存在三項au，av，aw構成等差數(shù)列，不妨設uvw，則由2av=au+aw，得2(a+1a+2)v=(a+1a+2)u+(a+1a+2)w，所以2(a+2)wv(a+1)vu=(a+2)wu+(a+1)wu，當t為偶數(shù)時，2(a+2)wv(a+1)vu是偶數(shù)，而(a+2)wu是偶數(shù)，(a+1)wu是奇數(shù)，故2(a+2)wv(a+1)vu=(a+2)wu+(a+1)wu不能成立；當t為奇數(shù)時，2(a+2)wv(a+1)vu是偶數(shù)，而(a+2)wu是奇數(shù)，(a+1)wu是偶數(shù)，故2(a+2)wv(a+1)vu=(a+2)wu+(a+1)wu也不能成立．所以，對任意a∈N*，2(a+2)wv(a+1)vu=(a+2)wu+(a+1)wu不能成立，即數(shù)列{an}的任意三項都不成構成等差數(shù)列．【解析】(Ⅰ)利用指數(shù)數(shù)列的定義，判斷即可；(Ⅱ)利用a1=12，an=2anan+1+3an+1(n∈N*)，說明數(shù)列{1an+1}是等比數(shù)列，然后證明數(shù)列{1an+1}為“指數(shù)型數(shù)列”；(Ⅲ)利用反證法，結合n為偶數(shù)以及奇數(shù)進行證明即可．本題考查指數(shù)數(shù)列的定義，考查反證法的運用，正確理解與運用新定義是關鍵．歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚
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