初等數(shù)學(xué)研究習(xí)題解答-資料下載頁
2025-04-04 03:52本頁面
【正文】 ，所以是正三角形。從而 相似變換利用位似變換或相似變換解決下列問題：1．已知和分別各是兩組相交直線，但由于區(qū)域的限制，已經(jīng)不可能將其交點繪制出來?，F(xiàn)設(shè)，試過點作與直線平行的直線，請寫出具體作法。1題圖解：如圖所示：在線段和上靠近交點的一側(cè)依次取點，取小于1的數(shù)（例如?。?，以為中心，為位似比作位似變換，設(shè)的位似像為，依次過作，的平行線，，其中是，的交點，是，的交點，那么分別是的位似像，于是過作線段的平行線就是符合要求的直線。2．是內(nèi)的一點，試過點作一直線分別與交于兩點，使。其中給定的數(shù)。2題圖解：如圖所示，過作的平行線交于，過作的平行線交于，以為中心，位似比為作位似變換，設(shè)的位似像為，那么直線即為所求。3. 已知和分別各是兩組相交直線，但由于區(qū)域的限制，已經(jīng)不可能將其交點繪制出來?，F(xiàn)設(shè)，是可達區(qū)域內(nèi)與不共線的一點，試作出在可達區(qū)域內(nèi)的外接圓的一段圓弧。請寫出具體作法。3題圖解：取小于1的正數(shù)為位似比，點為位似中心，用第1題的辦法作出交點的位似像，作出的外心，再以點為位似中心，為位似比，作出的位似像，以為圓心，為半徑，在可達區(qū)域內(nèi)作圓弧，此圓弧即為所求。4．設(shè)是給定的三角形，是最大角所對的邊，求作一個正方形，使在邊上，在邊上，在邊上。解：如圖所示，在邊上任取一點，以為頂點作正方形，設(shè)射線與交于點，過作垂線，垂足為，過作平行線交于，過作垂線，垂足為，則四邊形即為所求。 初等變換的應(yīng)用1．用反射法求解下列問題：（1）在正方形中，為中點，過引的垂線交的外角平分線于點，求證。（2）中，為等邊三角形。已知，求的大小。（3）一個以點為圓心的圓經(jīng)過的頂點、又與邊分別交于、與的外接圓交于、求證 1（1）題圖 1（2）題圖 1（3）題圖 2（1）題圖（1）證明：將沿反射到，由于是的平分線，是正方形，所以，即共線。又顯然有四點共圓，所以，從而，是等腰三角形，故，但，所以，1（1）題圖 1（2）題圖 1（3）題圖（2）解：以為軸，將點反射到點，在射線上取點使。那么有：。因為，所以。又，故，進而有即也是等邊三角形，即。顯然兩點關(guān)于對稱，所以。設(shè)，則，這時再由，則，因為，即，所以，即（3）證明：如圖所示。設(shè)過點且垂直于的直線為，故只需證明點在上。以為軸作反射，設(shè)、的反射像分別為、。于是所以，連接、。這時：，所以、三點共線。由：所以、三點共線，因此、交于點，故點在直線上。2．用平移法求解下列各題：（1）在四邊形中，、分別是、的中點，如果，證明這個四邊形是梯形。（2）在等腰中，在邊上，在延長線上，滿足。求證：（3）在平行四邊形中，是內(nèi)部一點，如果，求證： 2（2）題圖 2（3）題圖（1）證明：將按向量平移到、按向量平移到，延長到使，連接交于。于是和都是平行四邊形。因此且，那么（內(nèi)錯角），又，所以。從而。另一方面，再由，有，（內(nèi)錯角）所以，從而，所以重合，即是中點。由于三角形的中線等于相鄰兩邊之和的一半，所以對于和，，（對頂角）所以，所以，即有，這只能在重合時才成立。所以三點重合，故所以是梯形。 2（1）題圖 2（2）題圖（2）證明：將按向量平移到，過作的平行線交于，連接。則是平行四邊形，所以，故，而，所以（內(nèi)錯角），進而有其次再由，得：（內(nèi)錯角）。所以，和分別是和的平分線，所以有，所以 （3）證明：將點按向量平移到，連接、。則、都是平行四邊形。所以，但，是平行四邊形，所以，即，即四點共圓，所以。從而得 2（3）題圖 3（1）題圖3．用旋轉(zhuǎn)法解決下列問題（1）已知是正方形，分別是的一點，是的平分線，求證3（1）題圖 3（2）題圖（2）已知中，是上任意一點，求證（3）是邊長為1的正內(nèi)任意一點，求證：設(shè)。.（1）證明：將繞逆時針旋轉(zhuǎn)到，則，由于（內(nèi)錯角），而所以，即（2）證明：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到（因為等腰直角三角形，所以點旋轉(zhuǎn)后與重合），此時。于是；而所以3（2）題圖 3（3）題圖（3）證明：將順時針旋轉(zhuǎn)到，那么是等邊三角形。于是等于折線段，當(dāng)這四點共線時，折線段達到最小值。此時；4．用位似、相似變換求解下列各題：（1）設(shè)與相切于，過任作一直線分別交兩圓于另一點，求證處的切線平行。（2）已知是梯形，、分別是、中點，是兩腰，所在直線的交點，是對角線，的交點，證明、四點共線。 3（3）題圖 4（1）題圖（3）是的邊的中點，∽，證明4（2）題圖 4（3）題圖（1）證明：設(shè)連心線交于，交于，在作弦切角，以為位似中心，為位似比（、為、的半徑），那么就是的位似像，從而是的位似像。因此，但與都是半圓周角，所以都等于，故（內(nèi)錯角），所以4（1）題圖 4（2）題圖（2）證明：以為中心，為位似比的位似變換把線段變成，那么是的位似像，從而直線過點；以為中心，為位似比的位似變換把線段變成，那么是的位似像，從而直線過點；所以、四點共線。（3）證明：設(shè)，以為中心，為轉(zhuǎn)角作旋轉(zhuǎn)變換，設(shè)的像為，此時必有在直線上。以為位似比，以作位似變換，則是的位似像，設(shè)、的位似像為、那么必是的中點。同時，所以、四點共線。同時由于，，所以、關(guān)于對稱。所以平分，設(shè)，則是的中位線，故55
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