北京市門(mén)頭溝區(qū)20xx年3月高三年級(jí)綜合練習(xí)數(shù)學(xué)試卷理解析版(參考版)
2025-04-07 03:52本頁(yè)面
【正文】 (x)，討論b≤1時(shí)g(x)單調(diào)遞增，b1時(shí)g(x)在(0,+∞)內(nèi)不單調(diào)遞增，由此求得b的最大值；(ii)化簡(jiǎn)g(x)知0是g(x)的一個(gè)零點(diǎn)，利用構(gòu)造函數(shù)法討論b=0和b0時(shí)，函數(shù)g(x)是否有零點(diǎn)，從而確定函數(shù)g(x)的零點(diǎn)情況．本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線問(wèn)題，以及判斷函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．20. 給定數(shù)列{an}，若滿足a1=a(a0且a≠1)，對(duì)于任意的n，m∈N*，都有an+m=an?am，則稱數(shù)列{an}為“指數(shù)型數(shù)列”．(Ⅰ)已知數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=53n1，bn=4n，試判斷{an}，{bn}是不是“指數(shù)型數(shù)列”；(Ⅱ)若數(shù)列{an}滿足：a1=12，an=2anan+1+3an+1(n∈N*)，判斷數(shù)列{1an+1}是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說(shuō)明理由；(Ⅲ)若數(shù)列{an}是“指數(shù)型數(shù)列”，且a1=a+1a+2(a∈N*)，證明：數(shù)列{an}中任意三項(xiàng)都不能構(gòu)成等差數(shù)列．【答案】(Ⅰ)解：對(duì)于數(shù)列{an}，an+m=an?am=53(53n+m1)≠an，所以{an}不是指數(shù)型數(shù)列．對(duì)于數(shù)列{bn}，對(duì)任意n，m∈N*，因?yàn)閎n+m=4n+m=4n?4m=bn?bm，所以{bn}是指數(shù)型數(shù)列．(Ⅱ)證明：由題意，{1an+1}，是“指數(shù)型數(shù)列”，an=2anan+1+3an+1，?1an+1=3an+2?1an+1+1=3(1an+1)，所以數(shù)列{1an+1}是等比數(shù)列，1an+1=(1an+1)3n1=3n，(1an+1)(1am+1)=3n?3m=3m+n=(1an+m+1)，數(shù)列{1an+1}是“指數(shù)型數(shù)列”．(Ⅲ)證明：因?yàn)閿?shù)列{an}是指數(shù)數(shù)列，故對(duì)于任意的n，m∈N*，有an+m=an?am，?an+1=an?a1?an=a1n=(a+1a+2)n，假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)au，av，aw構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)uvw，則由2av=au+aw，得2(a+1a+2)v=(a+1a+2)u+(a+1a+2)w，所以2(a+2)wv(a+1)vu=(a+2)wu+(a+1)wu，當(dāng)t為偶數(shù)時(shí)，2(a+2)wv(a+1)vu是偶數(shù)，而(a+2)wu是偶數(shù)，(a+1)wu是奇數(shù)，故2(a+2)wv(a+1)vu=(a+2)wu+(a+1)wu不能成立；當(dāng)t為奇數(shù)時(shí)，2(a+2)wv(a+1)vu是偶數(shù)，而(a+2)wu是奇數(shù)，(a+1)wu是偶數(shù)，故2(a+2)wv(a+1)vu=(a+2)wu+(a+1)wu也不能成立．所以，對(duì)任意a∈N*，2(a+2)wv(a+1)vu=(a+2)wu+(a+1)wu不能成立，即數(shù)列{an}的任意三項(xiàng)都不成構(gòu)成等差數(shù)列．【解析】(Ⅰ)利用指數(shù)數(shù)列的定義，判斷即可；(Ⅱ)利用a1=12，an=2anan+1+3an+1(n∈N*)，說(shuō)明數(shù)列{1an+1}是等比數(shù)列，然后證明數(shù)列{1an+1}為“指數(shù)型數(shù)列”；(Ⅲ)利用反證法，結(jié)合n為偶數(shù)以及奇數(shù)進(jìn)行證明即可．本題考查指數(shù)數(shù)列的定義，考查反證法的運(yùn)用，正確理解與運(yùn)用新定義是關(guān)鍵．歡迎廣大教師踴躍來(lái)稿，稿酬豐厚。(x)0，所以h(x)在R上單調(diào)遞增，又h(0)=1b0，h(2b2)=e2b210，由零點(diǎn)存在性定理可知，h(x)在(∞,0)上有唯一一個(gè)零點(diǎn)x0，所以g(x)有2個(gè)零點(diǎn)；綜上所述，b=0時(shí)，g(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，b0時(shí)，g(x)有2個(gè)零點(diǎn)．【解析】(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f39。(x)=0，解得x1=1(舍去)，x2=lnb0，所以g(x)在(0,lnb)內(nèi)單調(diào)遞減，g(lnb)g(0)，所以g(x)≥0不恒成立，所以b的最大值為1；(ii)g(x)=xexb(x22+x)=x[exb(x2+1)]，顯然g(x)有一個(gè)零點(diǎn)為0，設(shè)h(x)=exb(x2+1)，則h39。(x)=(x+1)(exb)，當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)，若b≤1，則exb≥0，g39。(x)=aex(x+1)，由題意知x=0時(shí)，f39。64125∵X～B(3,45)，∴E(X)=345=125．【解析】(Ⅰ)由分層抽樣性質(zhì)估計(jì)A學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的人數(shù)．(Ⅱ)設(shè)事件A表示“抽取A校高中學(xué)生，且這名學(xué)生參與‘創(chuàng)城’活動(dòng)”，事件C表示“抽取C校高中學(xué)生，且這名學(xué)生參與‘創(chuàng)城’活動(dòng)”，則從A，C兩學(xué)校抽出的高中學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名學(xué)生，恰有1人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)的概率：P=P(AC+AC)=P(A)P(C)+P(A)P(C)，由此能求出結(jié)果．(Ⅲ)將表中的參與率視為概率，從A學(xué)校高中學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，這3人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)人數(shù)X～B(3,45)，由此能求出這3人參與“創(chuàng)城”活動(dòng)人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．本題考查頻數(shù)、概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查二項(xiàng)分布、相互獨(dú)立事件概率乘法公式、分層抽樣的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．17. 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的菱形，且∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=6，F(xiàn)是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：BD⊥CF．(Ⅱ)若AF=2．(i)求PC與平面BDF所成角的正弦值；(ii)側(cè)面PAD內(nèi)是否存在過(guò)點(diǎn)E的一條直線，使得該直線上任一點(diǎn)M與C的連線，都滿足CM//平而B(niǎo)DF，若存在，求出此直線被直線PA、PD所截線段的
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